Волны на воде

16

ВОЛНЫ
НА ВОДЕ

Доктор физико-математических наук
Л. А. ОСТРОВСКИЙ

Каихх только прекрасных слов не бы-
ло сказано о море, о мыслих и чув-
ствах, возникающих при взгляде на
его вечно живую, вечно волнующий
ся поверхность! Море — символь гроз-
ной стихии, непостоянства, опасности,
непостужимого разнообразия. Наблю-
дения морских волн издавана по-

16

17

Буждали человека к размышлениям, давали начало новым научным теории. Сама наука о волнах «заро-дилась в океане», и, пожалей, боблышуо часть из того, что известно сегодня о волнах самой различной природы, люди впервые узнали, изучая волны на воде.

Бегущая синусоида
В школьном курсе физики подробно изучают движение твердых тел. Волна — движение совсем другого рода. Пусть, например, в каком-либо месте водной поверхности появилось возмущение — уплал камень, движется судно, подул ветер… Движение

2 Квант № 8

17

18

часиц воды, возникшее в этом месте, будет передаваться соседним частицам, и постепенно еще захватит общинуную часть поверхности (от камня, например, будут разбегаться круги). При этом каждая часть смещается слабо, но движение «переносится» на значительные расстояния. Энергия колебаний передается от одних части к другим, как бы поэстафете. Такое изменение состояния среды, распространяющееся в ней и несущее с собой энергию, мы называем волной.

Чтобы понять свойства волновых движений, их удобно разложить на какие-то более простые элементы. В качестве такого элемента чаще всего принимают синусовдальную волну.

Представим себе «синусоидальное гофрированную» поверхность воды, и этот «гофр» не стоит на месте, а движется вдоль оси $x$ с постоянной скоростью (рисунок 1). Если разрезать нашу волнистую поверхность

Рис. 1.

вертикальной плоскостью, параллельной оси $x$, то получится синусовда. Расстояние между двумя соседними вершинами, двумя соседними впадинами, вообще между двумя близкими точками, нахождения в одинаковых фазах, одно и то же — это длина волны $\lambda$. Так как волна безит вдоль оси $x$ с постоянной скоростью, любая точка пространства, через которого проходит волна, через определенный промежуток времени $T$ оказывается в одной и той же фазе — колебания точек проискодят с периодом $T$. Ясно, что за это время волна должна смеяться по оси $x$ на расстояние $\lambda$. Скорость такого смещения $c=\lambda/T$ называют фазовой скоростью волны.

Не бесконечных синусовд в природа на бывает — волновое движение где-то начинается и где-то заканчивается. Правда, передко волна достагоно долго остается почти синусовдальной, но это «почти» оказывается очень существенным. Чтобы понять, в чем дело, рассмотрим две синусовдальные волны с различными, но близкими периодами $T_1$ и $T_2$ и близкими длинами $\lambda_1$ и $\lambda_2$. Если в какой-то области пространства вершины и впадины обихов волн почти совпадает, то суммарный размах — амплитуда — колебаний точек пространства заметно увеличится. Но по мере удаления от этой области различе в длинах волн приведет к тому, что фазы волн, соответствующие одной и той же точке пространства, будут заметно различны, и в конце концов вершины одной волны начинают попадать на впадину другой — волны будут гасить друг друга. Потом это гашение снова смещается усилением, и вся картина будет периодически повторять. Вы можете в этом убедиться, нарисовав две синусовды с одинаковыми амплитудами со слегка различиными периодами и сложив их — наложив одну на другую, как на рисунке 2, $a$. Результат такого сложения — на рисунке 2, $b$: это как бы синусовдальная волна с периодом $T$, близким к $T_1$ и $T_2$, но амплитуда ее периодической меняется. Такой процесс называют биенями, а волну называют модулированной.

