X Турнир юных физиков

59

Х Турнир юньых физиков

Науки юньшей питают,
Отраду старым подают,
В счастливой жизни
украшают,
В несчастной — служащей
берегут…
М. В. Ломоносов

Турнир проводится физическим факультетом МГУ им. М. В. Ломоносова с сентября 1987 по февраля 1988 года.

Решения задач заочного коллективного конкурса необходимо оправить не позднее 16 ноября 1987 года по адресу: 119899 Москва ГСП, МГУ, физический факультет, кафедра физики колбаней, Оргкомитет ТЮФ-X. В графе «Кому» написите: заочный конкурс ТЮФ-X и номера задач, решения которых вы посылаете. В конверт выполняте анкеты:

1. Почтовый адрес школа.
2. Фамилия, имя, отчество руководителя команды.
3. Список авторов решений.

В начале решения каждой задачи обязательно укажите город, номер школа, класс, фамилии и имена авторов решения. К экспериментальным задачам приложите подробные описания установки, их схемы, желательно фотографии и экспериментальные данные. Наболее укажите решения задачи и самостоятельно сформулированные проблемы будут отмечены грамотами турира и предложены для публикации в журнале «Квант».

Более подробную информацию о ТЮФ-X можно получить в Оргкомитете ТЮФ поышеказанному адресу.

Задания заочного коллективного конкурса ТЮФ-X

1. Придумай сам. Предложите оригинальные проекты технического и научного использования высокотемпературной сверхпроводимости.

2. «Вечирпемник». Сконструируйте и изготовьте переносной радиоприемник, не использующий источников питания. Зачетный параметр: $x=P/Lm$, где $P$ — звуковое давление на расстоянии 1 м от приемника, $L$ — максимальный линейный размер приемника, $m$ — масса приемника.

3. Camera obscura. Выполните групповой портрет вашей команды с помощью камеры-обскрытия. Обоснуйте физические принципы получения качественного сигнка с помощью такого приспособления.

4. Электрическая цепь. Несколько узлов ($n<10$) соединены между собой батарейками с известными ЭДС и $r$. Составьте программу вычисления на ЭВМ для определения разности потенциаль между первым и вторым узлами. Критерiem качества программы считайте время от начала ввода данных в компьютер (таблицы значений ЭДС и $r$) до момента выдачи правилного результата.

5. Метrologия. Определяйте пределную точность измерения длины стальной линейкой.

6. Продавец вакуума. Предприниматель звездоплаватель решил поставлять в физическиелаборатории мира вакуум из космического пространства. Каковы шансы на успех его предпрития?

7. Солнце на закате. Видимый диск Солнца на закате сплошен. Экспериментально изменьте и опишите эти искажения. Расчитайте теоретическое отношение горизонтовного и вертикального размеров солнечного диска, касающийся линейно горизонта.

8. Цветное телевидение. Вам надо сконструировать четырехцветный телевизор. Какие цветы вы бы выбрали в качестве основных? Должна ли измениться при этом светочая аппаратура?

9. Девятый вал.
   «Перед много волны моря. Их много. Им немыслим счет.»
   В. Пастерак Существует ли «Девятый вал»? Внесите ясность в этот вопрос. В качестве отправной точки может использоваться идеи, изложенные в статье «Тройка, семерка, туз …» (Знание — сила, 1987, № 1; с. 97—104).

10. Самовозгранение.
    «Но и от ветра, когда раскачавшись, деревья ветвями,
    Сильно шатаясь, научут налегать одно на другое,
    Мощное треное их источает огонь, и порюю,
    Вспыхнутши, вдруг
    заблескит и взнесется горячее пламя,
    Если вззамно они и стволами, и сучьями труется.»
    Лукрец Кар.
    Так римский фильософ обясляпропскождение лесных пожаров. Оцените вероятность такого возгорания и его место в ряду факторов, вызывающих возникновение пожаров в природа, т. е. не являющихся следствием деятельности человека.

11. Лампа накаливания. Утверждают, что две лампочки по 60 Вт дают больше света, чем три лампочки по 40 Вт. Так ли это? Испледуйте, как изменяются светотдания и срок службы лампы накаливания при небольшим изменении напряжения питания.

12. Весна в горode. Весна в горode насупает раньше, чем в сельской местности. Опишите основные факторы, приводящие к этому, и произведите численные оценки. В частности, что будет, если однажды вывезти весь снег из Москвы за горode?

