Гексаграммы Паскаля и кубические кривые

2

ГЕКСАГРАММЫ ПАСКАЛЯ
И КУБИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ

Кандидат физико-математических наук
Н. Б. ВАСИЛЬЕВ

В 1640 году Блез Паскаль (ему шел тогда семнадцатый год) обнаружил замечательное свойство шестизвенной замкнутой ломаной, вписанной в окружность. В возникающей конфигурации (рис. 1), которое Паскаль назвал «мистичской гексаграммои», некоторые три точки пересечения неизбежно оказываются лежащими на одной прямой. Свое открытие Паскаль опубликовал в виде афиши, изданной в пятидесяти экземплярах для раздачи и пересылки отдельным ученым. Работа Паскаль и вышедшее четырьмя годами раныше небольшое сочинение Жерара Дезарга «Образец одного из общих способов для употребления перспективы» последули фундаментом новой математической дисциплины — проектной геометрии. Именного тогда было осознано, что «древние знания не все» (выражение ПЬера Ферма) — до тех пор достижения геометров Древней Греции считались непrevзойденными.

С именем одного из последних античных геометров — Паппа Александрийского, жившего в III веке н. э.,— связана теорема о шестизвенной ломаной, похожая на теорему Паскаль; с нее мы и начнем расссказ.

Очень советуем проведти экспериментальную проверку этих теорем:

сделать несколько кругпных и аккуратных чертежей — это не только убедит вас в справедливости теорем, но и позволяет понять восторг, охватывающий в свое время Паскаль и его современников (а быть может, и Паппа).

На геометрических доказательствах и многочисленных следствия теорем Паппа и Паскаль мы не будем задерживать, затронув лишь одну почительную тему — использовать геометрические преобразования, в том числе центрального проектирования. Наша главная цель — показать, что свойства «гексаграммо» — лишь часть проявления более общего факта, относящегося к алгебраической геометрии, одному из самых глубоких разделов математики XIX—XX веков. Мы увидим, что тот же факт обязывает и основное свойство операции «сложения точек» на кубической кривой (о его применениях в теории чисел рассказываюсь в прошлом номере «Квана»).

В заключительной серии рисунков точки трех цветов и соединяющие их прямые образуют конфигурации, где удивительные совпадения точек пересечения (которые в конфигурациях Паппа и Паскаль возникли).

Рис. 1. Теорема Паскаль. Какие бы шесть точек ни взяты на окружности и как ни занутеровать их числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, точки пересечения прямых 12 и 45, 23 и 56, 34 и 61 будут лежать на одной прямой (ее называют прямой Паскаль вписанного шестизвенго шестиугольника 123456). Другая формуларовка: точки пересечения протwoго ложных сторон вписанного шестиугольника или их продолжений лежат на одной прямой.

3

Teorемы Паппа

Начнем со сравнительной простой теоремы о 6 точках, лежащих на двух прямых a и b (рис. 2a).

Teорема 1a. Пусть вершины шестизвенной замкнутой ломаной лежат попереенно на двух прямых. Если две пары противоположных звеньев этой ломаной (1-e и 4-e, 2-e и 5-e) параллельны, то и оставшаяся пара звеньев (3-e и 6-e) параллельна.

Идею доказательства посящим с помощью геометрических преобразований. Пусть прямые a и b пересекаются в точке O (рис. 2б). Расмотрим две геометрии с центром O: одну — переводящую прямую $A_1B_1$ в $A_3B_2$, и другую — переводящую $A_3B_3$ в $A_2B_1$. Их композиция — результат последовательного выполнения этих геометрий — переводит прямую $A_1B_3$ в $A_2B_2$, поэтому $A_1B_3 \parallel A_2B_2$. Заметим, что следить за преобразованиями точки $A_1$ удобно, применяя геометрии в одном порядке: $A_1 \rightarrow A_3 \rightarrow A_2$, а точки $B_3$ — в другом: $B_3 \rightarrow B_1 \rightarrow B_2$. Результат, конечно, не зависит от порядка применения двух геометрий: их композиция — это тоже геометрия с центром O, коэффициент которого равен произведению коэффициентов этих двух геометрий. В случае, когда прямые a и b параллельны (рис. 2б), в том же расуждении геометрии нужно заменить параллельными переносами.