19

Изменение амплитуды при биених описыватся волной, «огибающий» основные — или, как говоря, несущие — колебания. Найдем длину $\lambda_a$ этой огибающей волны и ее период $T_a$. Сделать это довольно просто. Чисяла волн исходных синусид, укладывающихся, скажем, между двумя соседними максимумами огибающей, должны отличаться на единицу, чтобы вершины и впадины этих волн снова совместились. Для первой волны число таких волн есть $\lambda_a/\lambda_1$, для второй — $\lambda_a/\lambda_2$. Значит, $\frac{\lambda_a}{\lambda_1} - \frac{\lambda_a}{\lambda_2} = 1$, откуда

$$\lambda_a = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} \approx \frac{\lambda^2}{\Delta \lambda}.$$ (1)

Здесь мы через $\Delta \lambda$ обозначили разность $\lambda_2 - \lambda_1$, а произведение $\lambda_1 \lambda_2$ заменили квадратом среднего геометрического $\lambda_1$ и $\lambda_2$ ($\lambda^2 = (\sqrt{\lambda_1 \lambda_2})^2$) — величины, близкой к тому и другому значению, а также к длине несущей волны (точный расчет для длины несущей волны дает $\lambda_n = 2\lambda_1 \lambda_2 / (\lambda_1 + \lambda_2)$). Нетрудно получить аналогичное (1) выражение для перiodа биений: $T_a \approx T^2 / \Delta T$. Теперь может найти скорость огибающей — скорость, с которой движется биения:

$$v = \frac{\lambda_a}{T_a} = \frac{\lambda^2}{T^2} \frac{\Delta T}{\Delta \lambda} = c^2 \frac{\Delta T}{\Delta \lambda},$$ (2)

где $c$ — фазовая скорость несущей волны. Если скорости обенных синусид, из которых складывается несущая волна, в точности одинаковы так что $\lambda_1 = c T_1$, а $\lambda_2 = c T_2$, то и $\frac{\Delta \lambda}{\Delta T} = c$, и получается, что $v = c$. В этом случае все волновая картина безит со скоростью $c$ как целое. Если же $c_1 \neq c_2$, то и $v$ отличается от $c$; получается, что несущая волна движется с одной скоростью — фазовой скоростью $c$, а огибающая — с другой скоростью $v$, которое называют групповой. Именно с групповой скоростью переносится волной энергия.

Волна-огибающая, как и синусид, бесконечна и во время, и в пространстве. Только сложив не две, а много (строгого огибающего много) синусид с близкими длинами и периодами, можно получить «волновой пакет» — картину колебания, заиммающих ограниченную область

пространства (рисунок 3). И опять весь пакет будет движаться с групповой скоростью, а несущая «синусид» — с фазовой. Правда, это движение не может продолжаться бесконечно долго. Если фазовые скорости различных синусид различны, то групповые скорости для разных пар синусид, вычисленные по формуле (2), будут различны. Из-за этого на больших расстояниях волновой пакет постепенно изменит свою форму и в конце концов расплывется, «размазется» по пространству. Это явление называют дисперсей, от латинского слова dispersio — рассеяние.

Итак, для описания движения в среде с дисперсей нам приходится ввести не одну, а по меньшей мере две скорости!

Волны на воде

Вернемся к волнам на поверхности воды. Для строго описания этих волн нужно было бы записать уравнения движения части воды и попытаться найти их решения. Однако многое можно получить и без уравнений, если воспользоваться так называемым методом размерностей, который часто позволяет исследовать явление, не прибегая к сложным математическим выкладкам.

Посмотрим, от каких физических величины может зависеть скорость распространения синусидальных волн на поверхности воды. Если пренебречь влиянием атмосферы (ветра), а водоем считать бесконечно глубоким, то в нашем распоряжении — плотность воды $\rho$, ускорение силы тяжестки $g$ и, наконец, период самой волны $T$ (или ее длина $\lambda$) *). Запишем размерности этих величины:

$$[\rho] = \kappa \Gamma / m^3, [g] = m / c^2, [T] = c.$$

*) Еще один размерным параметром, который может влиять на скорость волны, является поверхность натяжение $g$. Однако как показывает расчет, оно оказывается существенным лишь для очень коротких волн (~1 см), которые мы здесь интересоваться не будем.

