Đã chọn bài toán Olympic Toán Thành phố Leningrad

56

Yêu thích bài toán
Thế vận hội thành phố Leningrad
trong toán học

1(7). Có một hướng dẫn về cách xây dựng hình học trên mặt phẳng, cho phép bạn thực hiện những điều sau:

a) Nếu có hai điểm thì vẽ một đường thẳng đi qua chúng
b) nếu có một đường và một điểm trên đó thì bạn có thể sử dụng phép phân phối lại cho đường này tại thời điểm này.

Làm cách nào tôi có thể sử dụng công cụ này để giảm chuyển hướng từ một điểm nhất định xuống một đường thẳng không đi qua điểm này?

D. Fomin

2(8, 10). Có nguồn cung cấp tiền xu không giới hạn với các mệnh giá 1, 2, 5, 10, 20, 50 kopecks. và 1 chà. Được biết, tiền xu A có thể được đặt bằng đồng xu B. Chứng minh rằng khi đó B rúp có thể được đặt bằng đồng xu A.

F. Nazarov

3(8). Một vài con quạ đang đậu trên cành một cây sồi lớn. Theo tín hiệu, họ bắt đầu băng qua. Mỗi phút, một con quạ bị những người hàng xóm ngồi trên cùng cành cây đuổi đi, và con quạ này bay đến cành cao nhất (cao hơn) tiếp theo; phía trên không có cành thì quạ bay đi. Tất cả các nhánh đều nằm ở độ cao khác nhau. Chứng minh rằng thời gian để con quạ bay hết (tức là sẽ không có nhiều hơn một đường thẳng đứng trên mỗi nhánh) chỉ phụ thuộc vào vị trí ban đầu của con quạ chứ không phụ thuộc vào thứ tự bay.

D. Fomin

4(9). Các ô vuông của bàn cờ 8x8 được tô màu theo kiểu bàn cờ. Được phép hoán đổi bất kỳ hai đường ngang hoặc hai đường dọc bất kỳ. Có thể sử dụng các thao tác này để có được một bảng có toàn bộ cạnh trái được sơn màu đen và toàn bộ cạnh phải có màu trắng?

V. Ufnarovsky

5(9, 10). Tại các điểm A và B của giao điểm của hai đường tròn, các tiếp tuyến của các đường tròn này được xác định lại lẫn nhau. Gọi M là một điểm tùy ý trên một trong các đường tròn nằm bên trong đường tròn kia. Chúng ta hãy tiếp tục các đoạn AM và BM ngoài điểm M cho đến khi chúng cắt nhau tại các điểm X và Y với một đường tròn chứa M bên trong chính nó. Chứng minh rằng XY là đường kính của đường tròn này.

D. Fomin

6(9, 10). Một nhà thiên văn học khi quan sát 50 ngôi sao trên bầu trời đã phát hiện ra rằng tổng tất cả khoảng cách theo cặp giữa chúng bằng S. Một đám mây bay tới đã che khuất 25 ngôi sao. Chứng minh rằng tổng khoảng cách theo cặp giữa các ngôi sao nổi bật nhỏ hơn S/2.

S. Fomin

7(8, 9). Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng nếu cd=1 thì trên khoảng có điểm cuối ab và (a+c)(b+d) có ít nhất một bình phương của một số nguyên:

L. Kurlyandchik

8(8). Máy bay được cắt thành nhiều vòng tròn, trong đó có những vòng giao nhau. Chứng minh rằng các mảnh cắt ra khỏi mặt phẳng không thể gấp thành nhiều vòng tròn không cắt nhau.

A. Anjan

9(9, 10). Tám số thực không âm có tổng bằng 1 được đặt ở các đỉnh của hình lập phương. Đối với mỗi cạnh có số lượng biến ở đầu của nó. Chứng minh rằng tổng các tích thu được theo cách này không quá 1/4.

D. Fomin

10(9). Cho dãy số tự nhiên a1, a2, a3, an, …, trong đó a1<1987 và ai+1=ai+2 với mọi i tự nhiên. Chứng minh rằng nếu với n các số a1—an và a2+an−1 chia hết cho 1987 thì n là số lẻ.

S. Genkin

11(10). Cho một dãy số thực x1, x2, … và một số tự nhiên T. Chứng minh rằng nếu trong số tất cả các phần tử T có thứ tự có thể có của các tập hợp có dạng (xk+1, xk+2, …, xk+T) có nhiều nhất T các phần tử khác nhau thì dãy x1, x2, … là tuần hoàn.

I. Lifshych

12(10). Các đường chéo của tứ giác nội tiếp ABCD cắt nhau tại điểm O. Chứng minh rằng

$$\frac{AB}{CD} + \frac{CD}{AB} + \frac{BC}{AD} + \frac{AD}{BC} \leq \frac{OA}{OC} + \frac{OC}{OA} + \frac{OB}{OD} + \frac{OD}{OB}.$$

F. Nazarov

13(10). Trong tập hợp n phần tử, S các tập con được xác định chứa các phần tử A1, A2, …, An của phần tử tương ứng. Được biết, trong số các tập hợp con này, không có tập hợp con nào được chứa trong tập hợp con kia. Chứng minh rằng

$$\frac{1}{C_n^{A_1}} + \frac{1}{C_n^{A_2}} + ... + \frac{1}{C_n^{A_s}} \leq 1,$$

ở đâu $C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!} - \text{бинимальный коэффициент}.$

A. Merkuryev

14(10). Hàm liên tục f, g: [0; 1] → [0; 1] có tính chất f(g(x))=g(f(x)) với mỗi x ∈ [0; 1]. Chứng minh rằng nếu f trả về thì f(a)=(a)=a với một số a ∈ [0; 1].

D. Fomin