Sóng trên mặt nước

16

SÓNG
TRÊN NƯỚC

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
L. A. OSTROVSKY

Wow, tôi sẽ không có lời nào tuyệt vời cả…
lo đã nói về biển, về những suy nghĩ và cảm xúc
mối quan hệ nảy sinh khi nhìn vào
nó luôn sống động, luôn thú vị
Hạ mặt! Biển là biểu tượng của sấm sét
những yếu tố mới, vô thường, nguy hiểm,
đa dạng khó hiểu. Quan sát
âm thanh của sóng biển đã được xuất bản

16

17

Họ đánh thức con người suy nghĩ và làm nảy sinh những lý thuyết khoa học mới. Bản thân khoa học về sóng “được sinh ra trong đại dương”, và thật không may, con người lần đầu tiên biết đến một phần những gì ngày nay biết về các loại sóng có tính chất đa dạng nhất bằng cách nghiên cứu sóng trên mặt nước.

Chạy sóng hình sin
Trong khóa học ở trường, các nhà vật lý nghiên cứu chi tiết về chuyển động của vật rắn. Sóng là một loại chuyển động hoàn toàn khác. Ví dụ, giả sử một sự xáo trộn xuất hiện ở một nơi nào đó trên mặt nước - một hòn đá rơi, một con tàu đang di chuyển, gió thổi… Chuyển động

2 Lượng tử số 8

17

18

các hạt nước phát sinh ở nơi này sẽ được chuyển sang các hạt lân cận và sẽ dần dần chiếm được phần chung của bề mặt (ví dụ: các vòng tròn sẽ phân tán từ một hòn đá). Trong trường hợp này, mỗi bộ phận sẽ di chuyển một chút, nhưng chuyển động được “chuyển” qua một khoảng cách đáng kể. Năng lượng rung động được truyền từ bộ phận này sang bộ phận khác, giống như trong một cuộc chạy đua tiếp sức. Chúng ta gọi sự thay đổi trạng thái của môi trường truyền đi và mang theo năng lượng như vậy là sóng.

Để hiểu các tính chất của chuyển động sóng, thật thuận tiện khi phân tích chúng thành một số phần tử đơn giản hơn. Sóng hình sin thường được coi là một phần tử như vậy.

Chúng ta hãy tưởng tượng một bề mặt nước “hình sin”, và “gấp sóng” này không đứng yên mà di chuyển dọc theo trục $x$ với tốc độ không đổi (hình 1). Nếu chúng ta cắt bề mặt lượn sóng của mình

Hình 1.

mặt phẳng thẳng đứng song song với trục $x$ thì ta thu được sóng hình sin. Khoảng cách giữa hai đỉnh liền kề, hai đáy liền kề, nói chung là giữa hai điểm gần nhau, cùng pha, là như nhau - đây là bước sóng $\lambda$. Vì sóng truyền dọc theo trục $x$ với tốc độ không đổi nên bất kỳ điểm nào trong không gian mà sóng đi qua, sau một khoảng thời gian nhất định $T$ đều xuất hiện cùng pha - các điểm dao động với một chu kỳ $T$. Rõ ràng là trong thời gian này sóng sẽ cười dọc theo trục $x$ đến khoảng cách $\lambda$. Tốc độ dịch chuyển $c=\lambda/T$ như vậy được gọi là tốc độ pha của sóng.

