Đã chọn bài toán Olympic Vật lý thành phố Moscow

74

5. Chứng minh rằng một đội tiên phong luôn có thể chia thành hai đội sao cho tổng số cặp bạn ở cùng một đội ít hơn số cặp bạn ở hai đội khác nhau.

6. Tất cả các giá trị của tam giác vuông $ax^2+bx+c$ trên khoảng [0,1] không vượt quá 1 về giá trị tuyệt đối. Giá trị quan trọng nhất mà $|a|+|b|+|c|$ có thể có là gì?

lớp 9

1. Trong không gian có bốn đường thẳng, được bao quanh bởi hai màu: hai màu đỏ và hai màu xanh lam, và bất kỳ đường thẳng màu đỏ nào cũng được phân phối lại bởi một đường thẳng màu xanh lam bất kỳ. Chứng minh rằng mọi đường màu đỏ hoặc xanh đều song song.

2. Trong tam giác $ABC$ trên các cạnh $AB, BC$ và $AC$, các điểm $M, K$ và $L$ được lấy lần lượt sao cho đường thẳng $MK$ song song với đường thẳng $AC$ và ML song song với $BC$. Trong trường hợp này, đoạn $BL$ cắt đoạn $MK$ tại điểm $P$ và $AK$ cắt $ML$ tại điểm $Q$. Chứng minh rằng các đoạn $PQ$ và $AB$ song song.

3. Được biết, các số $A_1, A_2, \dots, B_1, B_2, \dots$ tạo thành cấp số nhân. Có thể chỉ biết các giá trị của $A_1+B_1, A_2+B_2, A_3+B_3$ và $A_4+B_4$ để xác định $A_5+B_5$?

4. Các đường phố của một thành phố nào đó được thể hiện trên sơ đồ dưới dạng một hình vuông, được chia thành 25 ô bằng nhau ở cạnh 1. Tại điểm lệch ở hình có một máy xúc tuyết. Tìm độ dài quãng đường ngắn nhất đi qua tất cả các phố để khi kết thúc công việc ô tô quay về điểm xuất phát.

![Graph showing a square grid with points A1, A2, …, B1, B2, …, A1+B1, A2+B2, A3+B3, and A4+B4.]

5. Tìm tất cả các số dương $A_1, A_2, \dots, A_{10}$ thỏa mãn điều kiện $(A_1+...+A_k)(A_k+...+A_{10})=1$ với mọi $k=1, 2, \dots, 10$.

lớp 10

1. Giải phương trình
   $$\lg(x-2)=2x-x^2+5.$$

2. Có hàm số nào mà đồ thị trên mặt phẳng tọa độ có điểm chung với bất kỳ đường thẳng nào không?

3. Có thể sắp xếp các thánh giá và kệ trên mặt giấy ca-rô sao cho không tìm thấy ba dấu hiệu giống hệt nhau liên tiếp trên bất kỳ chiều ngang, dọc hoặc chéo nào không?

4. Cho $n$ các số tự nhiên khác nhau. Chứng minh rằng một cấp số cộng vô hạn nào đó, số hạng đầu tiên không lớn hơn hiệu của nó, chứa đúng 3 hoặc 4 số cho trước nếu $n=5$, $b) n=1989$.

5. Tính, với chính xác đến 2, tổng chiều dài cắt nhỏ nhất phải thực hiện để cắt một hình vuông đơn vị thành hình chữ nhật có đường chéo là 100.

6. Trên các cạnh của một tứ diện tùy ý, một điểm được chọn. Vẽ một mặt phẳng đi qua mỗi điểm nằm trên các cạnh có một đỉnh chung. Chứng minh rằng nếu ba trong bốn mặt phẳng được vẽ chạm vào quả bóng ghi trong vở thì mặt phẳng thứ tư cũng chạm vào nó.

Đã chuẩn bị xuất bản
N. N. Sergeev, S. V. Gashkov

Yêu thích bài toán
Olympic Vật lý thành phố Moscow

lớp 8

1. Đường trượt tiếp theo có góc $a$ không có tốc độ ban đầu được trượt xuống bằng xe trượt. Một phần ba giữa chiều dài của cầu trượt được rắc cát và có hệ số ma sát là $μ$. Ở giá trị nào của $μ$ xe trượt sẽ đi đến cuối đường trượt? Đá nguyên chất được coi là hoàn toàn mịn màng.

2. Các nhóm lớn người di chuyển dọc theo đường cao tốc thành một hàng với khoảng thời gian và tốc độ như nhau. Ở nơi nào người đi bộ có nhiều thời gian hơn để băng qua đường: tại giao lộ nơi tốc độ của các nhóm thấp (mặc dù nó vẫn nằm ngang với bình phương tốc độ. Một lực $f$ tác dụng thêm lên quả bóng theo hướng nằm ngang. Thành phần thẳng đứng của tốc độ của quả bóng sẽ là bao nhiêu?

3. Một quả cầu có khối lượng $m$ dưới tác dụng của trọng lực rơi vào chất lỏng với vận tốc không đổi $v$. Lực cản của chất lỏng bóng tỉ lệ với bình phương tốc độ. Một lực $f$ tác dụng thêm lên quả bóng theo phương nằm ngang. Thành phần thẳng đứng của tốc độ của quả bóng sẽ là gì?

4. Một con ruồi đang hót song song với mặt bàn với tốc độ $v$ ở độ cao $H$, thỉnh thoảng nhận thấy có một giọt mật nằm ngay bên dưới nó. Với sự trợ giúp của đôi cánh, ruồi có thể phát triển khả năng tăng tốc theo bất kỳ hướng nào không vượt quá $a$. Trong thời gian tối thiểu một con ruồi có thể lấy được một giọt mật? Không có năng lượng (giả sử nó diễn ra trong không gian).

lớp 9

1. Một người đứng dựa vào tường sao cho lưng và gót chân chạm vào tường. Liệu anh ta có thể mà không bị mất thăng bằng, cúi xuống buộc dây giày mà không nhấc đế sàn lên không?

2. Một vụ nổ dưới nước được thực hiện dưới đáy đại dương nhằm mục đích nghiên cứu. Một hydrophone (máy thu âm thanh) được lắp đặt ở phía dưới, cách vị trí vụ nổ một khoảng,