13. Теплопередача. Испледуйте теплопередачу через вертикальный столб воды в двух случаях: $T_1 < T_2$ и $T_1 > T_2$.

1 — водяной столб,
2 — теплопередача труба.

14. Мезоскопика. Один из механических эффектов состоит в том, что сопротивление двумерного металлического образца при низких температурах может существенно измениться при изменении по-

60

ложения всего лишь одного атома решетки. Наглядное представление об этом эффиците можно получить, рассматривая следующий малеBNные плоские зеркала с коэффициентом отражения, равным единице. Каждое зеркало может пребивать лишь в двух положениях: с наклоном под углом 45° либо вправо, либо влево.

Состояние зеркала находится изменяется, поэтому лазерный луч, попадающий на узел решетки, с равной вертностью отражается в одну или другую сторону на 90°. Оцените, как изменится световая мощность на выходе системы, если в один из узлов взмест зеркала помещить элемент, полностью поглощащий свет.

15. Медный грош. Монета в 1 копейку «выпала» из костичской ракеты и стала искусственной планетой Солнечной системы. Оцените время существования как планеты, учитывая взаимодействие с солнечным светом.

16. Электроны в ловушке. Неколько электронов (2≤n≤30) могут свободно перемешаться внутри круга радиуса R. Каоое взаимодействие электронов устойчиво?

17. Резистор Калиостро. Для школьного тестера даже человек — это резистор. Используйте с помощью школьного тестера законы последовательного и параллельного соединения таких резисторов (традиционно задача № 17 имеет шуточный оттенок).

Советы дебютантом турина

Как решать туриниру задачу. Условия туриниры задачу часто ставят дебютанта в тупик. Иnorда ему даже не ясно, что, собственно, решать, и совсем не понятно, как решать! В таком случае нужно поступать так, как это делают физики. Задачу нужно максимально употребить, сузить, ограничить в рамках простых и ясных допущений, поставить четкий и ясный вопрос, на который можно ответать. Затем поставляется получить качественный ответ — здесь вам помогут сообщения подобия, метод размерностей и ваша интуция. Но ограничивать эти нелезя. В решении должны быть строгость и полота. Смело экспериментируйте. Помните, что почти все задания туринира допускают проведение экспериментального исследования. Предостерегаем вас от чрезмерного увлечения аппаратом высшей математики. Турир не преследует таких целей. В первую очередь должны быть освещены и именно качественная сторона и физическая суть проблемы.

Как можно работать коллективно. Для этого организуйте работу заседания (встречи). Первая встреча — организационная. На нее пригласите всех, кто интересуется туриниром. Здесь прочитте задания туринира, и пусть желающие выберут себе задания для решения. Не беда, если некоторые задачи захотят решать многое, а часть освещается не выбранной. Главное содержание первого встречи — начало работы. Вряд ли стоит сразу же нахождение капитана и огваривать состав команды, но «координатор» вших встреч совершенню необходим. Он должен знать все состояния дел: когда состояние следующего встреча, какие задачи будут обсуждаться, что уже решено и кем, что в стадии решения, что еще совсем не решается и т. д.

Следующие встречи — рабоче. На них заслуживают решения задачи и после критических замечаний и уточнения принятия или отправляются наоработку. Если какое-то решение принимается, то желательно, не откладывать на завтра, окончательно оформить его и положить в папку готовых решений. На таких встречи складываются творческие коллективы и постепенно определятся состав команды. Скоро выяснить, что один участник встречи могут решить задачу, другие сильны в организациином плане, третьи не решают задачу, но выдвигают свежие и здравые идеи, а неокоторые сильны своим критическим замечанием или же просто умогот создавать атмосферу эмпириального подъема и творческого накаала. Все они на своем месте и необходимы коллективу. В середине октября нужно будет проверить, что же сделано — подвестиитutor. Если okayется, что неокторы задачи не решены или не решались вовсе, то теперь их уже надо распределить по работе группам и назначить сроки исполнения с тем, чтобы выработать совместное решение этих задач (возможно, в упрошенном виде —правила туринира это допускают).

На последней встрече необходимо формировать команда и выбрать капитана.