Таким образом, теорема 1a — это просто геометрическое выражение

Рис. 3. Конфидурация Паппа из 9 точек и 9 прямых. Какие бы трейки точек $A_1$, $A_2$, $A_3$ и $B_1$, $B_2$, $B_3$ на прямых a и b ни взять, точки $C_1$, $C_2$, $C_3$ пересечения прямых $A_1B_1$ и $A_3B_2$, $A_2B_2$ и $A_1B_3$, $A_3B_3$ и $A_2B_1$ будут лежать на одной прямой (теорема 1).

коммутиативности умножения (и сложения) чисел; это объясняет важную роль теоремы Паппа в основаниях геометрии (см., например, книгу [5]).

Teорема Паппа о 6 точках — лишь очень специальный случай значительного более глубокой теоремы (также носящей его имя) о конфигурации, состоящей из 9 точек и 9 прямых (рис. 3).

Teорема 1. Пусть три получные прямые пересекают три красные в двух прямых точках. Если две трейки черных точек лежат на двух прямых (отличных от красных и голубых), то и оставшаяся трейка черных точек лежит на прямой.

Конфигурация Паппа заменяется тем, что все три трейки прямых — голубых, красных и черных — участвуют в ней совершению равновравно: в каждой из 9 точек пересекаются три прямые разных цветов.

Начав строить такую конфигурацию, мы обнаружим, что при неудачном выборе первых шести точек $A_1$,

Рис. 2. Гексадраммы Паппа. Шесты вершин ломаной $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$ лежат попереенно на двух прямых a и b: первые четыре выбираются произвольно, затем $A_3$ и $B_3$ строятся так, что $B_2A_3 \parallel A_1B_1$, $A_3B_3 \parallel B_1A_2$, тогда обязательно $B_3A_1 \parallel A_2B_2$ (теорема 1 a). Доказательство: a), б) переменные равенства $OA_1/OA_3 = OB_1/OB_2$ и $OA_3/OA_2 = OB_3/OB_1$; в) сложив равенства $\overrightarrow{A_1A_3} = \overrightarrow{B_1B_2}$ и $\overrightarrow{A_3A_2} = \overrightarrow{B_3B_1}$, получим $\overrightarrow{A_1A_2} = \overrightarrow{B_3B_2}$.

4

Рис. 4. Сведение общей теоремы Паппа к специальному случаю (теореме 1 а). На рисуем конфигурацию Паппа на стекле или произвольные размеры, расположим ее в наклонной плоскости так, чтобы прямая $C_1C_2$ была горизонтальной, и спроектируем на горизонтальную плоскость с помощью источника света $S$ — центра проекции, — расположенного над плоскостью на той же высоте, что и прямая $C_1C_2$. В проекции получится гескадрама Паппа: пары разновеетных прямых, пересекающих в точках $C_1, C_2$ и $C_3$, проектируются в пары параллельных прямых, поэтому $C_3$ лежит на прямой $C_1C_2$.

$B_1, A_2, B_2, A_3, B_3$ новые точки $C_1, C_2, C_3$ могут оказаться далеко за пределами чертежа. Например, при $A_1B_1 \parallel A_3B_2$ точка $C_1$ просто «уйдет в бесконечность». (При этом прямая $C_2C_3$ будет также параллельна $A_1B_1$ и $B_2A_3$.) Если же две из трех точки $C_1, C_2$ и $C_3$ «уходят в бесконечность», то согласно теореме 1 а и третья также должны оказаться «в бесконечности»; в этом случае удобно говорить, что все три точки $C_1, C_2, C_3$ лежат на одной «векlonной проекции» (рис. 4); художники со времен Леонардо да Винчи и Альбрехта Дюрера называют его «линейной перспективой». Проекция с центром $S$ каждой точке $M$ ставит в соответствии точку $M'$ пересечения прямой $SM$ с некоторой плоскостью $p$ (плоскостью проекции). Важно, что при этом образы точки одной прямой новых лежат на одной прямой, хотя некоторые пересекающие прямые переходят в параллельные (их точка пересечения «уходит в.beсконечность») и наоборот.

Замечательна идея Дезарга, лежащая в основе проектной геометрии: мысленно дополнить плоскость «бесконечно удаленных точками», в каждой из которых пересекаются параллельные друг друг прямые, и считать все эти точки лежащими на одной «бесконечно удаленной прямой» — тогда при центраной проекции одной плоскости на другую не возникает никаких исключающий, это преобразование становится взаимнонозначным. Эта «проектная» точка зрения будет постоянной побочной темой нашего рассказа, но мы не будем развивать ее здесь подробно (см. [1], [2]).

Конфигурации Паскала

Теореме Паскала можно придать тот же красочный вид, что и теореме Паппа о 9 точках.

