Định lý ba sin

71

Teorema
về ba tội lỗi

I. G. GABOVICH

Trong nhiều bài toán lập thể, người ta thường phải xác định góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng. Điều này được thực hiện một cách thuận tiện bằng cách sử dụng định lý ba xoang, bạn sẽ học được định lý này nếu giải được bài toán sau.

1. Trên một trong các mặt của một góc nhị diện có độ lớn α vẽ một đường thẳng tạo thành một góc β với cạnh của góc này. Xác định góc mà đường thẳng này tạo với cạnh kia.

Lời giải. Đặt ∠ABC là góc tuyến tính của một góc nhị diện đã cho bằng α (hình 1) và đặt ∠ADB=β. Hãy hạ mặt dây AC xuống phía bên kia của góc; thì ∠ADC là nguyên gốc. Chúng ta hãy ký hiệu ∠ADC bằng γ và đặt AD=x. Tam giác ABD là tam giác vuông nên AB=x sin β. Tam giác ABC cũng là tam giác vuông nên AC=AB sin α = x sin α sin β. Cuối cùng, từ tam giác ADC ta thấy AC=x sin γ. Vì thế,

sin γ = sin α sin β.

Đây là định lý ba xoang, được kết nối trong lời giải bài toán.

Hình 1.

72

2. Trong một lăng trụ tam giác đều $ABCA_1B_1C_1$ đáy bằng chiều cao. Tìm góc giữa đường chéo $AB_1$ và mặt phẳng $AA_1C_1C$.

Lời giải. Góc nhị diện ở cạnh $AA_1$ là $\frac{\pi}{3}$ (hình 2). Đường chéo $AB_1$ tạo thành một góc có cạnh $AA_1$ bằng $\frac{\pi}{4}$. Gọi $\gamma$ là độ lớn của góc mong muốn. Khi đó, theo định lý ba sin

$$\sin \gamma = \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}.$$

Vì vậy, $\gamma = \arcsin \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Đây là bài toán cái cuối cùng.

3. Góc giữa mặt phẳng hình vuông $ABCD$ và một mặt phẳng m nào đó bằng $\alpha$, góc giữa hai cạnh $AB$ và cùng một mặt phẳng là $\beta$. Tìm góc giữa các cạnh $AD$ và mặt phẳng $\tau$.

Lời giải. Chúng ta sẽ giả sử rằng đỉnh $A$ của hình vuông nằm trên cạnh của góc nhị diện đang xét - xem hình 3. Góc $BFB_1$ và $DED_1$ là các góc thẳng của góc nhị diện này: $\angle BFB_1 = \angle DED_1 = \alpha$. Các đoạn $AB_1$ và $AD_1$ là hình chiếu của các cạnh $AB$ và $AD$ lên mặt phẳng $\tau$. Theo điều kiện, $\angle BAB_1 = \beta$.

Đặt $\angle BAF = \varphi$ và $\angle DAD_1 = \gamma$. Theo định lý ba sin $\sin \beta = \sin \alpha \sin \varphi$, ta mở $\sin \varphi = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$. Kể từ đây,

$$\cos \varphi = \sqrt{1 - \frac{\sin^2 \beta}{\sin^2 \alpha}} = \frac{1}{\sin \alpha} \sqrt{\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta} =$$

Rõ ràng là $\angle DAE = 90^\circ - \varphi$. Do đó, từ định lý ba sin suy ra

$$\sin \gamma = \sin \alpha \sin (90^\circ - \varphi) = \sin \alpha \cos \varphi = \sqrt{\sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta)}.$$

Vì thế,

$$\gamma = \arcsin \sqrt{\sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta)}.$$

bài toán tiếp theo được cung cấp cho kỳ thi tuyển sinh vào MIPT.

5. Các cạnh $AB$ và $AC$ của một tam giác đều lần lượt nằm trên các mặt $P$ và $Q$ của góc nhị diện nhọn $\varphi$. Cạnh $AB$ tạo thành góc nhọn $\alpha$ với cạnh của góc nhị diện. Tìm góc giữa mặt phẳng $ABC$ và mặt $Q$.

Lời giải. Hãy vẽ một hình - hình 4. Đỉnh $A$ của một tam giác đều tiếp giáp với cạnh $MN$, các cạnh $AB$ và $AC$ nằm trên các mặt $P$ và $Q$; theo điều kiện, $\angle BAM = \alpha$. Hãy vẽ $BO \perp Q$ và nối các điểm $O$ và $A$. Chúng ta hãy biểu thị $\angle BAO$ bằng $\varphi$ và bằng $\omega$ chúng ta biểu thị góc mong muốn mà mặt phẳng $ABC$ tạo thành với $Q$.

Áp dụng định lý ba sin hai lần, ta có

$$\sin \gamma = \sin \varphi \sin \alpha$$

Và

$$\sin \gamma = \sin \omega \sin \frac{\pi}{3}.$$

Vì thế,

$$\sin \omega = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin \varphi \sin \alpha$$