Головоломки

33

Значение числа $e$ для математического анализа стало после того, как в 1647 году былтийский математик Григорий из Сен-Винцента обнаружил связь логарифмов с плошадью под гиперболю. В частности, он нашел, что криволиейные границы под гиперболой с основанием $[1; e], [e; e^2], \dots$ имеют единчные площади.

Прямоуольники с отношением $\sqrt{2}$, часто встречаются в архитектуре, например в пропорциях церкови Покрова-на-Нерли. Встречаются они и в книгооператини, поскольку только такие прямоуольники переходят в подобные себе при складавании пополам.

ГОЛОВОЛОМКИ

1. Слова «числа» и «сима» состояят из одинаковых букв. Рассматриve эти буквы в пустых клетках квадрата так, чтобы в каждом столюе, в каждом строке и на каждой из двух диаzoналелей квадрата стояли все, пять этих букves.
   Н. К. Антонович

Впервые обозначение $e$ велл Леонард Эйлер (1707—1783). Он также вычислил число $e$ с 23 знаками, использув представление числа $e$ в виде бесконечного числового ряда: $e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}+\dots$, полученное Даниилом Вернулли (1700—1782).

$e^{i\pi}+1=0$

2. Замените буквы цифрами так, чтобы в каждом строке стояли чисел. Один накобым букем должен соответствовать одинаковым цифре, разным — разные.

Л. Эйлер получил замечательный результат, связый с заслугаю пределеняя функции $w=e^2$ для комплисных значений $z$, что положило начало математической области в комплисной области — теории функций комплисного переменного.

35

мер, если $X_0 = Y_0 = A$, то, складывая законы движения плоских матриков, мы получим решение, описывающее конечный матрик, врашащийся против часовой стрелки, если смотреть сверху:

$$x = x_1 + x_4 = A \cos \omega_0 t,$$
$$y = y_1 + y_4 = A \sin \omega_0 t.$$

Можно описать и конечный матрик, врашащийся по часовой стрелке:

$$x = x_1 - x_4 = A \cos \omega_0 t,$$
$$y = y_1 - y_4 = -A \sin \omega_0 t.$$

И наоборот, складывая эти два решения для матриков, врашащихся в разные стороны, мы снова получаем колебания, лежащие в одной плоскости.

Тепер попятно, что конечный матрик не служит тот же период, что и матрик, колеблющая в плоскости. Это следствие линейности уравнения движения!

Все сказанное выше — по существу, проявление в механике общего физического принципа: если физическая система описывается линейными уравнениями, то в ней действует прицили суперозициции — сумма решений тоже является решением.

Рассмотрим теперь случай $B_0 \neq 0$. Решения (3), описывающие колебания матрика в одной плоскости, больше не удовлетворяют уравнениям (1). Однако им удовлетворяют крутовые колебания! Действительно, закон движения $x = A \cos \omega t, y = A \sin \omega t$ удовлетворяет уравнениям при условии, что $\omega^2 = \omega_0^2 - \omega_B^2$ (проверьте!). Решая это квадратное уравнение, находим:

$$\omega_{1,2} = -\frac{\omega_B}{2} \pm \sqrt{\omega_0^2 + \omega_B^2} \approx -\frac{\omega_B}{2} \pm \omega_0$$

(поскольку $\omega_B \ll \omega_0$). Таким образом, получается два решения: матрик, врашащийся против часовой стрелки с частотой $\omega_1 = \omega_0 - \omega_B/2$, и врашащийся по часовой стрелке с частотой $|\omega_2| = \omega_0 + \omega_B/2$.

Поправка
В ионьском номере «Кванта» в разделе «Задачик «Кванта» на рисунке к заданче Ф1062 пропала точка $C$. Не наличие магнитного поля приводит к тому, что конечный матрик врашащийся в разные стороны, мы снова получаем колебания, лежащие в одной плоскости.