Trong tự nhiên không có sóng xoang vô tận - chuyển động sóng bắt đầu ở đâu đó và kết thúc ở đâu đó. Đúng, sóng phía trước vẫn gần như hình sin trong một thời gian dài, nhưng con số “gần như” này hóa ra rất quan trọng. Để hiểu điều gì đang xảy ra, hãy xem xét hai sóng hình sin có chu kỳ khác nhau nhưng gần nhau $T_1$ và $T_2$ và có độ dài tương tự $\lambda_1$ và $\lambda_2$. Nếu trong một vùng không gian nào đó, đỉnh và đáy của cả hai sóng gần như trùng nhau thì tổng biên độ - dao động của các điểm trong không gian sẽ tăng lên đáng kể. Nhưng khi bạn di chuyển ra khỏi vùng này, sự khác biệt về bước sóng sẽ dẫn đến thực tế là các pha của sóng tương ứng với cùng một điểm trong không gian sẽ khác nhau rõ rệt, và cuối cùng các đỉnh của sóng này bắt đầu rơi vào đáy của sóng khác - các sóng sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Sau đó, sự giảm chấn này lại được dịch chuyển bằng cách khuếch đại và toàn bộ bức tranh sẽ tự lặp lại theo định kỳ. Bạn có thể xác minh điều này bằng cách vẽ hai sóng hình sin có biên độ giống hệt nhau với chu kỳ hơi khác nhau và cộng chúng - chồng sóng này lên sóng kia, như trong hình 2, $a$. Kết quả của phép cộng này là hình 2, $b$: nó giống như một sóng hình sin có chu kỳ $T$, gần với $T_1$ và $T_2$, nhưng biên độ tuần hoàn của nó thay đổi. Quá trình này được gọi là nhịp đập và sóng được gọi là điều chế.

19

Sự thay đổi biên độ trong các nhịp được mô tả bằng một sóng “bao bọc” các rung động chính - hay như người ta nói, sóng mang -. Chúng ta hãy tìm độ dài $\lambda_a$ của sóng bao này và chu kỳ của nó $T_a$. Điều này khá dễ thực hiện. Số sóng của các hình sin ban đầu, chẳng hạn, nằm giữa hai cực đại liền kề của đường bao, phải khác nhau một đơn vị sao cho đỉnh và đáy của các sóng này lại trùng nhau. Đối với sóng đầu tiên, số lượng sóng như vậy là $\lambda_a/\lambda_1$, đối với sóng thứ hai - $\lambda_a/\lambda_2$. Vậy, $\frac{\lambda_a}{\lambda_1} - \frac{\lambda_a}{\lambda_2} = 1$, từ đâu

$$\lambda_a = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} \approx \frac{\lambda^2}{\Delta \lambda}.$$ (1)

Ở đây, chúng tôi biểu thị sự khác biệt $\lambda_2 - \lambda_1$ bằng $\Delta \lambda$ và thay thế kết quả $\lambda_1 \lambda_2$ bằng bình phương trung bình hình học $\lambda_1$ và $\lambda_2$ ($\lambda^2 = (\sqrt{\lambda_1 \lambda_2})^2$) - một giá trị gần với cả hai giá trị, cũng như với độ dài của sóng mang (một phép tính chính xác cho độ dài của sóng mang cho $\lambda_n = 2\lambda_1 \lambda_2 / (\lambda_1 + \lambda_2)$). Không khó để có được biểu thức (1) tương tự cho nhịp: $T_a \approx T^2 / \Delta T$. Bây giờ có thể tìm tốc độ đường bao - tốc độ di chuyển của nhịp:

$$v = \frac{\lambda_a}{T_a} = \frac{\lambda^2}{T^2} \frac{\Delta T}{\Delta \lambda} = c^2 \frac{\Delta T}{\Delta \lambda},$$ (2)

trong đó $c$ là vận tốc pha của sóng mang. Nếu tốc độ của hai hình sin tạo nên sóng mang hoàn toàn giống nhau, sao cho $\lambda_1 = c T_1$ và $\lambda_2 = c T_2$, thì $\frac{\Delta \lambda}{\Delta T} = c$, và hóa ra là $v = c$. Trong trường hợp này, toàn bộ mẫu sóng di chuyển với tốc độ tổng thể là $c$. Nếu $c_1 \neq c_2$ thì $v$ khác với $c$; hóa ra sóng mang di chuyển với một tốc độ - tốc độ pha $c$ và đường bao - với một tốc độ khác $v$, được gọi là nhóm một. Với vận tốc nhóm, năng lượng được sóng truyền đi.

