Bài toán M1076—M1080; F1088—F1092

22

Nhiệm vụ

M1076 — M1080, F1088—F1092

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên.

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 3 năm 1988 đến địa chỉ: 103006 Moscow K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant».
Gửi Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) trong các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Vấn đề «Kvant» Số 12 - 87” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M1076” hoặc “F1088”.
Ở cột “…địa chỉ người gửi”, vui lòng ghi riêng họ và tên của bạn. Trong thư, vui lòng đính kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải).
Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết mã số trường và lớp mà bạn là giáo viên.
Các bài toán trong số này đã được đưa ra tại Olympic Toán quốc tế vào tháng 7 năm nay.
Chúng tôi chia sẻ rằng hai trong số họ thuộc về một tác giả thường xuyên của tạp chí của chúng tôi.

M1076. Các bissertis của góc $A$ của một tam giác nhọn $ABC$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $L$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm $N$ (khác với $A$); $K$ và $M$ là đáy của các đường vuông góc hạ từ $L$ sang các cạnh $AB$ và $AC$ (hình 1). Chứng minh rằng tứ giác $AKNM$ bằng tam giác $ABC$.

I. A. Kushinr

M1077. Gọi $p_n(k)$ là số hoán vị của một tập hợp gồm $n (n \geq 1)$ phần tử có chính xác $k$ điểm cố định. Chứng minh rằng:

a) $\sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k) = 0 \cdot p_n(0) + 1 \cdot p_n(1) + \dots + n \cdot p_n(n) = n!$

b) $\sum_{k=0}^{n} (k-1)^2 p_n(k) = n!$

Ở mức nhỏ hơn Một hoán vị của một tập hợp hữu hạn $S$ là ánh xạ một-một $f$ của tập hợp $S$ lên chính nó; số hoán vị của một tập hợp gồm các phần tử $n$ là $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$. Phần tử $a$ của tập hợp $S$ được gọi là điểm cố định của hoán vị $f$ nếu $f(a) = a$.

M1078. Hàm $f$ được xác định trên tập $N_0$ của tất cả các số nguyên không âm và nhận các giá trị trong tập hợp này. Chứng minh rằng đẳng thức $f(f(n)) = n + 1987$ không thể đúng với tất cả $n$ của $N_0$.

M1079. Cho $n$ là một số tự nhiên, $n \geq 3$. Có thể sắp xếp $n$ điểm trên mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai biểu thức bất kỳ là một số vô tỷ và diện tích của một tam giác có ba đỉnh bất kỳ là một số hữu tỉ (khác 0)?

M1080. Cho $q$ là một số tự nhiên, $q \geq 3$. Chứng minh rằng nếu $k^2 + k + q$ là số nguyên tố với mọi số nguyên $k$, trong đó $0 \leq k \leq \sqrt{q}/3$, thì $k^2 + k + q$ là số nguyên tố với mọi số nguyên $k$, trong đó $0 \leq k \leq q - 2$.

V. F. Lev

F1088. Thang không trọng lượng được cố định trong một hệ thống treo không trọng lượng quay với tốc độ $f=10$ vòng/phút để nó có thể lắc lư tự do so với bậc trên (hình 2). Một con khỉ nặng $m=30$ kg bắt đầu đi xuống cầu thang. Khoảng cách $l$ từ hệ thống treo sẽ là bao nhiêu khi vị trí thẳng đứng của thang không còn ổn định?

A. V. Andrianov

F1089. Khi bay từ trạm Mir đến trạm Salyut-7 ở cùng quỹ đạo, các phi hành gia của chúng tôi đã giảm tốc độ tàu của họ, di chuyển đến quỹ đạo thấp hơn và trong thời gian $t=30$ giờ trên khí Salyut-7 đang bay phía trước Mir ở khoảng cách $L=3000$ km. Giả sử các quỹ đạo là hình tròn, hãy xác định quỹ đạo trung gian cách quỹ đạo chính bao nhiêu km? Độ cao quỹ đạo nhỏ hơn nhiều so với trái đất $R_3 \approx 6400$ km.