Теорема 2. Пусть три красные прямые пересекают три полубые в деяти черных точках. Если шесть этих точек лежат на одной окружности, то три остальные лежат на одной прямой (рис. 1).

Верна и в определенном смысле «обратная» теорема.

Теорема 2’. Если из деяти черных точек пересечения треки красных с тройкой полубых прямых три лежат на прямой, а еще пять — на окружности, то и деятия точка лежит на той же окружности.

Как понял сразу же сам Паскаль, его теорему можно значительно обобщить: вместе окружности в ней может фигурировать эллипс, гипербола или парабола, либо любую из этих кривых можно получить центраной проекцией окружности. Поэтому из конфигурации Паскала для окружности можно получить конфигурацию для любой из этих кривых.

Все эти кривые называются кривыми второго порядка, поскольку из них можно задать уравнение вида $P(x, y) = 0$, где $P$ — многочлен второй степени:

$$P(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f.$$

Любопытно, что теорема Паскала остается верной и для вырождного случая, когда многочлен $P$ раскладывается на два линейных множителей: в этом случае второго порядка $P(x, y) = 0$ превращается в пару прямых, а теорема Паскала — в теорему Паппа.

Существует много различных доказательств теоремы Паскала для окружности (см., например, «Квант» 1982, № 7, с. 2, книги [1], [2], [3]).

5

Кубические кривые

Алгебраический кривой треугольного порядка, или кубической кривой, называется множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих $P(x, y) = 0$, где $P$ — многочлен треугольного степени: $P(x, y) = ax^3 + bx^2y + \dots + l$ (всего 10 членов). Заметим, что это определение не зависит от выбора системы координат: при перехождения одной системы координат к другому, даже косоугольной, старые координаты выражаются через новые по линейным формулам

$$x = a_1x' + b_1y' + c_1, \quad y = a_2x' + b_2y' + c_2,$$

позному в новых координатах кривая будет задаваться также многочленом треугольенной степени.

Кубическая кривая называется приводимой, если многочлен $P(x, y)$ раскладывается в произведение многочленов меньшей (первой и второй) степени, и непроводимой — в противном случае. Такую кривой мы будем обозначать иногда буквой $\Omega$ — неокторые из очень разнообразных по форме кубических кривых имеют положный вид. Например, кривая $(x + 1)(x^2 + y^2 - 1) + \varepsilon = 0$ при малом $\varepsilon$ (скажем, $\varepsilon = 0,001$) очень близка к приводимой кривой $(x + 1)(x^2 + y^2 - 1) = 0$, состоящий из прямой $x = -1$ и окружности $x^2 + y^2 = 1$. Если многочлен раскладывается в произведение трех линейных многочленов: $P = L_0L_1L_2$, то кривая $P(x, y) = 0$ будет объединением трех прямых $L_0 = 0$, $L_1 = 0$, $L_2 = 0$.

Оказывается, любой многочлен треугольенной степени можно представить в виде суммы двух таких «сильно приводимых» многочленов; это будет видно из доказательства следующей теоремы о 9 точках на кубической кривой.

Теорема 3. Пусть три кривые прямы пересекают три точки черных точках. Если воспользоваться три черных точками на некоторой кубической кривой, то и девятая лекция на той же кубической кривой.

В специальном случае, когда кривая приводима, отсюда получается теоремы Паппа и Паскала: если кривая распадается на три (черных) прямых, то теорема 3 превращается в теорему 1, а если на прямую и кривую второго порядка, то в теоремы 2 и 2’. Таким образом, доказав теорему 3, мы получим одновременное все предыдущие результаты, причем сразу в общем случае!

Пусть прямые $R_i = 0$ и $L_j = 0$ пересекаются в точке $A_{ij}$ (рис. 5; $i$ и $j$ принадлежат значения 0,1 и 2). Докажем, что если все точки $A_{ij}$, кроме $A_{22}$, лежат на кубической кривой $P(x, y) = 0$, то $A_{22}$ — тоже. Положим $K = L_0L_1L_2$, $\Gamma = R_0R_1R_2$ и доказем, что для некоторых чисел $\lambda$ и $\mu$ выполнен токдействию $P = \lambda K + \mu \Gamma$. Отсюда будет следовать, что $P = 0$ в точке $A_{22}$: ведь $K = 0$ на красьх прямых, $\Gamma = 0$ на голубых, так что в черных точках выполнены оба эти равенства.