20

Только от них может зависеть скорость волны $c$. Как составить из них комбинацию с размерностью скорости? Поскольку $[c]=\text{m/c}$, а масса входит только в $[\rho]$, плотность $\rho$ нужно исключить. Из оставшихся величины $g$ и $T$ годится единственная комбинация: $[c]=[gT]$ (безразлично, о какой скорости – фазовой или групповой — идет речь).

Это позволяет нам утверждать, что $c$ и $v$ пропорциональны $gT$. Коэффициент пропорциональности методом размерностей не определять; из более детальной теории следует, что для фазовой скорости он равен $1/2\pi$:

$$c = \frac{gT}{2\pi}.$$

По определению $c=\lambda/T$, и из формулы (3) получается связь между длиной и периодом волны —

$$\lambda = \frac{gT^2}{2\pi}.$$

Это соответствие называют дисперсионным уравнением. Можно записать и еще одно выражение для $c$:

$$c = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}.$$

А какова групповая скорость? Выше мы получили соответствие $v = c^2 \frac{\Delta T}{\Delta \lambda}$ (см. (2)). Теперь, воспользовшись дисперсионным уравнением, найдем отношение $\frac{\Delta T}{\Delta \lambda}$:

$$\Delta \lambda = \frac{g}{\pi} T \cdot \Delta T \Rightarrow \frac{\Delta T}{\Delta \lambda} = \frac{\pi}{gT}.$$

Подставив это в формулу для $v$, с учетом (3) получим:

$$v = c^2 \frac{\Delta T}{\Delta \lambda} = \frac{gT}{4\pi} = \frac{1}{2} c.$$

Итак, для волна на глубокой воде групповая скорость равна половине фазовой, причем обе они зависит от периода волны, т. е. волна обладает дисперсии.

Запишем расчетные выражения, связывающиеся длину и скорость распространения волны с ее периодом:

$$\lambda = 1,56T^2, \quad v = \frac{1}{2} c \approx 0,78T$$

($T$ берется в секундах, $\lambda$ — в метрах, а скорости — в метрах/ секунду).

Чтобы представить себе, что бывают на самом деле, приведем небольшую таблицу:

| $T, c$ | 0,5 | 1 | 5 | 15 | 20 | 50 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\lambda, \text{m}$ | 0,39 | 1,56 | 39 | 156 | 620 | 3900 |
| $v, \text{m/c}$ | 0,39 | 0,78 | 3,9 | 7,8 | 15,1 | 39 |

Как видно из таблицы, сравнительно короткие волны движутся со скоростью пешекода, а длиные могут обогнать автоматью.

Взяв еще больший период, скажем $T \approx 1$ ч, и соответственно длину волны $\lambda \approx 20000$ км, мы получили бы фантастическую скорость $v \approx 10000$ км/ч. Однако для столдных волн гораздо равные окажется, что волна будет «достатать» до даже в самом глубоком месте океана, и наш простые формулы перестановят быть применными. Неприменимыми они и для очень коротких волн, длиной меньше нескольких сантиметров — здесь сказывается влияние сил поверхностного натяжения. И все также эти формулы годятся для описания волн в очень широком диапазоне длины — от десятака сантиметров до десятака и более километров.