M. V. Semenov

23

Chúng tôi đã xuất bản các bài toán về cuộc thi của Kvant hàng tháng kể từ số đầu tiên của tạp chí của chúng tôi. Đây là những vấn đề không chuẩn, nhưng cách giải của chúng không đòi hỏi thông tin nào nằm ngoài phạm vi giáo trình trung học của Liên Xô. Những bài toán khó hơn được đánh dấu sao (*). Sau khi trình bày vấn đề, chúng ta thường chỉ ra ai đã đề xuất vấn đề đó cho chúng ta. Không cần phải nói cũng biết rằng không phải tất cả những vấn đề này đều là những ấn phẩm đầu tiên. Giải pháp cho vấn đề này (bằng tiếng Nga hoặc tiếng Anh) có thể được đăng không muộn hơn ngày 1 tháng 3 năm 1988, tới địa chỉ sau: Liên Xô, Moscow, 103006, Moscow K-6, st. Gorky, 32/1, Kvant. Vui lòng gửi lời giải của các bài toán vật lý và toán học, cũng như các bài toán từ các bài toán khác nhau, dưới bìa riêng; trên phong bì ghi dòng chữ: “VẤN ĐỀ CỦA KVANT” và số của tất cả các bài toán đã giải được; trong thư của bạn hãy gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ không dán tem - chúng tôi

F1090. Hãy nhìn bầu trời trong đêm băng giá trong trẻo. Những ngôi sao nào lấp lánh hơn: những ngôi sao ở trên cao hay ở dưới đường chân trời, và tại sao?

A. S. Bugov

F1091. Một quả bóng có khối lượng $m$ và điện tích $q$ treo trên một sợi dây rút có chiều dài $l$ nằm ở tâm của vòng, dọc theo đó điện tích $Q$ (hình 3) được phân bố đều. Bán kính của vòng là $R$, điện tích $q$ và $Q$ bằng nhau. Xác định tần số dao động nhỏ của quả bóng bằng công thức $(1+x)^n \approx 1 + \alpha x$ ($x \ll 1$).

G. V. Grigoriev

F1092. Tìm vị trí ảnh của một vật chính xác nằm cách mặt trước một khoảng $L$ của một tấm kính dày phẳng song song được mạ bạc ở mặt sau (hình 4). Hình ảnh được nhìn vuông góc với bề mặt của tấm. Độ dày của tấm là $d$, chỉ số phân bố là $n$.

V. K. Peterson

Problems

M1076 — M1080, P1088 — P1092

M1076. Đường phân giác của góc $A$ trong tam giác nhọn $ABC$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $L$ và đường tròn nội tiếp tam giác tại $N$ ($\neq A$); các đường vuông góc, được vẽ từ $L$ đến $AB$ và $AC$, cắt chúng tại $K$ và $M$. Chứng minh rằng tứ giác $AKNM$ có diện tích bằng $ABC$ (xem hình Hình 1)

I. A. Kushnir

M1077. Denote by $p_n(k)$ the number of permutations of an $n$-element set having exactly $k$ fixed points. Prove that

a) $\sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k) = 0 \cdot p_n(0) + 1 \cdot p_n(1) + \ldots + n \cdot p_n(n) = n!$

b) $\sum_{k=0}^{n} (k-1)^2 p_n(k) = n!$

Remark. A permutation of a finite set $S$ is any one-to-one map $f$ of $S$ onto itself; the number of all permutations of an $n$-element set is $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$. The element $a$ of the set $S$ is a fixed point of the permutation $f$ if $f(a) = a$.

M1078. The function $f$ is defined on the set $N_0$ of all non-negative integers and ranges over $N_0$. Prove that the relation $f(f(n)) = n + 1987$ cannot hold for all $n$ from $N_0$.

M1079. Suppose $n$ is an integer, $n \geq 3$. Is it possible to choose $n$ points in the plane so that the distance between any two points is irrational, while the area of a triangle with vertices at any three of those points is rational and positive?