При $B_0 = 0$ сложение двух решений для матриков, врашащихся в разные стороны, дает колебания в одной плоскости. При $B_0 \neq 0$ получается сумма крутовых колебаний со слегка различными частотами, своего рода «крутовые биения»:

$$x = A \cos \omega_1 t + A \cos \omega_2 t = 2A \cos \omega_0 t \cdot \cos \frac{\omega_B}{2} t,$$
$$y = A \sin \omega_1 t - A \sin \omega_2 t = -2A \cos \omega_0 t \cdot \sin \frac{\omega_B}{2} t.$$

Это — не что иное, как колебания матрика с частотой $\omega_0$ в плоскости, которая сама медленно поворачивается с частотой $\omega_B/2$, т. е. как раз то, что нам нужно. Отсюда сразу получаем ответ: плоскость каучинки матрика поворачивается с угловой скоростью $\omega_B/2 = qB_0/2m$ и повернется на угол $2\pi$ за время:

$$\tau = \frac{4\pi}{|\omega_B|} = \frac{4\pi m}{|qB_0|}.$$

Поворот плоскости каучинки матрика очень напоминает поведение матрика Фуко. Как мы только что выяснили, такое движение есть сумма врашащей по и против часовой стрелки со слегка различными частотами. Можно ли применить эту идею к матрику Фуко?

Представим себе для простоты, что матрик расположен на северном полюсе. Тогда наблюдайте, который не врашается вместе с Землей, а сохраняет постоянную ориентацию относительно звездного небена, обнаружит следующее. Если он отклоняет матрик и отпускает его без наальной скорости, то матрик колебляется в фиксированной плоскости с периодом $T = 2\pi \sqrt{l/g}$. Если он запускает матрик по кругу, тот врашается с частотой имея возможность привести правильный рисунок, вносим уточнение в условие задачи: прибор находится в точке $C$ такой, что $|AC|:|AB|:|BC| = 3:2:4,5$.

имея возможность привести правильный рисунок, вносим уточнение в условие задачи: прибор находится в точке $C$ такой, что $|AC|:|AB|:|BC| = 3:2:4,5$.

тоя $\omega_0 = \sqrt{g/l}$ независяимо от направления врашения. Наблюдатель, стоящий на Земле и врашащийся вместе с ней, видит, что плоскость каучинки матрика Фуко поворачивается по часовой стрелке (если смотреть сверху) со скоростью 1 оборот в сутки (синхронно со звездным небом, относительно которого эта плоскость неодовидна). С точки зрения этого наблюдаателя конечные матрики по-прежнему совершают круглое движение, но их угловые скорости изменились: при врашении против часовой стрелки $\omega_1 = \omega_0 - \omega_3$, а по часовой стрелке $\omega_2 = \omega_0 + \omega_3$, где $\omega_3 = 2\pi/cутки = 7,27 \cdot 10^{-5} c^{-1}$ — угловая скорость врашения Земли. Складывая эти движения по формулам (4), получаем колебания в плоскости, поворачивающейся по часовой стрелке с угловой скоростью $\omega_3$, как и должно быть.

Мы видим, таким образом, что движения заряженного матрика в магнитном поле и матрика Фуко чрезвычайно похожи. В обихх случае плоскость каучинки поворачивается, а врашение по и против часовой стрелки происходит с разной угловой скоростью. Физические причины такого поведения совершено различны: для матрика в магнитном поле это сила Лоренца, а для матрика Фуко — это остraintство, что мы описываем его движения с точки зрения наблюдаателя, находящемся на Земле и врашащогося с ней. Для него матрик Фуко движется так, как если бы на шарик, кроме силы тяжестеки и силы натяжения нити, действовала дополнительная сила, аналогичная с Лоренца, которая была бы пропорциональна скорости и периодикулярна ей. Эта сила навывается с силой Королласа и представляет собой частный случай — дополнительных сил, которые надо учитывать при использовании неинерцальных (в том числе врашащихся) систем отчета.

Д. А. Купцов, М. М. Цыпин

Участикам конкуриса «Задачик» сообщаем, что срок присылки решения этой задачи продлевается до 1 октября.