Bài toán

Kvant 1988, số 7 tr. 45, 47, 48, 49, 51, 52, 54 Thẻ L0UQ

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Nhiệm vụ

Kiểm tra tính hợp lệ của các tejdestivities trong tham số số được hiển thị tại hình và cố gắng chứng minh tuyên bố chung:
$1+2+\dots+(k-1)+k+(k-1)+\dots+2+1=k^2.$
Manh mối nằm cạnh paramid.
Bốn người bạn đến sân trượt băng, mỗi người đi cùng anh trai cô. Họ chia thành từng cặp và bắt đầu trượt băng. Hóa ra trong mỗi cặp, “quý ông” đều cao hơn “quý cô” và không có ai trượt băng cùng em gái mình. Người cao nhất của công ty là Yura Vorobyov, người cao tiếp theo là Andrei Egorov, sau đó là Lyusya Egorova, Seryozha Petrov, Olya Petrova, Dima Krymov, Inna Krymov và Anya Vorobyova.
Ai đạp xe với ai?
Một chiếc ly được hạ xuống một cái chảo lớn chứa đầy nước nóng. Sau một thời gian, bọt khí bắt đầu thoát ra khỏi kính. Tại sao?
Chứng minh rằng phương trình
$x^5y=xy^5+1987$
không có lời giải trong số nguyên.
Một tờ giấy hình chữ nhật được cắt thành ba mảnh hình tam giác. Diện tích của một trong số chúng hóa ra bằng một nửa tổng diện tích của hai mảnh còn lại. Diện tích của các mảnh kết quả là gì?

Những nhiệm vụ này đã được đề xuất cho chúng tôi bởi N. I. Avilov, M. V. Ulanovsky, A. G. Samosvat, A. P. Tonkikh, V. V. Proizvolov.

Từ “phân tử” xuất hiện cách đây gần 350 năm. Nó xuất hiện trong cuốn sách của triết gia người Pháp Pierre Gasendi, xuất bản năm 1647. Theo Gasendi, một phân tử (“khối lượng”, từ tiếng Latin “nốt ruồi” - khối lượng) là một số nguyên tử được kết hợp thành một nhóm. Các nguyên tử thống nhất khác nhau, tức là các phân tử khác nhau, là những “viên gạch” mà từ đó thiên nhiên xây dựng nên nhiều vật thể khác nhau. Thông qua MV này. Lomonsov, người phát triển học thuyết về cấu trúc của vật chất, đã viết rằng các phân tử có thể đồng nhất (từ các nguyên tử giống hệt nhau) và không đồng nhất (từ các nguyên tử khác nhau), các phân tử tương tác với nhau và chuyển động hỗn loạn liên tục.

Những quy định này đã hình thành nên cơ sở của lý thuyết động học phân tử về cấu trúc của vật chất. Theo thời gian, chúng đã được xác nhận bằng nhiều thí nghiệm. Chúng tôi muốn nói về một số trong số họ.

Năm 1911, nhà vật lý người Pháp Dunuite đã tiến hành một thí nghiệm cho thấy trong chuyển động của chúng, các phân tử khí liên tục va chạm với nhau và giữa các va chạm chuyển động của chúng là chuyển động thẳng.

Sơ đồ thí nghiệm được thể hiện ở hình 1.

Hình 1.

không khí. Ống được chia thành hai vách ngăn (1 và 2) thành ba ngăn. Các vách ngăn có lỗ ( $O_1$ và $O_2$ ) nằm trên trục của ống. Người ta đặt một miếng kim loại natri vào ngăn I. Phần ống này được nung nóng. Natri bắt đầu bay hơi, hơi natri tràn vào ngăn I và qua các lỗ $O_1$ và $O_2$ xâm nhập vào ngăn II và III. Mảng natri hình thành trên các ngăn của ống, trong khi ở ngăn II nó bao phủ tất cả các thành trừ vách ngăn 1, còn ở ngăn III nó chỉ bao phủ một khu vực nhỏ có phản hồi $O_2$ .

Kết quả của thí nghiệm này được giải thích khá rõ ràng. Các phân tử có vận tốc khác hướng đi vào ngăn II qua lỗ $O_1$ . Vì không khí đã được bơm ra khỏi ống, nên các phân tử natri trong ngăn II thực tế chuyển động mà không va chạm và khi chạm vào các bức tường lạnh, chúng sẽ bám vào chúng. Và chỉ những phân tử đó mới đi vào ngăn III mà tốc độ khi rời ngăn I được hướng theo đường thẳng $O_1O_2$ , và những phân tử này lắng đọng ở ngăn III trên thành ống định hướng nghiêm ngặt các phản ứng $O_1$ và $O_2$ .

