Jacob Steiner

Kvant 1988, số 7 tr. 2-9 Thẻ DF9I

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

YAKOV STEINER
(từ lịch sử hình học)

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
I. M. YAGLOM

Vào nửa sau thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19, nhà giáo dục nhân văn đáng chú ý Juhann Heinrich Pestaloschi (1746-1827) sống ở Thụy Sĩ. Ngày nay, Pestaloshi được cả thế giới coi là người sáng lập lý thuyết giáo dục tiểu học cho trẻ em, ý tưởng kết nối giáo dục với lao động sản xuất. Chúng ta có thể nói về anh ấy rất lâu - nhưng Pestaloshi không phải là người hùng của chúng ta ở đây. Pestalosi đã thử nghiệm và thực hiện ý tưởng của mình tại ngôi trường tiểu học nội trú xuất sắc do anh thành lập dành cho trẻ em nghèo. Nhân viên của Pestaloshi đã đi khắp Thụy Sĩ, lựa chọn những sinh viên tương lai và thuyết phục (thường là khó khăn nhất) phụ huynh của họ cho con họ đến trường.

Năm 1814, một trong những nhân viên cuối cùng của Pestaloshi gặp một người chăn cừu trẻ, Jacob Steiner, con trai của một nông dân nghèo, ở vùng núi Thụy Sĩ. Lúc đó Jacob hầu như không biết đọc và viết; Khi còn là sinh viên, ông đã có được một số kiến thức về toán học và thiên văn học, điều này đặc biệt hấp dẫn ông vào thời điểm đó. Kiến thức và sở thích của người chăn cừu trẻ tuổi này đã khiến nhân viên của Pestaloshi ngạc nhiên, người bắt đầu thuyết phục người cha Steiner từ chối các dịch vụ giúp đỡ có giá trị và gửi con trai mình đến trường. Với rất nhiều khó khăn, anh ấy đã thành công

Tác giả bài viết này, Isaac Monseevich Yaglom, qua đời vào ngày 17 tháng 4 năm nay. Độc giả «Kvant» biết rõ cái tên này: I. M. Yaglom sở hữu một số lượng lớn sách toán học nổi tiếng đến mức có lẽ ai quan tâm đến toán học cũng từng đọc một vài tác phẩm do ông viết. Trong những năm qua, hơn mười bài báo của ông đã được đăng trên các trang tạp chí. Trong hơn bốn mươi năm cuộc đời, ông đã trung thành phục vụ việc phổ biến toán học.

Isaac Monseevich Yaglom sinh năm 1921. May mắn thay, khi còn học trung học, các nhà toán học tài năng đã nhiệt tình tổ chức các câu lạc bộ và cuộc thi toán học tại Đại học Moscow. Năm 1938, Yaglom giành được vị trí đầu tiên tại Olympic, và năm sau, khi trở thành sinh viên, I. M. Yaglom hóa ra là một trong những nhà lãnh đạo tích cực nhất của vòng tròn. Ngay cả trước chiến tranh, D. O. Shklyarsky, người đã chết ở mặt trận, đã quyết định tạo ra một bộ sưu tập các vòng tròn bài toán và bắt đầu thu thập tài liệu. Kế hoạch của Shklyarsky được hoàn thành sau chiến tranh, với phần lớn công việc được thực hiện bởi Isaac Monseevich, người đã trở thành người giám sát chính của “trí tuệ vòng tròn”. Cuốn sách ba tập “Bài toán và các định lý của toán học tiểu học” của D. O. Shklyarsky, N. N. Chentsov và I. M. Yaglom trong nhiều năm đã trở thành kim chỉ nam chính cho trẻ em yêu thích toán học. Cuốn sách này đã mở đầu bộ truyện “Thư viện vòng tròn toán học”. Một số cuốn sách khác của I.M. Yaglom đã được xuất bản trong bộ sách này.

Đối với Yaglom, điều quan trọng là trong những năm đi học, trẻ em không chỉ có thể giải được bài toán màu đỏ riêng biệt mà còn bằng cách lập kế hoạch tốt cho chuỗi bài toán, chúng có thể liên tục chuyển sang hoạt động toán học chuyên nghiệp. Những cuốn sách “Thư viện” như “Hình lồi” (viết cùng với V. G. Boltyansky), “Không sơ cấp bài toán trong bài thuyết trình tiểu học” (cùng với A. M. Yaglom), và hai tập “Biến đổi hình học” đều hướng tới điều này.

