Задачи М1056—М1060; Ф1068—Ф1072

23

Задачи

M1056—M1060, Ф1068—Ф1072

M1056. В каждой клетке квадратной таблицы 1987×1987 написано число, не превыходящие по модулю 1.
В любом квадрате 2×2 данной таблицы сумма чисел равна 0. Доказите, что сумма всех чисел в таблице не превыходит 1987.

А. С. Меркурьев

M1057. Два игрока почередно выписывают на доске натуральные числа, не превыходящие p. Правилами игры запрещается писать на доске делители уже выписанных чисел. Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход.
a) Выясните, кто из игрок имеет выигрышную стратегию для p=10, и укажите ее.
b) Выясните, кто из игрок имеет выигрышную стратегию для p=1000.

Д. В. Фомин

M1058. На целочисленной решетке отмечено неупустое множество узлов. Кроме того, задан конечный набор векторов с целыми координатами. Известно, что если от любого отмеченного узла отложить все заданные векторы, то среди их концов будет больше отмеченных узлов, чем неотмеченных. Доказите, что отмеченных узлов бесконечного много.

Д. Г. Флаас

M1059. График функции y=f(x), определяющий на всей числовой прямой, переходит в себя при повороте на угол π/2 вокруг начала координат.
a) Доказите, что уравнение f(x)=x имеетровно одно решение.
b) Приведите пример такой функции.

А. В. Клюшин

M1060. На плоскости даны две замкнутые ломаны, каждой с нечетным числом звенев. Все прямые, содержащие звенья этих ломанных, различны, и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Доказите, что из каждой ломанной можно выбрать по одному звену так, чтобы они были противоположными сторонами неокоторого выпуклого четырехугольника.

А. Сердюков, Д. Г. Флаас

Ф1068. Снаряд, летящий по вертикали, разрывается в верхней точке траектории на три равных осокла. Один из осоклов, двигаясь по вертикали, упл чезз время T₁ после выстрела, два других упл одновременного чезз время T₂ (T₁<T₂). Найти высоту H, на которой разорвался снаряд.

Ю. Г. Павленко

Ф1069. На угол величины α, согласно из тонкого гладкого стержня, надета легкая petля длиной l с прикрепленным к ней небольшим грузом; угол установлен вертикально (рис. 1). Найти расстояние от груза до вершины угла в положении равновесия и период малых колебаний груза в плоскости угла.

И. И. Мазин

Ф1070. Мальчик выдувает из длиной трабки мыльный пульсрь. Надув пульсрь, он выпускает трабку из рта, при этом пульсрь сдувается обратно в трабку и окончательно исчезает чезз время t. За какое время сдуется таким же образом пульсрь вдвое большого радиуса? Считать, что воздуходящее по трабке до-

26

Лемма

Если $f'(x) > g'(x)$ при $x \geq x_0$, то $f(x) > f(x_0) + g(x) - g(x_0)$ при $x > x_0$ (действительно, функция $f(x) - g(x)$ имеет положительное произведение и следовательно, строго возрастает при $x \geq x_0$).

$$f(a+1) > 2a+1;$$

тогда согласно лемме, приведенной на полях для функций $f(y)$ и $g(y) = y + a$ ($g'(y) = 1$), из (2) и (3) будет следовать, что при $y \geq a+1$
$$a^y - y^a = f(y) \geq f(a+1) + g(y) - g(a+1) > 2a+1 + y - (a+1) = a+y.$$

Оценим произведение $f(y)$:
$$f'(y) = \ln a \cdot a^y - ay^{a-1} = (\ln a - 1)a^y + (a^y - y^a) + y^{a-1}(y-a) > y^{a-1}(y-a)$$
(ln $a \geqslant \ln 3 > 1$, $a^y - y^a > 0$ по доказанному выше). Из этой оценки сразу следует (2), поскольку $y^{a-1}(y-a) \geqslant (a+1)^{a-1}$ при $y \geqslant a+1$. Для доказательства (3) заметим, что $y^{a-1}(y-a)$ — это произведение функции $g(y) = y^{a+1}/(a+1) - y^a$, и по лемме на полях (для $x = a+1$, $x_0 = a$)
$$f(a+1) > f(a) + g(a+1) - g(a) = -g(a) = a^a - \frac{a^{a+1}}{a+1} = \frac{a^a}{a+1} = \left[ a^{a-2} \left(1 - \frac{1}{a+1}\right) \right]a.$$