Việc các phân tử chuyển động theo kiểu hình học dường như chỉ ra rằng tốc độ của các phân tử có thể rất khác nhau và không thể chỉ ra hướng hoặc một giá trị nhất định của chúng. Tuy nhiên, vào năm 1860, nhà vật lý người Anh Maxwell về mặt lý thuyết đã chỉ ra rằng có một định luật chính xác tuân theo tốc độ chuyển động nhiệt ngẫu nhiên của các phân tử. Theo định luật này - người ta gọi là định luật phân bố vận tốc phân tử (hay đơn giản là phân bố Maxwell), ở một nhiệt độ nhất định có một giá trị vận tốc nhất định đặc trưng cho chuyển động của hầu hết các phân tử của một chất khí nhất định. Và chỉ một phần nhỏ phân tử có tốc độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn nhiều so với tốc độ có thể xảy ra nhất này. (Trong trường hợp này, người ta giả định rằng tất cả các phân tử khí đều giống hệt nhau và nhiệt độ không đổi trong toàn bộ thể tích.) Định luật phân bố các phân tử theo tốc độ cho phép chúng ta xác định tỷ lệ các phân tử có tốc độ gần với giá trị cao nhất. Giá trị này càng gần với tốc độ có thể xảy ra nhất thì tỷ lệ phân tử chuyển động ở tốc độ này càng lớn.

Tại hình 2 có đồ thị vẽ đồ thị phân bố

Maxwell. Trục abscissa hiển thị tốc độ $v$ và trục thông thường hiển thị hàm $f(v)$ , giá trị của nó ở một giá trị tốc độ nhất định xác định tỷ lệ các phân tử khí có tốc độ rất gần với $v$ .

Hình 2.

Mặc dù ý nghĩa của những gì đã nói là rõ ràng, nhưng phải nhớ rằng việc quan tâm đến giá trị chính xác của tốc độ của phân tử được xác định hoặc có bao nhiêu phân tử có tốc độ cụ thể là vô nghĩa. Thực tế là khi xem xét một chất khí ở một trạng thái chẳng hạn, chúng ta đang xử lý một số lượng lớn vật thể (xét cho cùng, trong một cm khối không khí trong phòng có khoảng $2,5 \cdot 10^{19}$ phân tử). Và không có cách nào (và không cần thiết) để thảo luận về đặc điểm của từng đối tượng - một phân tử - một cách riêng biệt. Trong một số trường hợp, để mô tả hoạt động của một số lượng lớn các bộ phận như vậy, cần sử dụng giá trị trung bình của các đại lượng đặc trưng cho chuyển động của bộ phận đó - chẳng hạn như tốc độ trung bình hoặc năng lượng trung bình.

Một thí nghiệm xác định tốc độ chuyển động của các phân tử khí lần đầu tiên được thực hiện vào đầu thế kỷ 20 bởi nhà vật lý người Đức Stern. Sơ đồ thí nghiệm được trình bày ở hình 3. Khi đun nóng dây bạch kim mỏng mạ bạc 1 (dây phát sáng khi có dòng điện chạy qua), các phân tử bạc bay hơi khỏi bề mặt của nó. Một số phân tử, thông qua khe hẹp 2 trong hình trụ mỏng 3 bao quanh hệ thống dây điện, đi vào bên trong hình trụ lớn 4 bao quanh hệ thống dây điện và hình trụ nhỏ. Không khí đã được bơm ra khỏi hình trụ lớn, do đó các phân tử bạc di chuyển đến đó thực tế mà không va chạm và khi chúng chạm vào thành hình trụ, sẽ lắng xuống trên đó (nhiệt độ bề mặt của hình trụ lớn khá thấp). Các phân tử lắng đọng tạo thành một dải mảng bám hẹp 5. Nếu toàn bộ hệ thống tích tụ lại, thì sữa này được hình thành chỉ hướng chính nó 2, tạo ra hình ảnh của nó. Nhưng nếu cả hai hình trụ (3 và 4) quay quanh một trục chung, đi qua dây 1, thì mảng bám sẽ không còn tạo thành thanh dẫn hướng 2 nữa. Thật vậy, trong thời gian các phân tử quét khoảng cách từ rãnh đến bề mặt của hình trụ 4, hình trụ bắt kịp bề mặt và dấu vết 6 (hình 4) do các phân tử để lại trở nên buồn cười so với cặn 5 theo hướng ngược lại với hướng hình trụ

Hình 3.