Vào năm cuối đời, Isaac Monseevich quan tâm sâu sắc đến khía cạnh nhân đạo của toán học: ông viết rất nhiều về lịch sử của nó, mối liên hệ với khoa học tự nhiên và con người cũng như vị trí của nó trong đời sống xã hội. Hoạt động này thể hiện đầy đủ tính văn hóa cao và sự uyên bác rộng rãi, đã sinh ra một người có may mắn được quen biết trực tiếp với Isaac Monseevich.

Chúng tôi mời độc giả chú ý đến Jakob Steiner, đại diện lớn nhất của “thời kỳ hoàng kim” của hình học Đức. Điều rất đặc biệt là sự chú ý của I.M. Yaglom đã bị thu hút bởi nhân vật đầy màu sắc, gây tranh cãi này. Ở Steiner, trực giác hình học tuyệt vời và chủ nghĩa bảo thủ vô học cùng tồn tại, thể hiện ở sự đối lập hoàn toàn với tọa độ và số phức trong hình học, điều mà ông tự tin hơn sẽ dẫn đến sự phá hủy hình học hai chiều thực sự.

đánh bại điều này - và Steiner, 18 tuổi (anh sinh năm 1796) đã rời bỏ quê hương của mình mãi mãi. Chẳng bao lâu sau, Jacob đến thị trấn Iveren gần Bern, trong một trường nội trú do Pestaloshi điều hành, nơi Pestaloshi nhận anh miễn phí: xét cho cùng, Steiner không có gì để trả cho việc học, tiền ăn hoặc chỗ ở của mình.

Steiner đã dành 4 năm với Pestaloshi. Lúc đầu anh học ở trường, sau đó dạy toán ở đó. Tuy nhiên, Pestalosi nhanh chóng nhận ra rằng tài năng của Steiner xứng đáng được sử dụng tốt hơn. Theo lời khuyên kiên quyết của Pestaloshi, Steiner chuyển đến Đức vào năm 1818, đến thành phố Heidelberg, trung tâm đại học lớn nhất gần Iveren nhất.

Pestalosi hy vọng Steiner sẽ tốt nghiệp Đại học Heidelberg rồi chọn con đường riêng cho mình; tuy nhiên, những hy vọng này đã không được thực hiện đầy đủ. Pestaloshi đã đưa cho Steiner một số tiền nhất định để đi du lịch và thành lập cơ sở đầu tiên ở một thành phố nước ngoài. Nhưng sau đó Steiner phải tự lo cho mình miếng bánh mì hàng ngày. Steiner không có nghề nghiệp nào khác ngoài nghề giáo viên toán. Anh ta buộc phải làm quá tải bản thân với những bài học một phần, mà anh ta được trả rất ít: xét cho cùng, anh ta không có bất kỳ nền giáo dục phục vụ nào. Những bài học này, bị Steiner vô cùng ghét, đã không cho anh cơ hội theo học đại học một cách có hệ thống. Trong ba năm ở Heidelberg, anh chỉ tham gia một số khóa học đại học (tuy nhiên, cũng khá nhiều nếu xét đến mức độ chuẩn bị của anh). Ngoài ra, tại Heidelberg, Steiner có được những người làm quen toán học đầu tiên, hay tài năng xuất chúng của người Thụy Sĩ ngay lập tức gây chú ý.

Năm 1821, bạn bè thông báo cho Steiner về việc tuyển dụng vị trí giáo viên toán ở một trong những phòng tập thể dục của thủ đô ở Berlin, và ông ngay lập tức bắt đầu cuộc hành trình của mình. Vị trí giáo viên thể dục sẽ mang lại cho anh thu nhập đều đặn. Nhưng để đảm nhận vị trí của mình, anh vẫn phải vượt qua các kỳ thi và kết quả của chúng không thể truyền cảm hứng đặc biệt cho ban lãnh đạo nhà thi đấu.