Кто ваший помошник. В первую очередь — вашучателя физики. Решать за вас задачи они не будут, но посоветовать или покритивать вашей решения могут. В организациюном плане их помощь совершенню необходим. Он должен знать о состоянии дел: когда состояние следующего встреча, какие задачи будут обсуждаться, что уже решено и кем, что в стадии решения, что еще совсем не решается и т. д.

Помочь могут родители. От них вы можете детратионных подходов, помощи в том, что сейчас не может дать вам школа. Это в большинстве степени относится к вашим родственникам и друзьям.

Помочь могут студенты — выпускники вашей школи. Разумное взаимодействие с ними привести вам много полезны. Однако поиск и повышение на них должны поднять ваш самостояльную и активную работу над решением задачи. Если вам удалось «найти» решение задачи, не решая ее, то ценна такому «подвигу» не высказка.

Наконец, книга — ваш главный помошник. Многие проблемы, затронутые в задачах ТЮФ, в какой-то степени, возможно, уже решены. Творческие исследования уже полученные результаты (при этом не забудьте дать ссылку на источник). Книга может многого подсказать и многоому научить.

Желаем вам удачи и творческих успехов.
Т. П. Корнеева, Е. Н. Юносов, Н. В. Аминский

61

Преобразования плоскости в задачах на построение

1. Вершина $B$ треугольника $ABC$ переходит в вершину $C$ при преобразовании $S_{l} \circ H_{k}$, где $l$ — бисектриса угла $A$, $k = AC/BC$.

2. Рассматриваемый отрезок симметричен относительно перпендикуляра к данной прямой, проведенного через центр окружности.

3. Фигуры $M_{1}$ и $M_{2}$ — дуги, из точки которых отрезок между маяками виден под данными углами, преобразование $F$ — параллельный перенос на вектор, изобразующий перемещение корабля между моментами измерения.

4. Постройте отрезок $AA_{1}$ и найдите геометрическое место точек $B$ и $C$; воспользуйтесь тем, что они симметричный друг друг относительно $A_{2}$.

5. Вершина ромба переходит в соседнюю вершину при композиции поворота на $90^\circ$ вокруг центра $O$ и инверсии с центром $O$ и коэффициентом $S/2$, где $S$ — площадь ромба.

Избранные школьные задачи

1. $-3, -1, 7$. Указание. Если $x \leq -6$ или $x > 7$, то $2 < \frac{7x+1}{3x+4} < 3$.

2. $2^{10}+5^{12}=(2^{5}+5^{6})^{2}-2\cdot 2^{5}\cdot 5^{6}=(2^{5}+5^{6})^{2}-(2^{3}\cdot 5^{3})^{2}=(2^{5}+5^{6}-2^{3}\cdot 5^{3})$.

3. Пусть $AD$ — наибольшая диагональ (рис. 1). Тогда годятся диагонали $AD$, $AC$ и $BD$, так как $AC+BD > AO+DO > AD$.

4. Положим $\alpha=18^\circ$. Легко видеть, что
   $$a_{2}=\frac{a_{1}}{\cos 2\alpha}, \quad a_{3}=\frac{a_{1}}{\cos \alpha}-a_{1}tg\alpha.$$
   Заметив, что $\cos 4\alpha=\cos 72^\circ=\sin 18^\circ=\sin \alpha$, производим выкладку:
   $$a_{1}^{2}+a_{3}^{2}=a_{1}^{2}+\frac{a_{1}^{2}(1-\sin \alpha)^{2}}{\cos^{2}\alpha}=a_{1}^{2}\frac{2-2\sin \alpha}{1-\sin^{2}\alpha}=\frac{2a_{1}^{2}}{1+\sin \alpha}=\frac{2a_{1}^{2}}{1+\cos 4\alpha}=\frac{2a_{1}^{2}}{2\cos^{2}2\alpha}=a_{2}^{2}.$$

5. Не может. Доказательство. Пусть $ABCD$ — трапеця, удовлетворяющая условием задачи (рис. 2), и пусть $CE \parallel AB$. Тогда у треугольника $CED$ основание $ED$ имеет длину $15-3=12$, высота (опущенная на основание) — длину 8. Сумма $CE+CD$ будет наименьшей, если $CE=CD$ (потому что $CE+CD=CE+CD'$), а в этом последнем случае $CE=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$. Таким образом, $AB+CD=CE+CD \geq 20>18=AD+BC$, что противоречит возможность выполнять в трапецию $ABCD$ окружность.