Hình 4.

Biết tốc độ quay của hình trụ 3 và 4, bạn có thể sử dụng khoảng cách giữa rãnh 5 và 6 để xác định thời gian để các phân tử di chuyển quãng đường từ khe 2 đến bề mặt của hình trụ 4. Và biết được khoảng cách này, bạn có thể xác định được tốc độ của các phân tử.

Điều quan trọng cần lưu ý là lớp được hình thành bởi các phân tử không có độ dày cố định. Ở gần giữa, lớp dày nhất và ở các cạnh độ dày của nó giảm dần (hình 5). Vì độ dày của lớp giữa được xác định bởi số lượng phân tử được chiếu sáng trên bề mặt hình trụ, nên nó có thể được sử dụng để đánh giá số lượng phân tử tác động lên thành ống ở tốc độ này hay tốc độ khác. Rốt cuộc, các phân tử nhanh nhất rơi xuống gần rãnh 5 và những phân tử chậm hơn sẽ ở xa nó hơn. (Có đúng là “hình dạng” của mảng ở giữa giống với đường cong phân bố Maxwell không?)

Stern thực hiện thí nghiệm đầu tiên xác định tốc độ của các phân tử vào năm 1920, và một phần tư thế kỷ sau, ý tưởng thí nghiệm được dùng để kiểm tra thực nghiệm định luật Maxwell. Trong các thí nghiệm này, số lượng phân tử có vận tốc nằm trong một phạm vi vận tốc nhất định đã được đo. Các phép đo đã hoàn toàn xác nhận định luật phân bố cực đại.

Có lẽ bạn đọc sẽ thắc mắc: sự va chạm của các phân tử với nhau có ảnh hưởng gì đến sự phân bố không? Trong thí nghiệm của Stern, các phân tử nóng bay mà không va chạm với nhau, nhưng có lẽ nếu các phân tử không va vào bức tường lạnh mà chúng bị dính vào mà là một phân tử nóng như chính chúng và bật ra khỏi đó, thì theo thời gian, do va chạm với nhau, chúng sẽ cân bằng tốc độ?

Tất nhiên, va chạm ảnh hưởng đến tốc độ của các phân tử. Nhưng sự thay đổi tốc độ xảy ra theo cách mà trong bất kỳ khoảng thời gian nào, số lượng phân tử có tốc độ giảm bằng số lượng phân tử có tốc độ đáng chú ý và sự phân bố của các phân tử theo tốc độ không thay đổi - giống như ở hình 2. Tất nhiên, trừ khi nhiệt độ của khí không đổi.

Nếu khí nóng lên thì sao? Nhiệt độ cao hơn tương ứng với tốc độ phân tử cao hơn. Nếu nhiệt độ cao hơn được thiết lập trong toàn bộ thể tích mà khí chiếm giữ thì đường cong phân phối sẽ dịch chuyển về phía vận tốc cao hơn. Trong trường hợp này, thật dễ hiểu, diện tích dưới đường cong không đổi - xét cho cùng, nó tương ứng với tổng số phân tử trong thể tích.

Và để kết luận, chúng tôi mời bạn suy nghĩ: những hiện tượng nào trong cuộc sống, trong tự nhiên xung quanh, chỉ ra rằng các phân tử chuyển động ngẫu nhiên, giữa các va chạm, chuyển động của chúng là thẳng và tốc độ của các phân tử ở cùng nhiệt độ là không giống nhau.

Chỉ có một cửa hàng phần cứng duy nhất ở Monrovia, thủ đô của Liberia. Khi tôi nói với người bán hàng da ngăm đen rằng tôi cần bao nhiêu lít sơn, anh ta huýt sáo ngạc nhiên:

Cứ như thể ông đang định đục núi vậy, thưa ông!
“Không,” tôi đảm bảo với anh ấy, “không phải núi, chỉ là một hòn đảo.”

Người thư ký mỉm cười. Anh ấy nghĩ tôi bị điên, nhưng thực sự tôi định sơn hòn đảo mục tiêu bằng năm màu: đỏ, xanh dương, xanh lá cây, vàng và tím.

