Phép biến đổi mặt phẳng trong bài toán xây dựng

40

Toán 8, 9

Bài viết “Biến đổi máy bay trong các bài toán xây dựng” chủ yếu nhằm mục đích sử dụng và bài báo “Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky” dành cho học sinh lớp chín.

Biến đổi mặt phẳng trong bài toán xây dựng

Trong ghi chú này, chúng ta đã nói về một phương pháp chuyển đổi mặt phẳng thành kết cấu - phương pháp đơn giản nhất, nhưng xin vui lòng, là phương pháp phổ biến nhất. Hãy bắt đầu bằng cách thảo luận về hai bài toán từ «Kvant» #1 (tr. 36).

Bài toán 1. Cho một đường thẳng và hai đường tròn nằm đối diện nhau. Dựng một hình vuông có đường chéo nằm trên một đường thẳng cho trước và các đầu của các đường chéo khác nằm trên đường tròn đã cho.

Đặt các đỉnh A và C của hình vuông ABCD cần tìm nằm trên một đường thẳng l cho trước, còn các đỉnh B và D trên các đường tròn ω₁ và ω₂ đã cho (hình 1; chúng ta giả sử rằng các đường tròn ω₁ và ω₂ không đối xứng với đường thẳng l). Vì điểm B và D phải đối xứng với đường thẳng l và D∈ω₁ nên điểm B phải nằm trên đường tròn ω₁’, đối xứng với đường tròn ω₁ đối với l. Sau khi dựng một đường tròn ω₁’ và tìm thấy các điểm giao nhau của nó với ω₂ (có thể có hai, một hoặc không có - và cùng số lời giải có bài toán), chúng ta thu được khả năng về vị trí của đỉnh B. Sau này, khá dễ dàng tìm được các đỉnh còn lại.

Bài toán 2. Cho một điểm A, một đường tròn và một đường thẳng. Cho hình vuông ABCD sao cho đỉnh B nằm trên một đường tròn cho trước và đỉnh C nằm trên một đường thẳng cho trước.

Hình 1.

41

Ở đây, như trong bài toán 1, chúng ta cần đoán rằng đỉnh $C$ được lấy từ đỉnh $B$ khi thực hiện phép biến đổi $F$ của mặt phẳng; quá trình biến đổi này bao gồm việc thực hiện tuần tự một lượt $45^\circ$ quanh tâm $A$ ($\angle BAC = 45^\circ$) và chuẩn bị với hệ số $AC/AB = \sqrt{2}$ và tâm $A$ (thứ tự thực hiện lượt và chuẩn bị không đóng vai trò quan trọng trong trường hợp này; $F$ được cho là sự kết hợp của lượt nói và sự chuẩn bị*). Do đó, đối với lời giải bài toán, chỉ cần dựng đường tròn $\omega' = F(\omega)$ là đủ, tức là ảnh của đường tròn đã cho $\omega$ dưới phép biến đổi $F$ và lấy bất kỳ điểm nào trong số các điểm giao nhau của đường tròn $\omega'$ với đường thẳng đã cho làm đỉnh $C$. Tâm $O'$ của hình tròn $\omega'$ có thể được xây dựng dưới dạng đỉnh của một tam giác cân bên phải $AOO'$ ($\angle AOO' = 90^\circ$) và bán kính hình tròn $\omega'$ lớn hơn $\sqrt{2}$ lần bán kính hình tròn $\omega$. Lưu ý rằng việc rẽ ở $45^\circ$ có thể được thực hiện theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ; điều này tạo ra hai phép biến đổi $F_1$ và $F_2$, tương ứng với hai vòng tròn $\omega'$ và $\omega''$, do đó bài toán có thể có từ 0 đến 4 lời giải (hình 2).

Cả hai bài toán này đều phù hợp với sơ đồ sau (hình 3):

Cho hai hình $M_1$ và $M_2$ và một số phép biến đổi của mặt phẳng $F$; Cần phải tìm trên các hình này các điểm $X$ (trên $M_1$) và $Y$ (trên $M_2$), sao cho dưới phép biến đổi $F$ điểm $X$ đi đến điểm $Y$.

Đối với lời giải, cần phải xây dựng hình $F(M_1)$, trong đó hình $M_1$ xuất hiện trong quá trình biến đổi $F$ và tìm giao điểm của nó với hình $M_2$; thì $Y$ là bất kỳ điểm giao nhau nào của hình $M_2$ và $F(M_1)$, và $X = F^{-1}(Y)$, trong đó $F^{-1}$ là phép biến đổi nghịch đảo của $F$.

Tất nhiên, phép biến đổi $F$, phần và số liệu $M_1$ và $M_2$ không được chỉ định rõ ràng. Bạn cần có khả năng “câu” chúng ra khỏi tình trạng - và ở đây mọi thứ đều phụ thuộc vào nghệ thuật lời giải. Để giúp người đọc dễ dàng điều hướng hơn, chúng tôi cung cấp danh sách đầy đủ, tên và ký hiệu của tất cả các phép biến đổi tương tự và đặc biệt,

*) Bạn có thể đọc về thành phần của các phép biến đổi, ví dụ trong sách giáo khoa: Hình học 6-8, ed. A. N. Kolmogorov. — M.: Giáo dục, 1980.— Tr. 191.

Máy bay đã di chuyển. (Một số trong số chúng không được học ở trường mà là các tác phẩm chuyển thể đã được biết đến từ lớp 7.)