6. Указание: положите $x=k$, $y=1-k$ и найдите $z$.

7. Если $n \geq 4$ или $n=1$, то решений нет; если $n=3$, то $x_{1}=x_{2}=x_{3}=1$; если $n=2$, то $x_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, x_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

Решение. Сложим наши уравнения:
$$\left(x_{1}+\frac{1}{x_{1}}\right)+\left(x_{2}+\frac{1}{x_{2}}\right)+\dots+\left(x_{n}+\frac{1}{x_{n}}\right)=6.$$

Но $x+\frac{1}{x} \geq 2$ при $x>0$, причем $x+\frac{1}{x}=2$ только при $x=1$. Значит, $n \leq 3$, и если $n=3$, то $x_{1}=x_{2}=x_{3}=1$. Случай $n=2$ и 1 труда не представляют.

8. Указание. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $ABC$, $AHB$, $AHC$ и $BHC$, имеют один и тот же радиус $R$. Выразите $AH$, $A_{1}H$, $B_{1}H$, $C_{1}H$ через $R$ и снулись углов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ (рис. 3) и подставьте эти выражения в правильную доказательство.

9. Построение. Пусть $A'$ — точка, симметричная точке $A$ относительно данной прямой. Проведем окружности с центрами $A$ и $A'$, касающейся данной прямой, и к каждой из этих окружностей проведем касательные из точки $B$. Точки пересечения этих касательных с данной прямой обозначим через $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$, $M_{4}$. Условия задачи могут удовлетворять только точки $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$, $M_{4}$ (доказатель!) и каждая из них удовлетворяет или не удовлетворяет им в зависимости от расположения точек $C$ и $D$. Если, например, точки $A$ и $B$ расположены, как показано на рисунке 4, то $\angle BM_{1}X=2\angle AM_{1}Y$, $\angle BM_{2}Y=2\angle AM_{2}Y$, $\angle BM_{3}Y=2\angle AM_{3}X$ и $\angle BM_{4}X=2\angle AM_{4}X$. Так, скажем, если точка $C$ лежит между $M_{2}$ и $M_{3}$, а точка $D$ лежит между $M_{3}$ и $M_{4}$, то решений три: $M_{2}$, $M_{3}$, $M_{4}$; если же точка $C$ лежит правее $M_{4}$, а точка $D$ — между $M_{1}$ и $M_{2}$, то решений нет вовсе.

Заметание. Точка $B$ может попасть внутри одного из построенных кругов; тогда из нее нельзя проверить касательной к соответствующей окружности. Если точка $B$ попадет на окружность, то к этой окружности проводится одна касательная. Кроме того, проведенная касательная может быть параллельна прямой $CD$. Разберете эти случаи самостояльно.

10. $(1/\sqrt{2})^{n}$. Решение. Из условия $\sin \alpha_{1} \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n}=\cos \alpha_{1} \cdot \dots \cdot \cos \alpha_{n}$. Поэтому $2^{n}(\sin \alpha_{1})^{2} \cdot \dots \cdot (\sin \alpha_{n})^{2}=\sin 2\alpha_{1} \cdot \dots \cdot \sin 2\alpha_{n} \leq 1$ и $\sin \alpha_{1} \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n} \leq(1/\sqrt{2})^{n}$. Равенство достигается при $\alpha_{1}=\dots=\alpha_{n}=\pi/4$.

62

11. Если $n$ нечетно, то $x_1 = \dots = x_n = 1$. Если $n$ четно, то $x_1 = x_3 = x_5 = \dots$, $x_2 = x_4 = x_6 = \dots$ и либо $x_1 = 1$, либо $x_2 = 1$. Доказательство. Пусть $n$ нечетно. Если $x_1 = 1$, то $x_3 = 1$, $x_5 = 1$, …, $x_n = 1$, $x_2 = 1$, $x_4 = 1$, …, $x_{n-1} = 1$. Если $x_1 > 1$, то все $x_i$ больше 1, и $x_1 = x_n^{x_1} > x_{n-1} = x_n^{x_2} > x_{n-3} = \dots > x_1$; случай $x_1 < 1$ анализчен. Пусть $n$ четно. Если $x_1 = 1$, то $x_3 = x_5 = \dots = 1$ и $x_2 = x_4 = x_6 = \dots$. Если $x_2 = 1$, то $x_4 = x_6 = \dots = 1$ и $x_1 = x_3 = x_5 = \dots$. Предложим, что $x_1 \neq 1$ и $x_2 \neq 1$. Если, скажем, $x_1 < 1$, то $x_3 < 1$, $x_5 < 1$, … и $x_1x_3x_5 < 1$, что противоречит вытекающему из уравнения равенству $x_2^{x_1x_3x_5} = x_2$.