Sóng bao, giống như sóng hình sin, là vô hạn cả về thời gian và không gian. Chỉ bằng cách thêm không phải hai mà nhiều (có nhiều đường bao nghiêm ngặt) hình sin có độ dài và chu kỳ tương tự nhau, người ta mới có thể thu được một “gói sóng” - một bức tranh về các dao động chiếm một diện tích giới hạn

khoảng trống (hình 3). Và một lần nữa, toàn bộ gói tin sẽ di chuyển với vận tốc nhóm và sóng mang “sóng hình sin” sẽ di chuyển với vận tốc pha. Đúng, phong trào này không thể tiếp tục vô thời hạn. Nếu vận tốc pha của các hình sin khác nhau là khác nhau thì vận tốc nhóm của các cặp hình sin khác nhau, được tính theo công thức (2), sẽ khác nhau. Bởi vì điều này, trên một khoảng cách lớn, gói sóng sẽ dần thay đổi hình dạng và cuối cùng lan rộng ra, “trải rộng” khắp không gian. Hiện tượng này được gọi là phân tán, từ tiếng Latin phân tán - tán xạ.

Vì vậy, để mô tả chuyển động trong môi trường tán sắc, chúng ta phải đưa ra không phải một mà ít nhất là hai tốc độ!

Sóng trên mặt nước

Hãy quay trở lại với những con sóng trên mặt nước. Để mô tả chính xác các sóng này, cần phải viết phương trình chuyển động của một phần nước và cố gắng tìm chúng lời giải. Tuy nhiên, có thể thu được nhiều thứ mà không cần phương trình nếu bạn sử dụng cái gọi là phương pháp thứ nguyên, phương pháp này thường cho phép bạn nghiên cứu một hiện tượng mà không cần dùng đến các phép tính toán học phức tạp.

Chúng ta hãy xem tốc độ truyền sóng hình sin trên mặt nước có thể phụ thuộc vào những đại lượng vật lý nào. Nếu chúng ta bỏ qua ảnh hưởng của khí quyển (gió) và coi hồ chứa là sâu vô hạn, thì chúng ta có mật độ nước $\rho$, gia tốc trọng trường $g$ và cuối cùng là chu kỳ của sóng $T$ (hoặc chiều dài của nó $\lambda$) *). Hãy viết kích thước của các đại lượng này:

$$[\rho] = \kappa \Gamma / m^3, [g] = m / c^2, [T] = c.$$

*) Một thông số chiều khác có thể ảnh hưởng đến tốc độ sóng là sức căng bề mặt $g$. Tuy nhiên, như tính toán cho thấy, hóa ra nó chỉ có ý nghĩa đối với những sóng rất ngắn (~1 cm), mà chúng ta sẽ không quan tâm ở đây.

20

Chỉ có chúng mới có thể phụ thuộc vào tốc độ sóng $c$. Làm thế nào để kết hợp chúng với chiều tốc độ? Vì $[c]=\text{m/c}$ và khối lượng chỉ xuất hiện trong $[\rho]$ nên mật độ $\rho$ phải được loại trừ. Trong số các giá trị còn lại $g$ và $T$, sự kết hợp duy nhất là phù hợp: $[c]=[gT]$ (không quan trọng tốc độ – pha hay nhóm – chúng ta đang nói đến).

Điều này cho phép chúng ta phát biểu rằng $c$ và $v$ tỷ lệ thuận với $gT$. Hệ số tỷ lệ không thể được xác định bằng phương pháp thứ nguyên; từ một lý thuyết chi tiết hơn, nó suy ra rằng đối với vận tốc pha thì nó bằng $1/2\pi$:

$$c = \frac{gT}{2\pi}.$$

Theo định nghĩa $c=\lambda/T$ và từ công thức (3), ta thu được mối quan hệ giữa độ dài và chu kỳ của sóng -

$$\lambda = \frac{gT^2}{2\pi}.$$

Sự tương ứng này được gọi là phương trình phân tán. Một biểu thức nữa cho $c$ có thể được viết:

$$c = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}.$$

Tốc độ của nhóm là bao nhiêu? Ở trên chúng tôi đã thu được sự tương ứng $v = c^2 \frac{\Delta T}{\Delta \lambda}$ (xem (2)). Bây giờ, sử dụng phương trình phân tán, chúng ta tìm được tỷ lệ $\frac{\Delta T}{\Delta \lambda}$:

$$\Delta \lambda = \frac{g}{\pi} T \cdot \Delta T \Rightarrow \frac{\Delta T}{\Delta \lambda} = \frac{\pi}{gT}.$$

Thay thế giá trị này vào công thức cho $v$, tính đến (3) chúng ta thu được:

$$v = c^2 \frac{\Delta T}{\Delta \lambda} = \frac{gT}{4\pi} = \frac{1}{2} c.$$

Vì vậy, đối với sóng ở vùng nước sâu, vận tốc nhóm bằng một nửa vận tốc pha và cả hai đều phụ thuộc vào chu kỳ của sóng, tức là sóng có sự phân tán.