Функция в квадратных скобках, очевидно, возрастшая и при $a \geqslant 3$ не меньше $3(1-1/4) = 9/4$. Поэтому
$$f(a+1) > 2a + \frac{a}{4} \geqslant 2a + \frac{3}{4};$$
но числа $f(a+1)$ и $2a$ — целые, значит, $f(a+1) \geqslant 2a+1$, причем равенство здесь возможно только при $a=3$, но и в этом случае $f(4) = 3^4 - 4^3 = 81 - 64 > 2 \cdot 3 + 1 = 7$.

А. И. Зайчик, В. Н. Дубровский

M1038. a) Докажите, что если произведение mn делится на 6 (вде m и n — целые числа 1), то прямогольник из $m \times n$ клеток можно разрезать на уголки из трех клеток. При каких m и n это можно сделать так, чтобы при этом линия раздела не вырезали:
б) ни одно прямогольника $2 \times 3$ клетки;
в) ни одно прямогольника (меньше $m \times n$)?

a) Достаточно рассмотреть два случая: $m = 3k$, $n = 2l$ и $m = 6k$, $n = 2l+1$, где $k \geqslant 1$, $l \geqslant 1$. В первом случае прямогольник $m \times n$ можно разбит на $k \times l$ прямогольников $3 \times 2$, каждый из которых разрезается на два уголка (рис. 1, a). Во втором — отрезаем от прямогольника $m \times n$ полоску $m \times 3$, которое можно разрезать на $3k$ прямогольников $2 \times 3$ (рис. 1, б), а затем (при $l > 1$) разрезаем оставшийся прямогольник $m \times (2l-2)$ так же, как в первом случае.

Вообще, прямогольник $m \times n$ можно разрезать на уголки тогда и только тогда, когда одно из чисел m и n равно 3, то уголки неизбежно должны складывать в прямогольники $3 \times 2$ (рис. 1, б), поэтому другое число должно быть четно. Обратно, пусть m делится на 3. Можно считать, что $m/3$ и $n$ — нечетные числа, $m \geqslant 9$, $n \geqslant 5$ (остальные случаи выше), т. е. $m = 9+6k$, $n = 5+2l$, $k$, $l \geqslant 0$. Примогольник $m \times n$ разрезается на 3 прямогольника: $9 \times 5$, $9 \times 2l$ и $6k \times n$; разрезание первого из них на уголки показано на рисунке 2, два других разрезаются на прямогольники $3 \times 2$, как было показано выше.

6), в) В обеих задачах 6) и в) ответ одинаков:
«разрезания без прямогольников» (будем называть их правильными) существует лишь для прямогольников $6k \times 2n$, где $k \geqslant 1$, $n \geqslant 3$, $6 \times 4$ и $3 \times 2$.

Как мы уже видели в решении задачи a), одно из чисел m и n должно делиться на 3. Заметим далее, что при правильном разрезании уголок может применять к стороне прямогольника $m \times n$, отличного от

27

3×2, только по двум клеткам — иначе образуется прямогольник 3×2 (рис. 3). Следовательно, числа m и n должны быть четными.

Прямогольник 6k×2 правильно разрезать нельзя — очевидно, он обязательно распадется на прямогольники 3×2. Легко видеть также, что при попытке правильного разрезания прямогольника 6k×4 обязательно образуется прямогольник 6×4 (начините с короткой стороны — рис. 4), поэтому при k>1 правильное разрезание здесь также невозможно. Наконец, правильное разрезание прямогольника 6k×2l при k≥1, l≥3 показано на рисунке 5, где нужно взять k-1 «блоков» A по вертикали, а по горизонтали — по l-3 головных «блока» в ряду.