12. Найбольшую площадь имеет прямогольник, вершина $E$ которого, противоположная $A$, лежит на границе нашей четверти кругга и среди точек этой границы наиболее удалена от диагонали $BD$. Именно, если $r \geqslant 2(\sqrt{2}-1)a$, то в качестве $E$ можно взять точку пересечения границ с диагональю $AC$; прямогольник будет в этом случае квадратом со стороны $a-r\sqrt{2}/2$. Если же $r \leqslant 2(\sqrt{2}-1)a$, то в качестве $E$ можно взять точку пересечения границ четверти кругга со стороны $BC$ или со стороны $CD$; прямогольник в этом случае будет иметь стороны длиной $a$ и $a-r$. (Таким образом, в случае $r=2(\sqrt{2}-1)a$ задача имеет три решения.) Указание. Выведите формулу
    $$2S = (x+y-a)^2 + a^2-r^2,$$
    где $S$ — площадь прямогольника, $x, y$ — длины его стороны. Проведите через точку $E$ (лежащую на границе нашей четверти кругга) прямую, параллельную диагонали $BD$ квадрата, пересекающую прямую $AB$ в точке $K$. Тогда $BK = |x+y-a|$, так что площадь $S$ искомого прямогольника имеет наиболее значение тогда и только тогда, когда расстояние $BK$ является наиболее близимым. Вычислите $S$ для случая, когда точка $E$ есть точка пересечения границы четверти кругга со стороны квадрата и с диагональю $AC$ квадрата. Сравните результаты вычислений.

13. Нет, не любой. Расмотрим трехгранный угол с плоскими углами $100^\circ, 100^\circ, 50^\circ$. Предположим, что сечением его некоторый плоскостью служит правильный треугольник $ABC$ (рис. 5). Так как углы $AOB$ и $BOC$ туples, $AB$ и $BC$ — это наиболее стороны в треугольнике $OAB$ и $OBC$ соответственно. В таком случае стороны $AC$ наиболее в треугольнике $AOC$. Но это не так, либо угол $AOC$ меньше $60^\circ$.

14. arccos$(-\frac{1}{3})$. Указание. Постройте на лучах равные отрезки $OA, OB, OC, OD$. Тогда $ABCD$ — правильный треугольр, а точка $O$ — его центр тяжестки (делит высоту треугольра в отношении 3:1).

15. 21. Решение. Из условия следует, что $\frac{n^2}{(1,1)^n} \geqslant \frac{(n-1)^2}{(1,1)^n} \text{ и } \frac{n^2}{(1,1)^n} \geqslant \frac{(n+1)^2}{(1,1)^n}$. Значит, $\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^2 \geqslant 1,1 \geqslant \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$ и $\frac{1}{\sqrt{1,1-1}} + 1 \geqslant n \geqslant \frac{1}{\sqrt{1,1-1}}$. Так как $1,048 < \sqrt{1,1} < 1,05$, то $21,9 > \frac{1}{0,048} + 1 > n > 20$.

Работа, энергия, теплло

1. $A' = (3/11)(4RT - 3Q) \approx 3,9$ кДж.
2. $A = pV = \frac{m}{M}RT = \frac{Q}{rM}RT$.
3. $N = Q_\tau - \frac{m}{\tau}(c(t-t_0) + \lambda) = 426$ Вт.

Сколько стоит дыня?
Пусть $x$ — налог на одну дыню, $y$ — цена дыни. Тогда
$$\begin{cases} (104-19)x = 19y-1, \\ (17-3)x = 3y+1. \end{cases}$$
Отсюда $x = 2, y = 9$.

Калейдоскоп «Кванта»
(см. «Кванта» № 7)
Редактиция уверена, что читатель успешно справился с заданиями «Калейдоскопа». Однако если сам читатель в этом не уверен, мы советует ему обратиться к книге Я. И. Перельмана «Занимательная физика».

Задачи на разрезание
(см. «Кванта» № 7)
Решения всех задач — на рисунке справа.

