Bài toán M1111—M1115; F1123—F1127

31

Nhiệm vụ

M1111—M1115, F1123—F1127

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. Các bài toán được xuất bản trong đó không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu hoa thị. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những vấn đề này đều được công bố lần đầu tiên.

Lời giải bài toán từ số này phải được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 10 năm 1988 đến địa chỉ: 103006 Moscow K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant».
Gửi Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) trong các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Nhiệm vụ «Kvant» Số 7 - 88” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M1111” hoặc “F1123”.
Ở cột “…địa chỉ người gửi”, vui lòng ghi họ và tên rõ ràng. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải trong phong bì này).

Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”).
Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường và lớp bạn đang theo học.

M1111. Một đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tương ứng. Các tiếp tuyến của đường tròn vẽ tại các điểm A và C cắt tiếp tuyến vẽ tại điểm B tại các điểm M và N tương ứng. Cho tam giác ABC vẽ đường cao BP (điểm P nằm trên cạnh AC). Chứng minh rằng đường thẳng BP là phân giác của góc MPN.

V. I. Chinik

M1112. Trên bảng có hai số được viết là 1 và 2. Cho phép cộng các số mới như sau: nếu trên bảng có số a và b thì viết số ab+a+b. Có thể lấy a) số 13121 bằng phương pháp này không? 6) số 12131?

Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên không biểu diễn được dưới dạng

c) x+y+xy, d) x+y+2xy với x và y tự nhiên.

A. A. Berzins, V. G. Ilchtsev

M1113*. Có 21 thành phố trong cả nước. Liên lạc hàng không giữa họ được thực hiện bởi một số công ty hàng không, mỗi công ty phục vụ 10 công ty hàng không miễn phí, kết nối theo cặp với một số thành phố nhất định (trong trường hợp này, máy bay của một số công ty có thể bay giữa hai thành phố). Cứ hai thành phố được kết nối bởi ít nhất một hãng hàng không miễn phí. Điều này có thể thực hiện được với mỗi chuyên gia tư vấn địa phương của hãng hàng không không?

D. V. Fomin

M1114. Chứng minh rằng với mọi tứ diện bất đẳng thức đều đúng

$$r < \frac{ab}{2(a+b)},$$

trong đó a, b là độ dài của hai cạnh giao nhau và r là bán kính của quả cầu nội tiếp.

I. F. Sharyzin

M1115*. a) Dòng đầu tiên chứa 19 số tự nhiên không quá 88, dòng thứ hai chứa 88 số tự nhiên không quá 19. Ta sử dụng một đoạn gồm một hoặc nhiều số trên một dòng. Chứng minh rằng bạn có thể chọn một đoạn từ các hàng đã cho sao cho tổng các số trong chúng bằng nhau.

6. Cho n, m, k là các số tự nhiên. Chứng minh rằng nếu

$$1+2+\ldots+n=mk,$$

thì các số 1, 2,…, n có thể chia thành k nhóm sao cho tổng các số trong mỗi nhóm là m.

A. V. Anzhans

F1123. Một vòi thép có khối lượng M được gắn vào đầu ống nước thẳng đứng bằng một đoạn ống cao su ngắn. Tại sao- (Tiếp tục ở trang 34)

33

Máy bay trinh sát cứu hỏa bay đi làm nhiệm vụ. Trời rất khô, và thật không may, những chú chó cứu hỏa đã trở thành một phần của việc chữa bệnh.
Một cơn giông bão nghiêm trọng vào ngày làm nhiệm vụ càng làm tăng thêm khả năng xảy ra hỏa hoạn vì nó chỉ đi kèm với những đám cháy nhỏ. Cơn giông bão không cho phép máy bay thở dọc theo tuyến đường đã đặt tên và làm nhiễu liên lạc vô tuyến với mặt đất. Đây là những gì người điều phối đã viết ra.