Chúng ta hãy viết các biểu thức tính được liên quan đến độ dài và tốc độ truyền sóng theo chu kỳ của nó:

$$\lambda = 1,56T^2, \quad v = \frac{1}{2} c \approx 0,78T$$

($T$ được tính bằng giây, $\lambda$ tính bằng mét và tốc độ tính bằng mét/giây).

Để tưởng tượng điều gì thực sự xảy ra, đây là một bảng nhỏ:

| $T, c$ | 0,5 | 1 | 5 | 15 | 20 | 50 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\lambda, \text{m}$ | 0,39 | 1,56 | 39 | 156 | 620 | 3900 |
| $v, \text{m/c}$ | 0,39 | 0,78 | 3,9 | 7,8 | 15,1 | 39 |

Như có thể thấy từ bảng, sóng tương đối ngắn di chuyển với tốc độ của người đi bộ, trong khi sóng dài có thể vượt qua máy tự động.

Mất một khoảng thời gian dài hơn nữa, chẳng hạn như $T \approx 1$ h, và theo đó, bước sóng $\lambda \approx 20000$ km, chúng ta sẽ đạt được tốc độ tuyệt vời là $v \approx 10000$ km/h. Tuy nhiên, đối với những con sóng lớn, sóng sẽ “đến” ngay cả nơi sâu nhất của đại dương và những công thức đơn giản của chúng ta sẽ không còn áp dụng được nữa. Chúng cũng không thể áp dụng cho các sóng rất ngắn, có chiều dài dưới vài cm - ở đây người ta cảm nhận được ảnh hưởng của lực căng bề mặt. Và tất cả những công thức này cũng phù hợp để mô tả các sóng có độ dài rất rộng - từ hàng chục cm đến hàng chục km trở lên.

Mặc dù sóng được hình thành do sự chuyển động của các hạt sóng nhưng bản thân các hạt này không hề chuyển động cùng với sóng. Bạn có thể dễ dàng xác minh điều này bằng cách nhìn vào phao: nó vẫn giữ nguyên vị trí, chỉ thực hiện những chuyển động dao động nhỏ. Để tưởng tượng các phần tử của sóng chuyển động như thế nào trong quá trình truyền sóng hình sin, sẽ thuận tiện hơn khi áp dụng quan điểm về những gì được quan sát thấy chuyển động ở tốc độ bằng tốc độ pha của sóng. Đối với điều này, người ta quan sát thấy bề mặt “gợn sóng” của sóng sẽ dừng lại và ngủ yên, nhưng khối lượng rám nắng của sóng sẽ “chảy” theo hướng ngược lại với tốc độ $c$. Các hạt sóng trên bề mặt trượt dọc theo địa hình nhấp nhô giống như bất kỳ quả bóng nào được bắn dọc theo nó với một tốc độ ban đầu nhất định. Quay trở lại phần trên cùng của bức phù điêu, một quả bóng (và hạt sóng) như vậy sẽ có tốc độ nhỏ hơn một chút so với tốc độ trung bình $c$, và nếu nó lăn xuống phía dưới, nó sẽ có tốc độ cao hơn một chút $c$. Trong trạng thái bất động

21

hệ thống báo cáo, trong đó cấu hình sóng là bezit với vận tốc pha, chuyển động của một hạt riêng lẻ sẽ là tổng của các gia tốc và giảm tốc này theo cả hướng ngang và hướng dọc. Kết quả của phép cộng này là một chuyển động tròn có bán kính bằng biên độ của sóng (hình 4).

Hình 4.