«Кванта» для младших школьников
(см. «Кванта» № 7)

1. Дяде Алеше 34 года, мне 17 лет.
2. Открытие двери в салоне электрички сами закрываются, ставываясь по направляющим под действием силы тяжестки.
3. Заметим, что $100000 = 10^5 < **198*7 < 30^5 = 24300000$. Кроме того, заметим, что всякое число в пятой степени оканчивается

63

Задачи на разрезание

Две фигуры

Танграм

Квадрирование фигуры

Продырявленный квадрат

Зубчатый квадрат

Откуда взялась нога

Елочка

Из двух – один

Лесенка

Ступеньки

Из трех – один

Мальтийский крест

63

64

на ту же цифру, что и само число. Поэтому, казалось бы, нужно проверить лишь два числа: 17 и 27. Однако уже 26$^5$ — воспоминание число. Так что на доске было написано 17$^5$=1419857. На самом деле можно былостереть шесть цифр, оставив *****7. А Антон оставил 1987 — ведь карнавал был новогодний!
4. Пусть мы начали шнуровать с правой верхней дырочки. Затем мы можем пропустить шнуров в любую из дырочек, кроме второй верхней дырочки, т. е. 8 разными способами. Следующим шагом продеваем шнурок в дырочку направив, и снова у нас выбор, теперь уже из 6 возможностей, потом, после еще двух пропусканий шнура, у нас остается 4 возможности, потом 2, и наконец, пропускаем шнурок в левую верхнюю дырочку. Все утверждение не могут быть новерными, так как в таком случае последнее утверждение было бы верным, что противоречит нашему предположению. Итак, верно лишь одно утверждение, а именно 99-e, которое утвердает, что неверно 99 утверждений, а верно одно — оно само.

Шахматная страница (см. «Квант» № 5)

Задание 9 (Гилл — Орбах, 1925 г.). 1. Лg1! Ф:g1 2. Кg5+ Ф:g5 (2…Крg7 3. Фe7+ Лf7 4. Ф:f7+ Кph6 5. Фh7×) 3. hg с простым выигрым.

Задание 10 (В. Алайков, 1986 г.). Ход 1. Лf3, перекрывающий слону g4 доступ к полю e2, проверяется путем 1…Л:c4!, а на 1. Cf3 с той же угрозой 2. Ke2× следует 1…C:c3! Правильно 1. b7! Тепергрозит 2. b8K! и 3. K:c6×. После 1…Cb4 уже решает 2. Лf3! (2. b8K Ла6) и 2…Л:c4 невозможно, так как слон перегородил дорогу ладь. На 1…Лb4 решает 2. Cf3! и зачита 2…C:c3 пропала из-за ладь, перекрывший дорогу слону. Изящная трактовка известной в композиции геометрической темы Гришоу. Редкий случай, когда перекрытия в задаче осуществляют и белыми, и черными фигурами.

Редактионный совет:
А. М. Балдин, С. Т. Беллев, Е. П. Велихов, И. Я. Верченko, В. В. Возdvijженский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Erмолaeва, А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, В. А. Кирилин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикеева, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенko, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Сдано в набор 17.06.87. Подписано к печати 24.07.87. T-12188. Вумага 70×108/16. Печать офсетная Усл. кр.отт. 23,8. Усл. печ. л. 5,6. Уч.-изд. л. 7,38 Тираж 200 048 экз. Цена 40 коп. Заказ 1633

Ордена Трудового Красного Замени
Чеховский полигraphический комбинат
ВО «Союзполигraphiform»
Государственное комитета СССР
по делам издаемых, полигraphии
и книжной торговли
142300 г. Чехов Московской области

Номер подготовили:
А. Н. Виленкин, А. А. Егоров, И. Н. Клумова,
Т. С. Петрова, А. В. Сосинский, В. А. Тихомирова

Номер оформили:
Ю. А. Ващенко, М. В. Дубах, С. В. Иванов,
Д. А. Крымов, Н. С. Кузьмин, З. В. Назаров,
А. М. Пономарева, И. И. Чернуский, В. В. Юдин

Заведующая редакцией Л. В. Чернова
Редактиор отдела художественного оформления
С. В. Иванов
Художественный редактор Т. М. Макарова
Корректор М. Л. Медведская

103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант», тел. 250-33-54