Tại sao tôi lại gặp phải điều này? Để trả lời câu hỏi này, tôi sẽ phải quay lại vài năm trước.

Thực tế là chủ đề luận án tiến sĩ của tôi là vấn đề bốn màu. Giả thuyết bốn màu cho rằng để tô màu chính xác cho bất kỳ bản đồ nào, trong đó hai quốc gia láng giềng có chung một đoạn biên giới sẽ được sơn bằng các màu khác nhau (hai quốc gia không được coi là láng giềng nếu biên giới của họ chỉ có một điểm chung), bốn màu là đủ. Các quốc gia trên bản đồ có thể có kích thước bất kỳ và hình dạng phức tạp nhất. Số lượng của họ cũng có thể tùy ý. Giả thuyết bốn màu được Mobius đưa ra lần đầu tiên vào năm 1860, và mặc dù những bộ óc toán học giỏi hơn đã nghiên cứu lời giải của nó, nhưng giả thuyết này không thể được chứng minh cũng như không thể bác bỏ*).

Do những trường hợp kỳ lạ, bài toán bốn màu đã được giải quyết cho tất cả các bề mặt ngoại trừ hình cầu và mặt phẳng. Năm 1890, R. J. Heawood đã chứng minh rằng bảy màu là cần và đủ để tô màu bề mặt của một hình xuyến (bề mặt của một chiếc bánh rán), và vào năm 1934, F. Franklin đã chứng minh rằng sáu màu là đủ để tô màu bản đồ trên các bề mặt một mặt như dải Möbius và chai Klein.

Vào ngày 17 tháng 11 năm 1947, Stanislav Slapenarsky, giáo sư tại Đại học Vienna, người đang giảng dạy một loạt bài giảng tại Đại học Chicago, đã đưa ra một thông báo gây chấn động về khám phá của ông về các bề mặt không có cạnh**). Khám phá này có những hậu quả sâu rộng đối với việc nghiên cứu các tính chất của chai Klein và tạo ra một cuộc cách mạng thực sự trong nghiên cứu về vấn đề bốn màu.

Phát triển một số ý tưởng của Slapenarsky, tôi đã xuất bản tác phẩm nổi tiếng của mình vào năm 1950, bác bỏ “bằng chứng” của Heawood, vốn tin rằng để tô màu chính xác bản đồ trên mặt phẳng, gót chân của màu sắc là cần thiết và đủ. Theo niềm tin toàn diện của các nhà tôpô, bốn màu là đủ để tô màu chính xác một mặt phẳng hoặc hình cầu.

Ngay sau khi công trình của tôi về bài toán bốn màu được xuất bản, tôi tình cờ ăn sáng tại Câu lạc bộ Tứ giác của trường đại học với Giáo sư Alma Busch. Alma là một trong những nhà nhân chủng học hàng đầu của chúng tôi và chắc chắn là người phụ nữ xinh đẹp nhất toàn trường đại học.

Alma vừa trở về sau chuyến thám hiểm tới một hòn đảo nhỏ nằm cách bờ biển Liberia vài trăm dặm ở rìa phía tây lục địa châu Phi. Cô dẫn đầu một nhóm sinh viên nhân chủng học nghiên cứu các quyền và phong tục của người Lemen sinh sống trên đảo.

“Hòn đảo được chia thành năm khu vực,” Alma nói với tôi, đặt một ống ngậm dài bằng nhựa màu đen lên con dấu hiệu của cô ấy. “Tất cả đều giáp nhau.” Điều này rất quan trọng để hiểu các quyền của bạn ở đó. Tính tương đồng của các ranh giới cho phép các yếu tố duy trì sự thống nhất nhất định về văn hóa. Có chuyện gì với bạn vậy, Marty? Sao trông bạn có vẻ ngạc nhiên thế?

Tôi sững người, và không đưa nĩa lên miệng, tôi từ từ đặt nó lên bàn.

*) Câu chuyện của Gardner được viết vào năm 1952. Một vấn đề tích cực về sơn lời giải được phát hiện vào năm 1976. (Lưu ý ped.)
**) Độc giả sẽ tìm thấy câu chuyện chi tiết về vấn đề này trong số 6 của tạp chí “Quenta” (Note ped.)

