Избранные школьные задачи

44

Возведем обе части векторного равенства $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$ в скалярный квадрат. Получим

$$\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2\vec{a}\vec{b} + 2\vec{b}\vec{c} + 2\vec{a}\vec{c} = 0,$$

где $\vec{a}\vec{b} = ab$ cos $\alpha$, $\vec{b}\vec{c} = bc$ cos $\beta$, $\vec{a}\vec{c} = ac$ cos $\gamma$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — углы между соответствующими векторами.

Отсюда

$$a^2 + b^2 + c^2 = -2(\vec{a}\vec{b} + \vec{b}\vec{c} + \vec{a}\vec{c}) \leqslant 2(|\vec{a}\vec{b}| + |\vec{b}\vec{c}| + |\vec{a}\vec{c}|) < 2(ab + bc + ac) = (a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2) = 1 - (a^2 + b^2 + c^2)$$

(подумайте, почему в нашем рассуждении появилось строгое неравенство).

Таким образом, $2(a^2 + b^2 + c^2) < 1$, $a^2 + b^2 + c^2 < 1/2$, что и требовалось.

Это неравенство также точно, т. е. нельзя взять константу $k < 1/2$, чтобы при этом неравенство $a^2 + b^2 + c^2 < k$ выполнялось для всех векторов, удовлетворяющих условию задачи. В самом деле, пусть $k = 1/2 - \varepsilon$. Возьмем три колlinearных вектора длиной $\varepsilon$, $1/2 - \varepsilon$, $1/2$ соответственно, причем векторы длиной $\varepsilon$ и $1/2 - \varepsilon$ одного направления, а вектор длиной $1/2$ — противоположного. Они удовлетворяют условиям задачи, но в то же время

$$\varepsilon^2 + \left(\frac{1}{2} - \varepsilon\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + 2\varepsilon^2 - \varepsilon > \frac{1}{2} - \varepsilon = k.$$

Задча, которое мы обсуждали, допускает следующие естественные обобщения:

Докажите, что сумма квадратов сторон $n$-угольника перimetра 1:

a) не меньше $1/n$;
b) меньше $1/2$;
b) можно ли использовать утверждение пункта 6)?

А. А. Конишков

Избранные школьные задачи

Восимой класс

1. Найдите все целые значения $x$, при которых выражение $\frac{7x+1}{3x+4}$ принимает целые значения.
2. Докажите, что число $2^{10} + 5^{12}$ — составное.
3. Докажите, что в любом выпуклом пятуугольнике можно выбрать три диагонали так, что из них можно составить треугольник.
4. Дан правильный пятуугольник $P_1$, вписанный в окружность, и правильный пятуугольник $P_2$, описанный вокруг этой окружности и касающейся ее в вершинах пятуугольника $P_1$. Проведем через вершины пятуугольника $P_1$ перепределкуляры к его сторонам. Они составят правильный пятуугольник $P_3$. Докажите, что если $a_1, a_2, a_3$ — стороны пятуугольников $P_1, P_2, P_3$, то $a_3^2 = a_2^2 - a_1^2$.
5. Основания трапеции имеют длины 3 и 15. Можно ли радиус окружности, вписанной в трапецию, имеет длину 4?

Девятый класс

6. Докажите, что уравнение $xy + yz + zx = 1$ имеет бесконечную много решений в целых числах.
7. Решите в положительных числах системы уравнения

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_n = 3, \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} = 3. \end{cases}$$

8. В остругольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1, BB_1, CC_1$, пересекающиеся в точке $H$. Докажите формулу для радиуса $R$ описанной окружности:

$$R = \frac{1}{2}AH^2 \cdot \frac{A_1H}{B_1H \cdot C_1H}.$$

9. Точки $C$ и $D$ лежат на прямой, а точки $A$ и $B$ не лежат на ней. С помощью циркуля и линейки найдите на этой прямой точку $M$ такую, что $\angle BMD = 2\angle AMC$.
10. Известно, что $tg a_1 \cdot tg a_2 \dots tg a_n = 1$. Найдите наиболее возможное значение произведения $sin a_1 \cdot sin a_2 \dots sin a_n$.

Десять класс

11. Решите систему уравнений

$$x_1^2 = x_3, x_2^2 = x_4, \dots, x_n^2 = x_n - 1 = x_n, x_n^2 = x_n - 1 = x_n, x_n^2 = x_n - 1 = x_n, x_n^2 = x_n - 1 = x_n, x_n^2 = x_n - 1 = x_n, x_n^2 = x_n - 1 = x_n, x_n^2 = x_n - 1 = x_n, x_n^2 = x_n - 1$$

12. Из квадрата $ABCD$ со стороны $a$ вырезали четырьмя круглыми наиболее плоскими, причем так, чтобы прямой и квадрат имели общий угол $A$. Каковы размеры прямой угольника наиболее плоскими?

13. Можно ли плоскостью так, чтобы в течение получился правильный треугольник?

14. Из точки $O$ в пространстве выходит четырьмя лучами, что угол между любыми двумя лучами одн и тот же. Найдите этот угол.

15. При каком натуральном $n$ число $\frac{n^2}{(1,1)^n}$ будет наиболее плоским?

Задчиц 2, 3, 6, 9—11, 13, 15 нам предложил Л. Д. Курляндчик, задачи 1, 5 — П. П. Горнуша, задачи 4 — Т. Н. Демина, задачи 8 — Ю. Н. Хохленко, задачи 7, 14 — В. А. Ясинский, задачи 12 — Э. Г. Готман.