Удобно считать, что прямые $L_0 = 0$ и $R_0 = 0$ — это оси координат, так что $L_0(x, y) = x$, $R_0(x, y) = y$ (это можно добиться, заменив переменные по формулам (1)); при этом $K(x, y)$

6

имеет вид
$$x(x - \alpha_1 - \gamma_1 y)(x - \alpha_2 - \gamma_2 y),$$
где $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — координаты точки $A_{01}$ и $A_{02}$ на оси $Ox$. Поскольку кривая $P(x, y) = 0$ проходит через точки $A_{00}$, $A_{01}$ и $A_{02}$, многочлен $P(x, 0)$ — т. е. $P$, расматривается на оси $y = 0$, образуется в 0 при $x$, равном 0, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, поэтому $P(x, 0) = \lambda x(x - \alpha_1)(x - \alpha_2)$ при некотором $\lambda$, откуда $P(x, 0) = \lambda K(x, 0)$. Аналогично доказем, что $P(0, y) = \mu \Gamma(0, y)$ при некотором $\mu$ (здесь используются точки $A_{00}$, $A_{10}$ и $A_{20}$).

Рассмотрим теперь многочлен $G = P - \lambda K - \mu \Gamma$. Он тожественное равен 0 при $x = 0$ (ведь $K$ содержит многочлетель $x$), а также и при $y = 0$, поэтому он должен иметь вид $G = xyG_1$, где $G_1$ — многочлен степени не выше первой (ведь степень $G$ не выше трех). С другой стороны, в точках $A_{11}$, $A_{12}$ и $A_{21}$, где $G = 0$ и $xy \neq 0$, многочлен $G_1$ должен обращаться в 0, а эти точки не лежат на одной прямой. Это возможно, лишь если $G_1$, а с ним и $G$ тожественное равны 0.

Теорема 3 доказана.

Сложение точек на кубический кривой

Многие интересные геометрические свойства кубических кривых, а также их разнообразные применения в анализе, теории чисел и даже combinatorике (теории кодирования) связаны с операцией сложения точек. Существование такой естественной операции — характерное свойство именно (неприводимых) кривых третьей степени, а ее геометрическое определение основано на том, что прямая, пересекающая кривую $\Omega$ в двух точках, обязательно имеет с ней еще и третьую точку пересечения. Мы увидим, что теорема 3 выражает замечательное свойство этой операции — ассоциативность: $A + (B + C) = (A + B) + C$.

Сумма $A + B$ двух точек $A, B$ кривой $\Omega$ определяется так. На $\Omega$ выбирается некоторая «начальная» точка $E$. По двум точкам $A, B$ строится третья точка $D$ пересечения прямой $AB$ с $\Omega$, а затем — третья точка пересечения.

Рис. 6. Сложение точек на графике $y = x^3$. При точки этого графика лежат на одной прямой, если и только если сумма их абсцисс равна 0.

Рис. 7. Ассоциативность сложения точка на кубический кривой. Равенство $A + (B + C) = (A + B) + C$ следует из теоремы о 9 точках.

сечения с $\Omega$ прямой $DE$; это и есть, по определению, точка $A + B$.

Особенно просто складываются точки на кривой $y = x^3$ (рис. 6): если за начальное точку $E$ взять начало координат (0; 0), то суммой точки с абсциссами $x_1$ и $x_2$ будет точка с абсциссой $x_1 + x_2!$. В самом деле, три точки $A(x_1; x_1^3), B(x_2; x_2^3), D(x_3; x_3^3)$ лежат на одной прямой, если выполнен условие

$$\frac{x_1^3 - x_2^3}{x_1 - x_2} = \frac{x_2^3 - x_3^3}{x_2 - x_3},$$

которое после упрощенной принимает вид

$$x_1 + x_2 + x_3 = 0;$$

а поскольку $E$ — центр симметрики графика $y = x^3$, точка $A + B$ (третья точка пересечения прямой $DE$ с этим графиком) имеет координаты $(-x_3; -x_3^3)$, т. е. абсциссу $-x_3 = x_1 + x_2$.

Чтобы операция сложения точки была определена для любых двух точек, нужно сделать несколько уточнения: учесть точки касания прямых с $\Omega$ как двухкратные (а для точек пересечения — трехкратные) точки пересечения, добавить к кривой «бесочечно удаленные» точки, выбросить «особы» точки, появляющиеся на некоторых кривых. Об этом подробнее говорилось в статье 10. П. Солвьева в предыдущем номере «Кванта».