Bởi vì bạn nói những điều đáng kinh ngạc. Nó không thể đơn giản như vậy được.
Alma sửng sốt:
Không thể ở đâu được?
Gót chân bắt, có đường viền chung. Điều này mâu thuẫn với ý nghĩa của bài toán bốn màu.
Mâu thuẫn cái gì?
“Vấn đề về bốn màu,” tôi lặp lại. “Có một vấn đề như vậy trong cấu trúc liên kết.” Mặc dù nó chưa được chứng minh hay bác bỏ dưới bất kỳ hình thức nào nhưng không ai nghi ngờ rằng nó là sự thật.
Tôi bắt đầu vẽ lên khăn trải bàn bằng đầu thìa, cố gắng giải thích cho Alma chuyện gì đang xảy ra ở đây.
Alma nhanh chóng nắm bắt được ý tưởng chung.
— Có lẽ người dân trên đảo bị quyến rũ bởi một loại toán học khác? - cô đề nghị, xào xạc từ làn khói của con báo.
Tôi lắc đầu.
— Toán học, em ơi, mọi nền văn hóa đều giống nhau. Hai lần hai luôn là bốn, ngay cả ở Châu Phi. Nếu hòn đảo của bạn thực sự được chia cắt như bạn nói - thành năm khu vực, mỗi khu vực có đường biên giới chung với bốn khu vực khác - thì tôi sẽ dạy bạn tin vào khả năng toán học của người dân trên đảo. Bạn có bản đồ của hòn đảo này không?
Alma lắc đầu.
Có lẽ cậu nên đi cùng chúng tôi? – cô đề nghị, đảm bảo cho đống tro tàn. “Tôi sẽ ở lại hòn đảo thịt.” Tôi cần kiểm tra một số dữ liệu trước khi xuất bản và trong lúc chờ đợi, bạn có thể lập bản đồ hòn đảo. Nếu những gì tôi nói với bạn không được xác nhận, tôi sẽ hoàn trả chi phí cho bạn.
Tôi đã phải mất gì? Kỳ nghỉ hè đang bắt đầu, và chuyến đi này hứa hẹn sẽ thú vị và khác thường. Và tôi đã đồng ý.

Vào ngày thứ hai chúng tôi ở trên đảo, Alma giới thiệu tôi với một người dân trên đảo tên là Aguz. Aguz là tù nhân của Khiyniku, người tạo nên tầng lớp trí thức trên đảo. Alma đồng ý với Aguz thực hiện chuyến đi bộ đường dài thứ hai xuyên đảo. May mắn thay, hòn đảo này rất nhỏ: diện tích của nó không vượt quá 25 dặm vuông. Khởi hành từ sáng sớm, đến tối chúng tôi có thể đi hết toàn bộ hòn đảo. Tôi mang theo một cuốn sổ ghi chú và một hộp bút chì để phác thảo ít nhất một bản đồ thô về gót chân của khu vực.

Chuyến thăm đầu tiên của chúng tôi là đến một ngôi làng bị giam giữ, trên lãnh thổ nơi có trại của chúng tôi.

Ở phần trên cùng của cuốn sổ, tôi vẽ một vòng tròn và tô màu xanh lam. Cấu hình chính xác của lãnh thổ bị Hiinku chiếm giữ vẫn chưa được biết, nhưng với mục đích của tôi, để tận dụng lãnh thổ bị giam giữ bởi người Wolfesi, tôi đặt một đường ngoằn ngoèo bên cạnh vòng tròn màu xanh lam và sơn nó màu xanh lá cây.

Vượt qua những bụi cây rậm rạp một cách khó khăn, chúng tôi đến được bờ một con sông hẹp và yên tĩnh. Một bè gỗ nhỏ nhô lên khỏi lớp bùn nhẹ, nhờn bao phủ dòng sông. Aguz đẩy chiếc bè xuống nước, trèo lên và bắt đầu đẩy nó bằng một cây sào tre dài. Chúng tôi băng qua một nơi trông giống như một thềm bùn hẹp gần bờ và ngồi xổm xuống đó. Sử dụng cây sào của mình, Aguz hướng chiếc bè xuôi theo dòng sông quanh co.

Sau một thời gian, Aguz thông báo rằng chúng tôi sẽ gặp Gesells trên lãnh thổ bị giam cầm. Cô đã được xử lý để ăn thịt từ Wolfesi.

có thể đánh dấu từng lãnh thổ bằng các điểm có màu tương ứng và trên ảnh chụp từ trên không màu, hình dạng của từng lãnh thổ sẽ được nhìn thấy rõ ràng.