Trước hết, ứng viên cho vị trí giáo viên được hỏi liệu anh ta có quen với khóa học thể dục hay không. Steiner trả lời ngắn gọn câu hỏi này: “Không, tôi không biết.” Anh ấy còn có thể nói gì nữa? Rốt cuộc, trong nhà thi đấu ở Nga, họ đã học tiếng Latinh và tiếng Hy Lạp cổ, những thứ mà con trai của một nông dân Thụy Sĩ không quen thuộc hơn bạn và tôi, độc giả của tôi. Nhưng mọi thứ cũng không suôn sẻ với kỳ thi toán: Steiner thể hiện kiến thức sâu rộng về hình học, nhưng hơn cả kiến thức khiêm tốn về đại số và lượng giác, đồng thời anh còn gặp những vấn đề nghiêm trọng trong lĩnh vực phân tích toán học. Tuy nhiên, khả năng hình học nổi bật rõ rệt của chàng trai trẻ người Thụy Sĩ và những đặc điểm đáng khen mà anh thể hiện đã phát huy tác dụng: Steiner được phép dạy toán trong hai năm ở tất cả các cấp lớp, trừ khi tốt nghiệp. Trong thời gian này, anh phải vượt qua các kỳ thi cho khóa học thể dục (Steiner chưa bao giờ thi) và một kỳ thi bổ sung về toán học (Steiner thi muộn hơn nhiều).

Ở trường trung học, Steiner đã cố gắng suốt 14 năm. Điều này chỉ có thể thực hiện được sau khi mở một trường học thực sự ở Berlin, trong đó số giờ học toán và khoa học tự nhiên được tăng lên, nhưng các ngôn ngữ cổ không được dạy (và do đó, giáo viên trong trường không yêu cầu kiến thức về chúng). Tuy nhiên, mặc dù người tổ chức và giám đốc trường cũng là học sinh của Pestalosi nhưng Steiner lúc đầu chỉ được xếp vào danh sách trợ giảng. Chỉ sau khi vượt qua các kỳ thi bổ sung (năm 1829), ông mới trở thành giáo viên cao cấp. Than ôi! Chúng ta phải chấp nhận rằng người thầy gây chia rẽ và thiếu quan tâm của Steiner là không quan trọng. Ông nhiệt tình gặp gỡ những học sinh có năng khiếu, đưa ra những nhiệm vụ sáng sủa và riêng biệt cho các em (chủ yếu về hình học, xem bài toán 1,

2, 6 và Phụ lục). Những học sinh còn lại chỉ khiến ông tức giận: Steiner đơn giản là không thể hiểu được sự thiếu khả năng và niềm đam mê toán học của cậu học sinh này. Đôi khi, khi điều đó trở nên hoàn toàn không thể chịu đựng được, anh ấy thậm chí còn bỏ công việc thường xuyên ở trường và một lần nữa, như thời trẻ, anh ấy bổ sung sinh kế của mình bằng các bài học riêng. Tình hình cũng tương tự như thời kỳ quan trọng may mắn thay, khi Steiner bị đình chỉ giảng dạy tại nhà thi đấu vì các kỳ thi cần thiết, và một trường học thực sự vẫn chưa được mở. Tuy nhiên, anh luôn quay trở lại trường học quê hương của mình, nơi khuyến khích những trò hề của anh và tài năng toán học của anh được đánh giá cao.

Kết quả là, khi chọn bài toán cho những học sinh học giỏi, Steiner đã có được niềm đam mê suốt đời với hình học tiểu học. Chúng ta hãy xem xét một số kết quả của Steyer trong lĩnh vực này. Hãy bắt đầu với bài toán, đến từ Euler vĩ đại.

Euler đã chứng minh rằng ba trung điểm của các cạnh của một tam giác tùy ý, ba đáy của các đường cao và ba điểm chia đôi các đoạn đường cao từ giao điểm của chúng (trực tâm của tam giác) đến các đỉnh thuộc về một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn Euler hay đường tròn chín điểm của một tam giác. Điều đáng chú ý là đối với mỗi tam giác, đường tròn Euler của nó tiếp xúc với đường tròn nội tiếp và ba đường tròn bên ngoài (hình 1). Thực tế này thường được gọi là định lý Feuerbach theo tên người đầu tiên chứng minh nó; nhưng ít người biết rằng Steiner, người không quen với kết quả của Feuerbach, đã chứng minh định lý này chỉ hai năm sau khi người phát hiện ra nó và ngay lập tức công bố kết quả của ông (rất nhiều nhà toán học đã làm quen với nó thông qua công bố của Steiner chứ không phải Feuerbach).