Для такого сложения точка на кривой $\Omega$ свойство коммутиативности $A + B = B + A$ очень/no (прямая $AB$ совпадает с прямой $BA$). А вот ассоциативность доказать не так просто. Это удается сделать с помощью теоремы 3, проведя 7 прямых (рис. 7). По этой теореме точка $X$ пересечения прямых, соединяющих $A$ с $B + C$ и $A + B$ с $C$, лежит на $\Omega$, поэтому

$$A + (B + C) = (A + B) + C = Y.$$

Построение полиграмм

Назовем полиграмм тройку бесконечных последовательностей точки на плоскости — красных ($A_k$), черных ($B_l$) и голубых ($C_m$), для которых выполнен такое условие: если $k + l +$

7

+m=0, то точки $A_k$, $B_l$ и $C_m$ лежат на одной прямой ($k, l, m=0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Этот бесконечной конфигурации была посвящена задача М585 из «Задачи Кванта». (Интересно, что автор задачи В. В. Батырев писал нам задачу, когда был еще 10-классиком, а теперь он окончил механизм МГУ и стал его научным сотрудником — специальном по алгебраической геометрии.) Самую простую полиграмму легко построить на клетчатой бумаге (рис. 8), но оказалось, что существует множество разнообразных полиграмм, причем их описание теоремы не всегда со всем содержанием нашей статы, включая даже «сложение точек» на кубической кривой.

Попробуйте экспериментально проверить и затем обосновать следующие утверждения (в этом помогут рисунки 9—11, где изображены некоторые примеры полиграмм; номера расставленных лишь у некоторых первых точек — по ним легко восстановляются остальные).

1. Для любых трех прямых $a, b, c$ по произвольно заданным точкам $A_0$ (на $a$), $B_0$ и $B_1$ (на $b$) строится единственная полиграмма, у которой все точки $A_k$ лежат на $a, B_l$ на $b$ и $C_m$ на $c$.

2. Пусть заданы окружность $\sigma$ (это может быть также эллипс, гипербола или парабола) и три точки: $A_0$ на $\sigma$, $B_0$ и $B_1$ — не лежащие на $\sigma$. Тогда существует единственная полиграмма, у которой все точки $A_k$ и $C_m$ лежат на $\sigma$, а $B_l$ — на прямой $B_0B_1$.

3. Если задана неприводимая кубическая кривая $\Omega$ и на ней три точки $A_0, B_0$ и $B_1$, то по ним однозначно восстанавливается полиграмма, лежащая на $\Omega$, причем ее можно записать в виде тройки аргументических прогрессий $A_k=A_0+kD$, $B_l=B_0+lD$, $C_m=C_0+mD$ (D — точка на $\Omega$, определенная условием $B_0+D=B_1$); правда, если D — такая точка на (неособой) кривой $\Omega$, что $nD=D+\dots+D=E$, полиграмма получится не бесконечной, а периодический (такие конфигурации рассмотрены в статье [4] в связи с задачей о том, как много треок из заданного числа точек плоскости могут лежать на прямых).

4. Пусть заданы шесть точки $A_0, A_{-1}, A_1, B_0, B_1$ и $B_2$ на плоскости (в общем положении). По ним однозначно восстанавливается полиграмму, все точки которого автоматически оказываются на неособой кривой.

Для доказательства общих утверждения о полиграммах полезны следующие сообщения. Центральная проекция любой полиграммы — снова полиграмма. Каждый 9 точки полиграммы $A_k, A_{k+r}, A_{k+s}, B_l, B_{l+r}, B_{l+s}, C_m, C_{m+r}, C_{m+s}$, где $k+l+m+r+s=0$, образуют конфигурацию, удовлетворяющую условию теоремы 3; в частности, для полиграмма на трех прямых (рис. 9) они образуют 9 точек

Рис. 8. Пример полиграммы. При бесконечных последовательности красных, черных и голубых точек, занумерованных целыми числами, образуют полиграмму: три разновеные точки $A_k, B_l$ и $C_m$ лежат на одной прямой, если сумма их номеров $k+l+m$ равна 0. (В этом примере $B_{-k-m}$ — середина отрезка $A_kC_m$ для любых $k$ и $m$).

Рис. 9. Полиграммы на трех прямых. На каждой из них можно бесконечным числом способов выбрать три точки разновеных точек, служащих вершинами конфигурации Папна из 9 точек.

a) Множества красных и голубых точекометтически относительно каждой черной точки $B_l$, причем коэффициентомометрии равен $k_n=k_0q^l$.

b) Эту полиграмму, целиком расположению в трех полюхке, можно получить централированный числом 1, 1/2, 1/3, ….