Alma nói kế hoạch của tôi rất tuyệt vời. Dù sao thì cô ấy cũng cần phải xóa bản đồ hòn đảo và phương pháp được nhiều người đề xuất cho phép cô ấy hoàn thành việc này bài toán nhanh hơn những người khác.

“Sơn do tôi chi trả,” cô hào phóng đề nghị.

Ở đây chúng ta đến chính nơi tôi bắt đầu câu chuyện của mình. Chúng tôi lấy sơn phun từ một nhà thầu nhận đặt hàng cho công trình xây dựng. Tôi đã mua 20.000 gallon loại sơn rẻ nhất. Trở lại đảo, chúng tôi dễ dàng chiêu mộ một nhóm chàng trai Hiiki và huấn luyện họ cách sử dụng bình xịt.

Aguz được bổ nhiệm làm quản đốc. Chúng tôi đánh dấu lãnh thổ của mỗi bộ tộc bằng sơn cùng màu như trên “bản đồ” của tôi. Sẽ rất tốn kém nếu sơn toàn bộ khu vực này, vì vậy chúng tôi quyết định phun sơn ở những điểm có đường kính khoảng 10 feet, cách nhau 100 feet. Từ trên máy bay, lãnh thổ của mỗi bộ tộc sẽ được vẽ bằng chấm bi và ranh giới sẽ dễ dàng phân biệt được.

Lần nào tôi cũng đi cùng tổ giám sát công việc. Mọi thứ đã được thực hiện như nó phải làm. Không còn nghi ngờ gì nữa, bốn vùng lãnh thổ có một đường biên giới chung: mỗi vùng có một lãnh thổ có màu khác nhau tiếp giáp với một phần biên giới.

Năm màu sẽ phải quyết định!

Chúng tôi bắt đầu phun sơn màu vàng vào ngày làm việc thứ mười hai. Lãnh thổ Vàng đã được bao quanh bởi sơn màu xanh lá cây và tím. Chúng tôi đang tiếp cận lãnh thổ màu xanh. Thần kinh của tôi căng thẳng.

Nhóm vẽ tranh di chuyển chậm rãi qua bụi cây thấp. Mặt trời lặn đổ bóng dài. Một con vẹt với bộ lông sáng đẹp, sau khi nhận được phần sơn từ bình xịt, bay lên một cách ồn ào và biến mất, phát ra những tiếng kêu vui tai. Một con rắn nhỏ màu nâu, lấm tấm sơn vàng, trườn đi đến một nơi vắng vẻ. Đột nhiên tôi nắm lấy vai Alma.

Tôi thề dưới cái bóng của Mobius! “Tôi khàn giọng kêu lên, không thể ngăn được trái tim đang đập trắng xóa của mình. “Tôi nhìn thấy một điểm xanh từ đây!”

Đôi mắt xám xinh đẹp của Alma lấp lánh vẻ đắc thắng.

Vậy ai đúng?

Tôi ngồi xuống một gốc cây lớn và lau mồ hôi đang lăn dài trên mặt. Đầu tôi đau như búa bổ. Có một tiếng gõ cửa trong quan điểm. Từ xa có thể nghe thấy tiếng côn trùng vo ve đơn điệu không ngừng của Skovoz, nhịp điệu rõ ràng, rực lửa của trống bebolup. Aguz đứng chờ lệnh tiếp theo.

Tôi hoàn toàn bối rối. Theo phương ngữ, năm khu vực không thể có một biên giới chung. Tôi biết rằng bài toán bốn màu đã được chứng minh trong trường hợp số quốc gia không vượt quá 35. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu có sai sót nào đó len lỏi vào những phép chứng minh này? Nếu hòn đảo thực sự bác bỏ bài toán bốn màu thì khám phá của tôi sẽ là một trong những bước ngoặt lớn nhất của cấu trúc liên kết!

Vài ngày sau, khi chuyến bay tiếp theo đến từ Monrovia, chúng tôi quyết định chụp ảnh hòn đảo từ trên không. Thật không may, chiếc máy bay này nhỏ, có hai buồng lái mở nên chỉ có nhiếp ảnh gia có máy ảnh mới có thể bay. Sau khi chụp ảnh xong, phi công sẽ thả nhiếp ảnh gia xuống và đưa tôi đi ngắm nhìn hòn đảo được sơn từ trên cao.