Bài 1. Cho đường tròn S có tâm tại trực tâm H của tam giác ABC cắt các đường trung bình B₁A₁(∥AB), C₁B₁(∥BC) và A₁C₁(∥CA) lần lượt tại các điểm F₁ và F₂, D₁ và D₂, E₁ và E₂. Chứng minh rằng AD₁=AD₂=BE₁=BE₂=CF₁=CF₂ (Định lý Steiner).

Hai tam giác ABC và A₁B₁C₁ giao nhau với tâm P nếu các đường thẳng AA₁, BB₁ và CC₁ bảo toàn tại cùng một điểm P. Hai tam giác ABC và A₁B₁C₁ “hoàn toàn giống nhau” (tức là giống nhau và sao cho các hướng đi ngang A→B→C và A₁→B₁→C₁ giống nhau - cả hai đều trùng khớp với chiều quay theo chiều kim đồng hồ hoặc cả hai đều ngược nhau

anh ta) luôn có thể được kết hợp với tâm Q, tức là, một dải đồng đều từ Q hoặc độ dốc đến Q (đồng âm), kèm theo sự lặp lại xung quanh Q (tại sao?); Điểm Q gọi là tâm đồng dạng của hai tam giác ABC và A₁B₁C₁.

Bài toán 2. Cho a, b, c là các đường thẳng tạo thành tam giác T; cho đường thẳng l cắt a, b, c tại các điểm A₀, B₀, C₀. Chúng ta hãy khôi phục tại các điểm này các đường vuông góc với các cạnh của tam giác T: a₁ ⊥ a, b₁ ⊥ b, c₁ ⊥ c. Chúng ta hãy biểu thị tam giác được tạo bởi các đường thẳng a₁, b₁, c₁ theo t.

a) Khi đó các tam giác T và t thực sự đồng dạng và phối cảnh; các đường tròn S và s được mô tả xung quanh chúng là các đường vuông góc với nhau (tức là các đường vuông góc tiếp xúc với S và s tại điểm giao nhau của chúng); các điểm {P, Q} = S∏s lần lượt là tâm của hình lập phương và tâm đồng dạng của hai tam giác T và t (định lý Steiner).

Các định lý trên thay đổi như thế nào nếu các đường thẳng a₁, b₁, c₁ không vuông góc với a, b và c mà có dạng c, c b và c c tương ứng cho trước (về độ lớn và hướng) góc α?

Chuỗi tiếp theo bài toán, liên quan đến tứ giác hoàn chỉnh, đến từ Gauss vĩ đại: Steiner đã chọn những người đi trước một cách có khiếu!

Một tứ giác hoàn chỉnh H là một hình được tạo bởi bốn đường thẳng “vị trí tổng quát” (nghĩa là không có ba đường nào cắt nhau tại một điểm và không có hai đường thẳng nào song song); các tam giác có các cạnh bằng ba đường thẳng này gọi là tam giác tứ giác H; giao điểm của các đường thẳng là các đỉnh của tứ giác H; các đoạn nối một trong các đường thẳng của chúng ta) các đỉnh là các đường chéo của tứ giác Ch.

Bài toán

3 (Định lý Gauss). Trung điểm ba đường chéo của tứ giác H cùng thuộc một đường thẳng (hình 2, a). Đường thẳng này gọi là đường thẳng Gauss của tứ giác Ch.

Bao quanh bốn hình tam giác

Vương quốc William Clifford (1845-1879).

hình tam giác và hình tròn cắt nhau tại một điểm (hình 2, b). Điểm C này gọi là điểm Clifford của tứ giác H.

Định lý từ bài toán 4 đã được biết đến trước Clifford. Tuy nhiên, anh ấy đã nghĩ ra một công trình đáng chú ý (bàn thắng của Clifford) trong đó bao gồm bài toán này. Một n-hỗ trợ đầy đủ của N được định nghĩa là n dòng “vị trí chung”; N chứa n đầy đủ (n-1)-siders $M_1, M_2, \dots, M_n$ , thu được bằng cách vẽ từng dòng một. Điểm Clifford của một “đầy đủ 2 cạnh” (a, b) là giao điểm của các đường thẳng a và b, và đường tròn Clifford của một đường tròn 3 cạnh (a, b, c) là một đường tròn chứa ba điểm Clifford 2 cạnh (a, b), (a, c) và (b, c) (tức là một đường tròn ngoại tiếp tam giác từ cạnh a, b, c). Hơn nữa, nếu n chẵn, thì n đường tròn Clifford của (n-1)-hỗ trợ $M_1, M_2, \dots, M_n$ cắt nhau tại một điểm—điểm Clifford của n-hỗ trợ đầy đủ N (với n=4, đây là Định lý bài toán 4). Nếu n lẻ thì n điểm Clifford của (n-1)-hỗ trợ $M_1, M_2, \dots, M_n$ thuộc về cùng một đường tròn—đường tròn Clifford của n-hỗ trợ đầy đủ N.