Существуют и другие замошения прямогольников уголками. Например, переставляя уголки внутри «крестов», можно получить симметричные правильные разрезания из разрезаний на прямогольники (см. рис. 6 для случая 6k×6l). Можно показать, что любой прямогольник, допускающий правильное разрезание, допускает и симметриное правильное разрезание.

M1039. Точки A, B, C, D — вершины тетраэдра. Докажите, что a) если $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{AB}$, то все три эти скалярные произведения равны 0;
b) если три угла между противоположными ребрами тетраэдра равны, то они прямы.

a) Для любых четырех точек A, B, C, D справедливо тождество
$$\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0.$$ (1)

Это становится очевидным, если представить его левую часть в виде $\bar{a} \cdot (\bar{c} - \bar{b}) + \bar{b} \cdot (\bar{a} - \bar{c}) + \bar{c} \cdot (\bar{b} - \bar{a})$, где $\bar{a} = \overrightarrow{DA}, \bar{b} = \overrightarrow{DB}, \bar{c} = \overrightarrow{DC}$. Из (1) сразу следует утверждение задачи.

6. Пусть угол между противоположными ребрами тетраэдра равен $\alpha$, тогда углы между векторами $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{AB}$ равны $\alpha$ или $180^\circ - \alpha$. Поэтому (1) можно переписать так:
   $$\cos \alpha (\pm DA \cdot BC \pm DB \cdot CA \pm DC \cdot AB) = 0.$$

Покажем, что выражение в скобках не может равнять нулю, т. е. $\cos \alpha = 0$ и $\alpha = 90^\circ$. Для этого достаточно доказать, что произведение длин любых двух противоположных ребер тетраэдра строго меньше суммы произведения длин двух других пар противоположных ребер, например

28

$$DA \cdot BC < DB \cdot CA + DC \cdot AB.$$

Проведем через точки $A, B$ и $C$ произвольную сферу. Пусть она пересекает ребра $DA, DB$ и $DC$ в точках $A_1, B_1, C_1$. Легко видеть, что треугольники $ABD$ и $B_1A_1D$ подобны, и следовательно, $A_1B_1 = AB \cdot (DB_1/DA)$. Аналогично, $B_1C_1 = BC \cdot (DB_1/DC)$. Деля почленно первое из этих равенств на второе, получим, что

$$\frac{A_1B_1}{B_1C_1} = \frac{AB \cdot DC}{DA \cdot BC}.$$

Таким образом, стороны треугольника $A_1B_1C_1$ пропорциональны произведением противоположных ребер tetrahedра, и (2) следует из неравенства треугольника для $A_1B_1C_1$.

Тетраэдры, о которых идет речь в этой задаче, называются ортоцентрическими, так как их высоты пересекаются в одной точке (что, вообщее говоря, не имеет места).

В. Э. Матизен

M1040. Числа 1, 2, …, 3n произвольным образом разбиты на три группы по чисел в каждой. Доказите, что можно выбрать по одному числу из каждой группы так, чтобы одно из них равнялось сумме двух других.

Обозначим эти три группы буквами $A, B, C$ и предположим, что числа от 1 до $k-1$ попали в группу $A$, а число $k$ — в группу $B$. Тройку чисел назовем хорошей, если они все из разных групп и сумма двух из них равна третьему. Допустим, что хороших треек нет, и покажем, что тогда для всякого a из группы C число a-1 принадлежит A. Отсюда будет следовать, что в $A$ чисел больше, чем в $C$, что противоречит условиям.

Пусть $a$ — число из $C$. Тогда $a-1$ не принадлежит $B$, иначе тройка $(1, a-1, a)$ была бы хорошей. Допустим, что $a-1$ принадлежит $C$. Расмотрим число $a-k$. Если оно входит в $A$, то $(a-k, k, a)$ — хорошая тройка, если в $B$, то $(k-1, a-k, a-1)$ — хорошая тройка. Следовательно, $a-k$ входит в $C$. Аналогично, если число $a-k-1$ входит в $A$, то хороший тройкой будет $(a-k-1, k, a-1)$, а если в $B$ — то $(1, a-k-1, a-k)$. Повторяя это рассуждение, приходим к выводу, что все натуральные числа вида $a-ik, a-ik-1$ ($i=0, 1, 2, ...$) принадлежат $C$. Но при некоторых числа $a-ik$ совпадает с одним из чисел 1, 2, …, $k$ и, значит, входит в $A$ или в $B$. Это противоречен доказываем, что $a-1$ принадлежит $A$. Следовательно, если $C$ состоит из чисел $c_1, ..., c_n$, то $A$ содержит числа $c_1-1, ..., c_n-1$, причем все они больше 1, так как 2 принадлежит $A$ или $B$. Но $A$ содержит и 1, поэтому в $A$ по крайней мере $n+1$ число.