Các hạt nằm dưới bề mặt cũng có dạng hình tròn nhưng có bán kính nhỏ hơn. Biên độ dao động của hạt giảm theo cấp số nhân theo độ sâu, tỷ lệ thuận với $e^{-2\pi z/\lambda}$, trong đó $z$ là độ sâu. Điều này có nghĩa là ở độ sâu bằng bước sóng, biên độ chuyển động của sóng nhỏ hơn $e^{2\pi} \approx 535$ lần so với ở bề mặt. Do đó, ngay cả những cơn bão mạnh trên thực tế cũng không chỉ xuất hiện trong đại dương ở độ sâu lớn hơn hàng trăm mét chẳng hạn, và nếu $\lambda$ nhỏ hơn $2\pi H$, trong đó $H$ là độ sâu của hồ chứa, thì nó thực sự có thể được coi là sâu vô hạn—sóng “không lặn” trong ngày.

Tất nhiên, do sóng biển, sóng thường không có dạng hình sin, chúng bao gồm nhiều sóng hình sin và chuyển động của hạt nước phức tạp hơn - nó dường như cũng bao gồm nhiều vòng tròn có bán kính khác nhau, chuyển động quay dọc theo đó xảy ra với tốc độ khác nhau; nhưng ở những sóng đủ yếu thì chuyển động này vẫn còn hạn chế và gần như đối xứng (lên - xuống). Nhưng một sóng mạnh hơn, thậm chí là một sóng tuần hoàn nghiêm ngặt, sẽ không phải là sóng hình sin - các đỉnh của nó sắc nét hơn sự đánh lửa (hình 5). Và nếu sóng trở nên lớn hơn nữa, một “điểm gấp khúc” với góc xấp xỉ $120^\circ$ sẽ xuất hiện ở đỉnh của nó và sau đó sẽ xảy ra “sự sụp đổ”.

Hình 5.

• một con cừu non sủi bọt sẽ xuất hiện trên đầu. Chắc hẳn bạn cũng đã từng nhìn thấy những chú cừu non trên biển, hồ, sông; khi có gió mạnh, chúng bao phủ một phần đáng kể bề mặt nước.

Sóng gió

Vào cuối thế kỷ này, nhà vật lý nổi tiếng người Anh Rayleigh đã nhận xét: “Định luật cơ bản của sóng biển là sự vắng mặt của bất kỳ định luật nào”. Đúng vậy, việc phân loại mang tính mô tả về trạng thái mặt biển cần thiết cho các thủy thủ đã được phát triển từ lâu. Như bạn đã biết, cường độ gió được đặc trưng bằng thang Beaufort 12 điểm, chiều cao sóng được đặc trưng bằng thang sóng 9 điểm. Các đoạn trích từ các thang đo này được đưa ra ở trang. 16-17. Như bạn có thể thấy, chúng chủ yếu dựa trên mô tả bằng lời về tình huống. Sự phân loại này hơi gợi nhớ đến “Câu chuyện về con cá và con cá” của Pushkin. Còn nhớ, lúc đầu ông già “thấy biển hơi động”; rồi “biển xanh mây mù”, rồi “biển xanh chuyển sang màu đen” và cuối cùng, “anh ấy nhìn thấy một cơn bão đen trên biển: anh ấy nhìn thấy những con sóng giận dữ, chúng bước đi như thế, chúng hú và hú”… Xin vui lòng, ở đây bạn thậm chí có thể cho biết có bao nhiêu điểm phấn khích được thêm vào mỗi lần cá vàng!

Gần đây, phương tiện thay đổi sóng biển đã được cải tiến đáng kể. Ngoài các máy ghi sóng đặc biệt - dụng cụ ghi lại những biến động trên mặt biển tại một điểm nhất định, các phương pháp từ xa đang đo được những giá trị ngày càng lớn hơn. Chỉ cần chụp ảnh sóng biển từ tàu hoặc máy bay cũng cung cấp rất nhiều thông tin. Radar biển cũng có hiệu quả. “Hải dương học vệ tinh” đã xuất hiện và đang phát triển nhanh chóng. Là kết quả của nhiều năm quan sát, dữ liệu phong phú về sóng biển. Nhưng việc trả lời đáp số câu hỏi về việc chính xác gió kích thích sóng trên mặt nước như thế nào, chúng phát triển thêm như thế nào, không hề dễ dàng chút nào và vẫn chưa đạt được sự rõ ràng hoàn toàn, mặc dù các cơ chế cơ bản đã được biết đến.

Hãy tưởng tượng một mặt nước mịn màng. Gió thổi và sóng xuất hiện. Tại sao? Trước hết, vì gió không đều,