Bài tập

5 (phụ bài toán). a) Các đáy của các đường vuông góc hạ xuống các cạnh của tam giác T từ điểm M của đường tròn ngoại tiếp nó thuộc cùng một đường thẳng (hình 2, b). Đường thẳng w này được gọi là đường thẳng Simpson-Wallis của điểm M đối với tam giác T.

Đường thẳng w chia đôi đoạn thẳng MH, trong đó H là trực tâm của tam giác T.

6 (Định lý Steiner). a) Trực tâm của bốn tam giác Y cùng thuộc một đường thẳng (hình 2, b). Đường thẳng s này được gọi là đường thẳng Steiner của tứ giác Y.

Đối với mỗi tứ giác Y đầy đủ, đường thẳng Steiner s của nó vuông góc với đường thẳng Gauss g của nó.

Bây giờ chúng ta hãy tiếp tục cuộc sống mô tả của Steiner. Thành công lớn nhất của ông trong thời kỳ Berlin là làm quen với nhà toán học nghiệp dư, nhà công nghiệp giàu có, kỹ sư tài năng và ông trùm đường sắt August Leopold Kreple (1780-1855). Kreple không phải là một nhà khoa học lỗi lạc, mặc dù ông là thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Berlin (Phổ) và tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg (Nga). Tuy nhiên, ông nhận được những danh hiệu này vì những thành tựu kỹ thuật và tài năng tổ chức của mình hơn là vì thành công trong khoa học. Nhưng một doanh nhân lớn có nghĩa vụ phải là một người hòa nhập tốt với con người - và Kreple đã chứng minh rằng anh ta sở hữu những khả năng này một cách tối đa.

Tạp chí toán học chuyên ngành đầu tiên ở châu Âu được thành lập vào năm 1810 bởi nhà toán học nổi tiếng người Pháp Joseph Dina Gergon (1771-1859) và có tên là “Biên niên sử của Gergon”. Kreple quyết định thành lập một tạp chí toán học ở Đức. Khi xem xét thành phần các tác giả tương lai của tạp chí, Kreple chủ yếu dựa vào hai cá nhân hoàn toàn xa lạ với các nhà toán học chuyên nghiệp và tài năng của họ.

người mà ông vô cùng tin tưởng: cậu học sinh Na Uy N.H. Abel và giáo viên trung học Jacob Steiner. Số đầu tiên của tạp chí mới, mà kỹ sư Kreple gọi là: “Tạp chí Toán học Thuần túy và Ứng dụng,” được xuất bản năm 1826. Nội dung chính của nó (cũng như nội dung của các số tiếp theo của tạp chí) bao gồm các bài báo của Abel và Steiner. Như vậy, trong ba tập đầu tiên của tạp chí đã xuất bản 15 (!) bài báo và ghi chú của Steiner. Tạp chí Kreple, như các nhà toán học bắt đầu gọi nó ngay lập tức, đã trở thành “tạp chí toán học đầu tiên trên thế giới”. (Về vấn đề này, Gergon thậm chí đã đóng cửa tạp chí của mình vào năm 1831. Tuy nhiên, vào năm 1836, một nhà toán học người Pháp khác là Joseph Liville (1809-1882) đã tiếp tục lại tạp chí của mình dưới một cái tên sao chép chính xác tên tạp chí của Creplet.)

Với việc thành lập tạp chí Kreple, Steiner đã nhận được một nền tảng để từ đó ông có thể đưa ra những ý tưởng hình học của mình. Ngoài ra, Kreple đầy cảm hứng đã trở thành người khởi xướng cuộc bầu cử Steiner (năm 1834) vào Viện Hàn lâm Khoa học Berlin: Các công trình khoa học xuất sắc của Steiner, được xuất bản trên tạp chí của Kreple, đã cung cấp nhiều cơ sở cho việc này. Sau đó, việc Steiner được bầu làm giáo sư không còn khó khăn nữa - và vào năm 1835, Steiner rời trường trung học, đảm nhận vị trí giáo sư tại khoa khoa học tự nhiên của Đại học Berlin.