Можно строить и полиграммы на трех прямых, попарно пересекающих в трех различных точек. Такие полиграммы можно получить централированный числом 1, 1/2, 1/3, ….

8

Рис. 10. Полиграмы на прямой и окружности (рис. 10) — конфигурации Паскала.

На них можно бесконечным числом способов выделить конфигурацию Паскала.
a) Отношение расстояний от точек каждого цета до концов диаметра PQ: $A_kP/A_kQ$, $C_mP/C_mQ$ и $B_lQ/B_lP$ образуют геометрические прорезции с одним и тем же значением q.

6. Если эту триграмму проектировать так, чтобы прямая b с черными точками отображалась в бесконечную удалению, а окружность — снова в окружность, то образы краских (а также головных) точек с соседними номерами будут отстоять друг от друга на одну и ту же дугу $\Theta \cdot 360^\circ$ окружности; при играциональном $\Theta$ красные и голубые точки будут плотно заполнять окружность, а при разциональном $\Theta$ полиграма получится перiodической.

Рис. 11. Полиграма на графике $y=x^3 - ax$. Проекции точек каждого цета на касательную Ot по направлению оси Oy составляют ряд равносторических точек — арифметической прорезции.

Конфигурации Паскала, а для полиграмма на прямой и окружности (рис. 10) — конфигурации Паскала.

Шкала из точек с целочисленными номерами, возникшая при построении полигramм, наводит на мысль, что существует непрерывный аналог полигramм; в самом деле, оказывается, точкам любой — приводимой или неприводимой — кубической кривой $\Omega$ можно сопоставить числовые значения $t$ — ввести на кривой $\Omega$ «хорошую параметризацию» — так, чтобы для любой прямой, пересекающей $\Omega$ в трех точках с параметрами $t_1, t_2, t_3$, выполнялось условие $t_1 + t_2 + t_3 = 0$. (Если кривая $\Omega$ содержит овал, — окружность на рисунке 106, то значение параметра $t$ определяется с точностью до прибавления целого кратного «периода», $T$, на которой меняется значение $t$ при обходе овала.) Как мы видели (рис. 6), на кривой $y=x^3$ «хороший параметр» — это абсцисса точки $(x, y)$. Приведем еще один пример. Пусть $\Omega$ состоит из трех прямых $AB, BC, CA$. Условие, что точки $M, N, L$, лежащие соответственно на этих прямых, расположены на одной прямой, имеет вид

$$\frac{MA}{MB} \cdot \frac{NB}{NC} \cdot \frac{LC}{LA} = 1$$

(теорема Менелая). Здесь за «хороший параметр» $t$ на каждой прямой можно принять логарифм соответствующего отношения: если произведение трех чисел равно 1, то сумма их логарифмов равна 0. Точно так же можно в явном виде указать «хорошую параметризацию» для других приводимых и особых кубических кривых, таких, как $y^2=x^3$ и «лист Декарта» $y^2=x^3-x^2$ (см. первые страницы книги [6]).

Для неприводимых несобых кубических кривых существование «хорошей параметризации» тесно связано с операцией сложения точек, а ее явное выражение требует знакомства с теории эллиптических функций — красившей области математического анализа, которой занимались многое крупнейшие математики XIX века.

Сравнительно недавно (1976 г.) американский математик Ф. Гриффицист заметил, что написан «хорошей параметризации» — характеристическое свойство именного кривых третого порядка: если на плоскости расположены три кусочка кривых с параметрами $t_1, t_2$ и $t_3$, так что через каждую точку одного из них можно проведить прямую, пересекающую два других, и при этом для параметров трех точек пересечения всегда выполнен условие $t_1+t_2+t_3=0$, то все эти три кусочка содержатся в одной кубической кривой. (Это — непрерывный аналог утверждения о том, что любая полигraphма лежит на кубической кривой.)

1. Яглом И. М. Геометрические преобразования, ч. II — М.: Л.: Гостехидат, 1956.
2. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии, ч. II — М.: Нayka, 1986.
3. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — М.: Нayka, 1986.
4. Математический цветник. — М.: Мир, 1983 (статья С. Барра «Как скажать деревья», с. 117—129).
5. Артин Э. Геометрическая аллебра. — М.: Нayka, 1969.
6. Шафаревич И. Р. Основы аллебраической геометрии. — М.: Нayka, 1972 (и план 1988).