Хотя волна образуется движением частицы волны, сами эти частицы вовсе не движутся вместе с волной. В этом легко убедиться, взглянув на поплавок: он остается на месте, совершая лишь небольшие колебательные движения. Чтобы представить, как в процессе распространения синусоидальной волны движутся частицы волны, удобно встать на точку зреня наблюдается, движущgosся со скоростью, равной фазовой скорости волны. Для такого наблюдается «гофрированная» поверхность волны остановится, засыпнет, но загора масса волны будет «течь» в обратную сторону со скоростью $c$. Частцы волны на поверхности скольсят по волнистому рельефу точно так же, как это делал бы любой шарик, пушеный по нему с неокотой начальной скоростью. Возвращись на вершину рельефа, такой шарик (и частица волны) будет иметь скорость, несколько меньшеую средней скорости $c$, а скативись к подшеве — несколько бóльшую $c$. В неподвижной

21

системе отчета, в котором волновой профиль безит с фазовой скоростью, движение отдельной частицы будет складывать из этих торможений иускорений как в горизонтальном, так и в вертикальном направлении. Результат такого сложения — движение по окружности, радиус которого равен амплитуде волны (рисунок 4).

Рис. 4.

Частцы, лежащие под поверхностью, тоже описывают окружности, но с меньшими радиусами. Амплитуды колебаний частиц уменшаются с глубиной по экспоненте, пропорционально $e^{-2\pi z/\lambda}$, где $z$ — глубина. Это означает, что на глубине, равной длине волны, амплитуда волновых движений в $e^{2\pi} \approx 535$ раз меньше, чем на поверхности. Поэтому даже сильные штормы практически не возникают только океана на глубинах большие, скажем, сотни метров, и если $\lambda$ меньше $2\pi H$, где $H$ — глубина водоема, то его действительное можно считать бесконечно глубоким— волны «не задавают» дня.

Конецно, в результате морском волнени волны обычно не синусовдальны, они состоит из многох синусовд, и движение частицы воды сложнее — оно тоже как бы состоит из многох окружностей различных радиусов, вращение по которым происходит с разной скоростью; но в достаточно слабых волнах это движение остается ограниченным и примерно симметричным (вверх — вниз). Но более сильная волна, даже строго перiodическая, не будет синусовдой — ее вершины остree, чем подожжия (рисунок 5). А если волна станет еще крупе, на ее вершине появится «излом» с углом примерного $120^\circ$, а затем произойдет «обруши-

Рис. 5.

вание》 — на верхне возникнет пенный «барашек». Вы, наверное, видели также барашки на море, озере, реке; при сильном ветре они покрывают значительную часть водной поверхности.

Ветровые волны

В конце прошло века замечательный англійский физик Релей заметил: «Основным законом морского волнения является отсутствие какого-либо закона». Правда, уже давно была разработана описательная классификация состояния морской поверхности, необходимая для моряков. Как известно, сила ветра характеризуется 12-баллной шкалой Бофорта, а высота волн — 9-баллной шкалой волнения. Выдержки из этих шкал приведены на с. 16—17. Как видите, они во многом основаны на словесном описании обстановки. Эта классификация немного напоминает пушкинскую «Сказку о рыбке и рыбке». Помните, сначала старик «видит, море слегка разгrafалось»; потом «помутилосся сине море», затем «почерелло сине море» и, наконец, «видит, на море черная буря: так и видились сердные волны, так и ходят, так воем и воют»… Пожалуйста, тут даже можно указать, сколько баллов волнения прибавляется к каждой раз золота рыба!

В последнее время средства изменения морских волн значительно усовершенствовались. Кроме специальных волнографов — прибора, записывающих колебания поверхности моря в данной точке, все большие значения приборают дистанционные методы. Уже простое фотографирование морских волн с судна, самолета дает массу информации. Эффективна и радиолокация моря. Появились и быстро развивается «спутниковая океанография». В результате многолетних наблюдений обширные данные о морском волнении. Но получить ответ на вопросы о том, как именно ветер возбудает волны на воде, как они развиваются дальше,совсем не легко, и полная ясность не достигнута по сейчас, хотя основные механизмы известны.

Представьте себе гладкую водную поверхность. Вот подул ветер — появились волны. Почему? Прежде всего потому, что ветер — это неровный,