Điều đáng chú ý là người giáo viên tầm thường Steiner lại là một giáo sư đại học xuất sắc. Ở trường, cậu bị tách khỏi các sinh viên toán hàn lâm; Những sinh viên quan tâm đến hình học đã truyền cảm hứng cho Steiner, và các bài giảng của ông, hình thức sáng sủa và cách sử dụng nhẹ nhàng, ngay lập tức bắt đầu đạt được thành công lớn: ngay cả giọng Thụy Sĩ của vị giáo sư khác thường cũng gây được tiếng vang với sinh viên. Các sinh viên cũng bị ấn tượng bởi việc Steiner đứng yên trong giờ giảng bài toán và gọi nhân viên đến bến tàu để lấy lời giải những bài toán này. (Ngày nay, ông ấy đã cấu trúc các bài giảng của mình tại Đại học Moscow theo cách tương tự)

Thành công này của các bài giảng về lịch sử hình học của Steiner thậm chí còn đóng một phần vai trò tiêu cực. Vì vậy, ngay cả trong nửa sau thế kỷ của chúng ta, các bài giảng về hình học xạ ảnh ở nhiều trường đại học trên thế giới đã được giảng theo một kế hoạch rất lỗi thời vào thời điểm đó, được phát triển bởi một người chăn cừu Tseiar, người chưa được giáo dục có hệ thống. Trong trường hợp này, thuật ngữ cổ xưa do Steiner phát minh đã được sử dụng, thuật ngữ này không được sử dụng trong bất kỳ ngành toán học nào khác.

Steiner cảm thấy mình là người đi đầu trong hình học Đức; Đồng thời, ông thường phản ứng với sự thiếu vắng thái độ của mình trong nhiều nhánh toán học.

Steiner 兵力 cư xử bất thường, giáo sư đã sửa lỗi cho sinh viên và việc Steiner đứng giảng bài bài toán và gọi nhân viên đến bến tàu vì lời giải những bài toán này. (Ngày nay, ông ấy đã cấu trúc các bài giảng của mình tại Đại học Moscow theo cách tương tự)

Thành công này của các bài giảng về lịch sử hình học của Steiner thậm chí còn đóng một phần vai trò tiêu cực. Vì vậy, cũng trong nửa sau của môn hình học của chúng ta, nó cố gắng thay thế các hình ảnh hình học bằng cách ghi chúng theo tọa độ và sau đó làm việc với các biểu diễn tọa độ của các đối tượng hình học, sử dụng một bộ máy đại số hoàn hảo. Riêng điều này đã cực kỳ gây phản cảm đối với nhà hình học “thuần túy” Steiner, người không nhận ra các phương pháp giải tích trong hình học. Ngoài ra, có lẽ Plücker còn có hai khuyết điểm nữa trong mắt Steiner, người xuất thân từ một gia đình nông dân nghèo và chưa bao giờ được học đại học. Plücker xuất thân từ một gia đình ông trùm công nghiệp Rhineland và cực kỳ giàu có. Ngoài ra, anh còn tốt nghiệp hai trường đại học: ở Bonn và Paris. Vì vậy, việc Plücker làm được rất ít đã khiến Steiner tức giận.

Plucker đã cẩu thả trong công việc của mình - lỗi chính tả và các lỗi khác, nhìn chung việc cài đặt giao diện người dùng của anh ấy rất dễ dàng, vì vậy thực sự có chỗ cho những điều chỉnh của Steiner. Những lời chỉ trích gay gắt (và thường là không công bằng) của Steiner khiến Plücker mệt mỏi đến mức ông

nhưng thậm chí còn từ bỏ hoàn toàn hình học; họ quay trở lại nó (với thành công vượt trội) chỉ sau cái chết của Steiner. Trong thời gian chờ đợi, ông chuyển sang vật lý thực nghiệm và đạt được nhiều thành tựu trong lĩnh vực này. Đặc biệt, có thể là nếu không có những cuộc tấn công của Steiner vào Plücker, con người sau này sẽ đi đến những ý tưởng phân tích cấu trúc vật lý và khám phá ra cái gọi là các tia phạm trù, được thực hiện bởi học trò của Plücker là Jugan Wilhelm Hitthor (1824-1914).