В. Е. Алексеев

Ф1048. Киномеханик по ошибкеставил киноленту так, что все события на экране «потекли в обратном направлении», при этом автоматически поехали назад. Как изменились скорость и укорение автоматия в результате такой ошибки?

Пусть, когда лента вставлена правильно, автоматически имеет скорость $\vec{v}$. Тогда его перемещение за малый промежуток времени $\Delta t = t_2 - t_1$ есть

$$\Delta x = \vec{x}(t_2) - \vec{x}(t_1) = \vec{v} \cdot \Delta t.$$

Если же лента вставлена так, что события на экране «потекли в обратном направлении», перемещение автоматically за это же время $\Delta t$ будет

$$\Delta x' = \vec{x}(t_1) - \vec{x}(t_2) = -\Delta x.$$

Но $\Delta x' = \vec{v}' \cdot \Delta t$, так что

$$\vec{v}' \cdot \Delta t = -\Delta x = -\vec{v} \cdot \Delta t,$$

29

и каждящая скорость автоматическая на экране —
$$\vec{v}' = -\vec{v}.$$

Аналогично,
$$\Delta v' = v'(t_1) - v'(t_2) = -v(t_1) - (-v(t_2)) = v(t_2) - v(t_1) = \Delta v,$$
и так как $\Delta v = \vec{a} \cdot \Delta t$, а $\Delta v' = \vec{a}' \cdot \Delta t$,
$$\vec{a}' = \vec{a}.$$

Следовательно, когда лента вставлена «задом направления», скорость автоматическая на экране меняет направление, а ускорение остается неизменным.

А. С. Вутоев

Ф1049. Деревянный плот оттолкнул от берега реки так, что в начальной момент его скорость была равной v и направлена перpendicularно берегу. Траектория плот показана на рисунке. Красный крестик на траектории — место, в котором плот находится через время T после начала движения. Считая скорость реки постоянной и равной v, найти графически точки траектории, в которых плот находится в моменты времени 2T, 3T, 4T.

Рассмотрим движение плота в системе отсчета, связанной с водой, т. е. движущейся со скоростью $\vec{u}$. В этой системе плот имеет начальную скорость $\vec{v}' = \vec{v} - \vec{u}$ и движется по прямой. При этом скорость плота $\vec{v}'$ уменьшается из-за действия на него силы сопротивления воды. (Если бы сопротивление отсутствовало, то через время T плот оказался бы в точке c с координатами

$$x_c = uT, y_c = vT.)$$ Перемещение плота относительно берега за время T складывается из его перемещения $s_\pi = v'T$ относительно воды и перемещения воды $s_B = uT$ (см. рисунок). За время 2T перемещение воды будет вдвое большим. Отложим от точки O вдоль оси x отрезок длиной 2s_B и проведем через точку c координатой 2s_B прямую, параллельную $s_\pi$. Эта прямая пересекает траекторию плота в точке, отмещенной с ним крестком,— в этой точке будет находиться плот через время 2T после начала движения.

Аналогичным построением находится точки, в которых.plot будет через время 3T, 4T и т. д.