Phong trào:
chuyển song song $T_a$ sang vectơ $a$;
xoay $R_a^\alpha$ theo góc $\alpha$ quanh tâm $O$;
kết nối tính đối xứng $S_l$ với trục $l$;
đối xứng trượt $S_l, a = T_a^\circ S_l$, trong đó $l \parallel a$, là thành phần của các trục đối xứng và sự đảo chiều song song của trục ($\circ$ là dấu thành phần).
Chuyển đổi tương tự không có trong danh sách các chuyển động:
tính đồng nhất $H_o^k$ với tâm $O$ và hệ số $k$;
đồng nhất quay (theo thuật ngữ khác là tương tự xoắn ốc) với tâm $O$, góc $\alpha$ và hệ số $k$ là thành phần của $H_o^k \circ R_o^\alpha$ đồng nhất và đối xứng về trục đi qua tâm đồng nhất.
Để thuận tiện cho một số phép biến đổi, chúng tôi thực sự đã đưa vào danh sách này hai lần (xoay, đối xứng ghép và tính đồng nhất là các trường hợp đặc biệt của các phép biến đổi khác - phép biến đổi nào?), tuy nhiên, có thể chứng minh rằng tất cả các phép biến đổi tương tự mặt phẳng có thể có đều được liệt kê ở đây.

Theo sơ đồ của chúng tôi, các hình $M_1$, $M_2$ và sự biến đổi $F$ thành bài toán 1 là dữ liệu của hình tròn và tính đối xứng đối với đường thẳng và trong bài toán 2 là hình tròn, đường thẳng và tính đồng nhất quay $H_a^\alpha \circ R_a^\alpha$.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét hai bài toán, trong đó

42

mà sơ đồ không gian của chúng ta không thể hiện rõ ràng.

Bài toán 3. Viết một hình bình hành đồng dạng với hình bình hành đã cho vào một hình bình hành đã cho khác sao cho trên mỗi cạnh của hình bình hành được mô tả có một đỉnh của hình bình hành nội tiếp.

Gọi ABCD là hình bình hành ngoại tiếp đã cho và KLMN là hình bình hành nội tiếp mong muốn (hình 4). Tâm của chúng phải trùng nhau, vì với tâm đối xứng so với tâm của hình bình hành KLMN nên hình bình hành ABCD phải biến thành chính nó. Do đó, chúng ta đã biết tâm O của hình bình hành mong muốn; $\angle KOL = \alpha$ và quan hệ $LO:KO = k$ cũng đã được biết vì hình bình hành KLMN đã cho. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể áp dụng sơ đồ của mình bằng cách lấy các đường thẳng AB và BC là $M_1$ và $M_2$, đường quay làm sẵn $H_0^\circ R_0^\alpha$ là F, và các điểm yêu cầu K và L ($L = F(K)$) là X và Y. Không cần giải thích thêm. Chúng tôi chỉ lưu ý rằng trong bài toán này, thật thú vị khi thực hiện một nghiên cứu hoàn chỉnh.

Bài toán 4. Vẽ tam giác ABC nếu biết độ dài đường thẳng AD và độ dài các cạnh AB, AC.

Hãy dựng đoạn AD và vẽ các đường tròn β và γ có bán kính AB và AC có tâm A (hình 5). Đây sẽ là tập hợp M1 và M2, và các điểm B và C là các điểm X và Y trong sơ đồ của chúng ta. Phép biến đổi F sẽ là gì? Theo định lý bissergris (ví dụ, xem «Kvant» số 2 năm 1985, trang 29), tỷ lệ $k = CD:DB$, trong đó cạnh CB được chia cho đáy của bissergris, bằng tỷ lệ AC:AB của các cạnh của tam giác, và do đó chúng ta biết. Và vì $C = H_D^{-k}(B)$, chúng ta có thể lấy $H_D^{-k}$ làm sẵn là F, tức là C là giao điểm của các đường tròn γ và $H_D^{-k}(\beta)$.

Bài toán dành cho độc lập lời giải

1. Tạo một hình tam giác bằng cách sử dụng bissergris và các đoạn mà đáy của bissergris chia cạnh của tam giác.
2. Dựng một đường tròn có tâm cho trước sao cho một trong các đoạn nối giao điểm của nó với các cạnh của một góc cho trước song song với đường thẳng đã cho.
3. Tại hai trong số những thời điểm đã biết về thời gian của những con bò, người ta đã đo được góc giữa hướng của hai ngọn hải đăng được đánh dấu trên bản đồ. Hướng và tốc độ chuyển động của con bò cũng được biết đến. Làm thế nào để tìm được vị trí của con bò trên bản đồ vào những thời điểm này?
4. Vẽ tam giác ABC bằng các đường trung tuyến AA1, BB1 và ​​góc C.
   5 (dành cho độc giả quen với phép đảo ngược). Viết một hình thoi có diện tích cho trước trong một hình bình hành sao cho một đỉnh của hình thoi nằm trên mỗi cạnh của hình bình hành.

V. N. Dubrovsky

Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky

Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky có thể được coi là một trong những bất đẳng thức phổ biến nhất trong toán học. Nó đã xuất hiện nhiều lần trên các trang tạp chí của chúng tôi (ví dụ: xem «Kvant», 1986, số 12, trang 31). Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky có dạng sau:

$$\begin{align*} |a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n| &\leq \\ \leq \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2}. \end{align*}$$

Tuy nhiên, có rất ít bằng chứng về điều này. Ở đây chúng tôi đưa ra một bằng chứng rất đơn giản về bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky, thảo luận về ý nghĩa hình học của nó và với sự trợ giúp của nó, một lần nữa giải quyết được bất đẳng thức bài toán được đề xuất vào năm 1984