Vì vậy, ngay cả những thiếu sót của các nhà khoa học vĩ đại và/hoặc hóa ra lại là một điều may mắn cho khoa học!

Hai năm cuối đời của Steiner bị ảnh hưởng nhiều hơn do gắng sức quá mức và suy dinh dưỡng trong những năm đầu đời. Để điều trị, ông thường đến quê hương Thụy Sĩ, nhưng vào năm 1863, ông không bao giờ trở về sau chuyến đi như vậy: Steiner qua đời vào ngày 1 tháng 4 năm 1863, một mình trong phòng khách sạn ở Bern. Một thời gian dài bất an về vật chất đã ngăn cản anh lập gia đình. Anh ấy dành cho

đã quyên góp một số tiền nhất định cho Viện Hàn lâm Khoa học Berlin - để thành lập giải thưởng xã hội học về hình học (tất nhiên là “thuần túy”!), và cho lãnh đạo bang nơi ông sinh ra - cho giải thưởng thành công trong môn toán dành cho học sinh tiểu học dành cho trẻ em nghèo.

Ứng dụng

Công trình sử dụng một thước kẻ

Mệnh đề 1-3 của “Các nguyên lý” Euclide khẳng định khả năng tiếp tục không giới hạn của một đoạn đường cho trước, vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm đã biết và vẽ một đường tròn có tâm (điểm) và bán kính (đoạn) cho trước. Cùng với các giả định được Euclid ngụ ý, nhưng không được trình bày rõ ràng, về khả năng chỉ ra điểm giao nhau của hai đường thẳng đã cho (ví dụ: mỗi đường có hai điểm thuộc tính), hai đường tròn đã biết (được xác định bởi các thuộc tính là tâm và bán kính) và các đường thẳng và đường tròn đã cho, các phát biểu này mô tả toàn bộ mảng “có thể giải được Euclide” bài toán để xây dựng: những bài toán này phải trùng với các giá trị sau xây dựng được liệt kê, tức là. giải bằng thước và compa.

Năm 1797, cuốn sách “Hình học của la bàn” của Lorenzo Mascheroni (1750-1800) được xuất bản ở Ý, trong đó người ta khẳng định rằng tất cả bài toán có thể dựng được, có thể giải được bằng la bàn và thước kẻ, cũng có thể giải được bằng la bàn (với giới hạn tự nhiên là một đoạn thẳng, tất nhiên, không thể dựng được bằng la bàn - tuy nhiên, khi biết hai điểm của nó, bạn có thể sử dụng la bàn để chỉ ra vô số điểm khác trên đoạn đó). Rất lâu sau đó, một cuốn sách của Georg Mohr (1640-1697), xuất bản năm 1672 (125 năm trước Mascheroni!) bằng tiếng Hà Lan và tiếng Đan Mạch, đã được xuất bản, trong đó định lý tương tự đã được chứng minh.

Steiner bắt đầu quan tâm đến những công trình có thể được thực hiện với sự trợ giúp của một cây thước duy nhất (xem bài toán 1-3 bên dưới). Ông đã kiểm tra tuần tự các công trình bằng một thước kẻ, khả thi khi có mặt trên mặt phẳng của a) hai đường thẳng song song hoặc một đoạn chia cho một điểm đã biết trong một quan hệ bức xạ nhất định; b) hình bình hành; c) hình vuông; d) các đường tròn có tâm đã biết - và xác định rằng trong trường hợp d) tất cả “có thể giải được Euclide” bài toán đều có thể giải được bằng cách xây dựng (tất nhiên, một đường tròn có tâm và bán kính cho trước, chúng ta sử dụng một thước kẻ

Không thể xây dựng nó, nhưng có thể tìm thấy bất kỳ số điểm nào trên vòng tròn này).

3 nhiệm vụ

1°. Cho hai đường thẳng song song AB và l. Xây dựng: a) Trung điểm C của đoạn AB; 6) điểm D của đoạn này sao cho AD=AB/n, trong đó n là số (tự nhiên) cho trước.

2°. Cho các điểm A, B và a) trung điểm C của đoạn AB; 6) điểm D của đoạn này sao cho AD=AB/n. Vẽ đường thẳng l||AB đi qua điểm M cho trước.