И. Ю. Потеряйко

Ф1050. Небольшая частота массой m, несущая положительный заряд q, с очень большого расстояния приложается к конденсатору по направлению, перpendicularному его платиам, и проляется сквозь конденсатор через небольшие отверстия в середина плати. Считая, что на большом расстоянии от конденсатора скорость частцы равна v,

Если конденсатор отключен от источника тока, то система «частца+конденсатор» является замкнутой и ее полная энергия сохраняется. Внешнее электрическое поле конденсатора совершает работу над частцией, и эта работа идет на увеличение ее кинетической энергии: $\Delta K = A$. Следовательно
$$\Delta K_A = K_A - \frac{mv^2}{2} = A_A, \quad \Delta K_B = K_B - \frac{mv^2}{2} = A_B,$$
где $A_A$ и $A_B$ — работа электрического поля по перемещению частцы из бесконечности в точки A и B соответствующего, $K_A$ и $K_B$ — кинетическая энергия частцы в этих точках. По определению потенциала мы можем записать:

30

найти ее скорость: 1) в точке А внутри конденсатора (см. рис.ок); 2) в точке В сразу после вылета из конденсатора. Конденсатор заряжен до разности потенциалов U, расстояние между его пластами много меньше размеров пластин; заряд конденсатора много больше q.

$$A_A = q(\varphi_\infty - \varphi_A), A_B = q(\varphi_\infty - \varphi_B).$$

Потенциаль $\varphi_\infty$ на большом удалении от конденсатора, как это обычно делается, положим равным нулю. Найдем потенциальы $\varphi_A$ и $\varphi_B$.

Так как заряд частицы $q$ много меньше конденсатора, можно считать, что частица практические не меняет полную конденсатора. Поле внутри конденсатора однородно и его напряжность $E = U/d$, где $d$ — расстояние между пластинами. Так как отрицательно и положительное заряженные пластины равноудалены от средней линии $OO'$ внутри конденсатора, потенциаль $\varphi_{OO'}$ на этой линии будет равен нулю. Поскольку поле однородно, для точек $A, B$ и $C$ можно записать:

$$\varphi_A - \varphi_C = -E \frac{d}{2}, \varphi_B - \varphi_C = E \frac{d}{2}.$$

Но $\varphi_C = 0$, и следовательно,

$$\varphi_A = -\frac{Ed}{2} = -\frac{U}{2}, \varphi_B = \frac{U}{2}.$$

Отсюда находится $A_A$ и $A_B$:

$$A_A = -q\varphi_A = \frac{qU}{2}, A_B = -q\varphi_B = -\frac{qU}{2}.$$

Таким образом,

$$\Delta K_A = \frac{mv_A^2}{2} - \frac{mv^2}{2} = \frac{qU}{2},$$

$$\Delta K_B = \frac{mv_B^2}{2} - \frac{mv^2}{2} = -\frac{qU}{2},$$

Отсюда находится:

$$v_A = \sqrt{v^2 + \frac{qU}{m}}, v_B = \sqrt{v^2 - \frac{qU}{m}}.$$

Видно, что если $v^2 < \frac{qU}{m}$, то частица вообще не пролеит через конденсатор.

Г. В. Григорьев

Ф1051. В магнитном поле, индукция которого горизонтальная и равна В, катися без проскалывания со скоростью v тонкое металлическое колюцо, в котором имеет очень малый разрыв дилиной l; вектор В перpendикулярен плоскости колюца (рис. 1). Найти ЭДС индукции в момент, когда угод АОС (см. рис.ок) равен α.

Прямой путь нахождения ЭДС предполагает разбиение колюца на малые (почти прямолинейные) участки и суммирование всех элементарных ЭДС. Мы поступим инчаче. Если мыленно дополнительно колюцо до целого, то ЭДС в нем будет равна нулю (контур замкнут). С другой стороны,

$$0 = \mathcal{E}_0 + \mathcal{E}'$$

где $\mathcal{E}_0$ — искомая разность потенциальов, $\mathcal{E}'$ — ЭДС индукции дополнительного элемента. Следовательно,

$$\mathcal{E}_0 = -\mathcal{E}' = -uBl \sin \varphi$$

где $u$ — скорость элемента, $l$ — его длина, $\varphi$ — угол, который составляет вектор $\vec{u}$ с $\vec{B}$. Как видно из рисунка 2,

$$u = 2v \sin \frac{\alpha}{2}, \varphi = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}.$$

Таким образом,

$$\mathcal{E}_0 = -2Blv \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = -Blv \sin \alpha$$

— ЭДС меняется по синусиодальному закону.

Л. Г. Маркович