12 giờ. Nằm ở trung tâm quảng trường L-11, đường cong…*), tốc độ 200 km/h.
Voodoo duy trì tốc độ này trong suốt chuyến bay.
12h30. Tôi bay qua một túp lều săn bắn; cho đến nay rất tốt.
13 giờ. Tôi quay sang…..
13h30. Bên trái cách tôi 15 km có tháp khí tượng, mọi thứ đều ổn.
14 giờ. Tôi vừa quay 90°.
14h30. Tôi đang rẽ….
15 giờ. Tôi băng qua sông xanh.
15h30. Tôi quay ngoắt 90°…..
15 giờ 45. Tôi rẽ phải 90°.
16:00. Tôi đang bay qua sông Blue.
16.18. Phía dưới tôi là một lối rẽ vào rừng. Gửi trợ giúp. Tọa độ của tôi……

Người điều phối nên cử lính cứu hỏa đến ô vuông nào?

*) Các hình elip tương ứng với phòng giông bão.

34

Vòi phun có nằm ngang khi nước chảy không (hình 1)? Diện tích mặt cắt ngang của ống là $S$, chiều dài của nó là $l$. Người yêu cầu Trennem.

M. G. Gavrilov

F1124. Trên một khúc gỗ nhẵn có bán kính $R$k được đặt một “cuốn sách nhỏ” được tạo thành từ hai tấm hình vuông mỏng đồng nhất ở bên cạnh $l=4R$. Các tấm được gắn chặt với nhau bằng thanh bản lề không trọng lượng. Các tấm tạo thành góc bao nhiêu ở vị trí cân bằng (hình 2)? Liệu vị trí cân bằng này có ổn định không?

S. S. Krotov

F1125. Một bình dẫn nhiệt thẳng đứng chứa khí đơn nguyên tử được đóng lại bằng một piston có khối lượng $M$. Một lò sưởi có nguồn điện $N$ được bật trong bình và pít-tông bắt đầu di chuyển từ từ lên trên. Sau bao lâu vật sẽ đạt độ cao $H$ so với vị trí ban đầu? Nhiệt dung của piston, ma sát và áp suất khí quyển là những yếu tố giả định.

A. R. Zilberman

F1126. Trong mạch hiển thị ở hình3, công tắc $K$ “dao động” giữa vị trí 1 và 2 với tần số $f=100$ Hz; Chìa khóa vẫn ở mỗi vị trí trong cùng một khoảng thời gian. Tìm cường độ dòng điện qua điện trở. $C_1=10$ µF, $C_2=30$ µF, $R=100$ kOhm.

A. R. Zilberman

F1127. Một đèn pin phát ra một chùm tia hội tụ cách nó $R_0=1$ m tới một điểm nhỏ. Hai gương phẳng hình vuông được đặt dọc theo đường đi của chùm tia sao cho đường tiếp xúc của chúng cắt trục chùm tia cách đèn pin một khoảng $r=70$ cm và vuông góc với trục này. Các mặt phẳng của gương vuông góc với nhau và một trong các gương tạo một góc $\alpha=30^\circ$ với trục chùm tia. Chùm tia sáng sẽ hội tụ ở khoảng cách bao nhiêu so với đèn pin?

M. M. Tsypin

Problems
M1111—M1115, P1123—P1127

M1111. The tangents to the circumcircle of triangle $ABC$ at the points $A$ and $C$ intersect the tangent drawn from $B$ at the points $M$ and $N$ respectively. Show that the altitude $BP$ of triangle $ABC$ (where $P$ is on $AC$) is the bisector of angle $MNP$.

B. I. Chinik

M1112. The numbers 1 and 2 are written on the blackboard. Additional numbers may be written according to the following rule: if the numbars $a$ and $b$ are already on the board, then the number $ab+a+b$ may be added. Is it possible to obtain the numbers a) 13121; b) 12131 in this way? Prove that there are infinitely many nonnegative integers which cannot be represented as c) $x+y+xy$, d) $x+y+2y$ with nonnegative integers $x$ and $y$.

A. A. Berzins, V. G. Il’ichev