3°. Trên mặt phẳng có điểm lùi M, đường thẳng l và a) hình bình hành, 6) hình vuông. Vẽ qua điểm M trong trường hợp a) đường thẳng m||l, trong trường hợp b) đường thẳng m⊥l.

4°. Cho đường tròn S tâm O và a) Cho 5 điểm trên mặt phẳng: A, B, Q, K, L; 6) 6 điểm Q, K, L, P, M, N. Xét trường hợp a) Giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn tâm Q, bán kính KL; trong trường hợp b) - giao điểm của các đường tròn có tâm Q và P và bán kính KL và MN.

5° (bài toán Hilbert). Một đường tròn S được cho trên một mặt phẳng. Chứng minh điều đó bằng một thước kẻ - không cần la bàn! - không thể xây dựng được tâm của đường tròn này.

Mạng lưới đường ngắn nhất

Steiner thường hỏi học trò của mình bài toán, yêu cầu họ chỉ ra hình dáng hoặc cấu hình tốt nhất ở một khía cạnh cụ thể. Đây là một trong những mục yêu thích của anh ấy bài toán:

Có ba thôn: A, B, C. Cần kết nối các thôn này bằng mạng lưới đường có chiều dài tối thiểu.

Ít nhiều rõ ràng (mặc dù điều này vẫn cần được chứng minh) rằng lời giải ở đây được cho bởi hai cạnh (ngoại trừ tuyến tính) của △ ABC, hoặc bởi các đoạn AP, BP, CP, trong đó tổng khoảng cách từ P đến các đỉnh của △ ABC là khả năng nhỏ nhất (hình 3, a, b). Hơn nữa, trong trường hợp của Hình 3.6, các đoạn AP, BP, CP phải tạo thành các góc bằng nhau tại điểm P, hoặc nếu, chẳng hạn, ∠APB≠∠APC, thì bạn có thể tìm thấy điểm Q sao cho QA=PA, và QB+QC<PB+PC. Theo đó, lời giải bài toán của Steiner được cho bởi hình 3,6 nếu mỗi góc △ ABC nhỏ hơn 120° và hình 3, a nếu ∠B ≥120°.

Trong trường hợp số lượng làng là n>3, hệ thống đường “tối thiểu” kết nối chúng có thể liên quan đến hình 3,a, tức là, nó bao gồm bất kỳ con đường nào kết nối các làng của chúng ta - hệ thống đường như vậy được gọi là hệ thống cốt lõi. Bằng vũ lực (nếu cần, với sự trợ giúp của máy tính; hiện nay máy tính đang tích cực tham gia vào lời giải “chung” bài toán Steiner với số lượng lớn “làng”), bạn luôn có thể tìm ra hệ thống đường khung ngắn nhất. Nhưng thường xuyên hơn, một mạng lưới đường tốt hơn tương tự như Hình 3.6, tức là chứa các “nút” bổ sung của mạng trong đó ba con đường hội tụ, tạo thành các cặp góc 120° với nhau - các nút như vậy được gọi là điểm Steiner và mạng lưới đường chứa chúng được gọi là mạng Steiner (hình 4). Than ôi! Chúng tôi không có bất kỳ phương pháp chung nào để tìm các mạng Steiner tối thiểu kết nối n điểm; Người ta cũng chưa biết khi nào mạng lưới đường “tuyệt đối tối thiểu” sẽ là mạng lưới khung và khi nào nó sẽ là mạng lưới Steiner. Đúng, người ta giả định rằng mạng lưới đường kéo dài tối thiểu không thể vượt quá mạng Steiner tối thiểu: trong trường hợp xấu nhất, nó chỉ dài (2/3)√3 lần (tức là khoảng 15%) - nhưng giả thuyết này cho đến nay chỉ được chứng minh cho trường hợp n 5.

Việc “hứa hẹn” hóa ra lại khó đến thế này bài toán Steiner về mạng đường đi ngắn nhất nối n điểm (Bản thân Steiner chỉ có những ví dụ riêng biệt về những mạng như vậy cho trường hợp n>3 - nhưng ngay cả ngày nay chúng ta cũng biết gần như ít như ông biết!).

3 nhiệm vụ

6°. Chứng minh kết quả hình thành của Steiner.

7°. Tìm tập hợp các đường đi ngắn nhất nối 4 điểm A, B, C, D là các đỉnh của: a) một hình vuông; 6) hình chóp tam giác (tứ diện).