Ảnh quang học và mặt phẳng xạ ảnh

2

HÌNH ẢNH QUANG HỌC VÀ MẶT BAY CHIẾU

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. N. DUBROVSKY,
Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
Y. A. SMORODINSKY

Hai chủ đề trong tiêu đề có điểm gì chung? Đáp số sẽ rất thú vị, nó cũng sẽ hữu ích. Chúng ta sẽ làm quen với một ví dụ nổi bật về một lý thuyết vật lý được chuyển đổi về cơ bản thành một lý thuyết toán học. Nhiều ngành vật lý đã trải qua sự biến đổi như vậy. Tất cả bắt đầu bằng việc quan sát, giả thuyết và xác minh bằng thực nghiệm. Nhưng khi chủ đề đến hàng ngày, một số mệnh đề cơ bản được kết tinh lại, một loại hành động, từ đó mọi kết quả có thể được suy ra một cách thuần túy logic. Chúng ta đang nói về quang học hình học. Hãy bắt đầu bằng cách nhớ lại cách hình ảnh xuất hiện trong hệ thống quang học. Và hãy kết thúc… Nhưng hãy hoàn thành mọi thứ theo thứ tự.

Hình ảnh và hiển thị

Để hệ thống quang học hoạt động, điều cần thiết là chùm tia sáng phát ra từ một nguồn chính xác (về mặt hình học) sau khi đi qua hệ thống lại biến thành chùm tia trung tâm. Khi đó ảnh của nguồn sẽ xuất hiện ở tâm của chùm tia biến đổi. Hơn nữa, hình ảnh có thể được tạo ra theo hai cách: hoặc bản thân các tia sáng rời khỏi hệ thống quang học sẽ được tập hợp tại một điểm - khi đó chúng nói lên một hình ảnh thật; nó có thể được nhìn thấy bằng cách đặt một màn chiếu phim hoặc phim ảnh ở điểm này (hình 1, a); hoặc các tia ở lối ra khỏi hệ tạo thành chùm tia phân kỳ nhưng phần tiếp theo của chúng đi qua một điểm - khi đó ảnh được gọi là

là tối thiểu, mặc dù nó chính xác là những gì có thể nhìn thấy trực tiếp (hình 1, b). Cuối cùng, nếu chùm tia đi vào hệ thống quang học hội tụ (hình 1, c), thì chúng ta nói về một nguồn tối thiểu. Chất lượng của hệ thống càng cao thì công thức chùm tia càng chính xác. Lý tưởng nhất là mọi nguồn chính xác (thực hoặc tối thiểu) A đều có hình ảnh chính xác $A'$ (cũng thuộc loại này hay loại khác). Một ánh xạ $p$ xuất hiện, liên kết điểm $A$ với điểm $A'$. Vì vậy, chúng tôi sẵn sàng tìm hiểu cách thiết bị hiển thị điều này.

Hãy bắt đầu với “hệ thống quang học” đơn giản nhất - một chiếc gương phẳng. Hầu như không có điều gì cần phải giải thích ở đây: rất rõ ràng rằng ánh xạ $p$ là một sự đối xứng đối với mặt phẳng. Ánh xạ này có thể được xem xét cho tất cả các điểm, bao gồm cả điểm “Qua kính nhìn”: nguồn tối thiểu trong “Qua kính nhìn” tạo ra một ảnh thật ở phía trước gương (hình 2).

Ví dụ thứ hai là sự khúc xạ ánh sáng tại mặt phẳng của hai môi trường. Nói đúng ra, không có hình ảnh nào được tạo ra ở đây. Để các tia thoát ra từ một điểm tạo thành chùm tia trung tâm sau khúc xạ, chúng phải không đổi so với tg $\varphi'$/tg $\varphi$, trong đó $\varphi$ và $\varphi'$ là các góc tạo bởi tia tới và tia khúc xạ với pháp tuyến với mặt phẳng phân cách của hai môi trường (xem hình 3). Nhưng trên thực tế, khúc xạ xảy ra theo định luật Sneglius: sin $\varphi'$/sin $\varphi = k$. Tuy nhiên, đối với các tia gần như vuông góc với ranh giới của môi trường, tức là với các góc nhỏ $\varphi$ và $\varphi'$, các sin trong công thức cuối cùng có thể được sử dụng với độ chính xác cao

3

được thay thế bằng các tiếp tuyến, vì vậy chúng ta vẫn có thể nói về hình ảnh (tối thiểu) và thậm chí nhìn thấy nó bằng cách nhìn vào một bể cá chẳng hạn. Vì hệ số $k$ chỉ phụ thuộc vào phương tiện nên ánh xạ tương ứng $p$ sẽ là một độ giãn từ mặt phẳng giao diện, tức là, mỗi điểm di chuyển vuông góc với mặt phẳng này sao cho khoảng cách của nó với mặt phẳng thay đổi cùng một số lần (cụ thể là nó được chia cho $k$; tại $k > 1$ tên tự nhiên của ánh xạ này là một đoạn đường nối).

Còn thiết bị hiển thị $p$ dành cho các hệ thống quang học phức tạp hơn thì sao? Hóa ra câu hỏi này có thể được trả lời gần như không cần đi sâu vào chi tiết vật lý. Tất cả những gì chúng ta cần là tiến hành từ đầu hình ảnh điểm của bất kỳ nguồn chính xác nào.

Để đơn giản, chúng tôi sẽ đề xuất rằng mọi thứ diễn ra không phải trong không gian mà trên mặt phẳng $a$ - cả nguồn và hình ảnh của chúng đều nằm trên đó.

Trong các ví dụ của chúng ta, nó có thể là bất kỳ mặt phẳng nào vuông góc với bề mặt gương hoặc ranh giới của môi trường, và nếu chúng ta đang xem xét một thấu kính hoặc một hệ thấu kính có trục đối xứng, thì bất kỳ mặt phẳng nào đi qua trục này. Chúng tôi sẽ yêu cầu độ dày của hệ thống của chúng tôi; thì nó có thể được biểu diễn bằng một đường thẳng $l$ trên mặt phẳng $a$, khi gặp nhau các tia bị khúc xạ sao cho chùm tia ở tâm có tâm $A$ lại biến thành chùm tia ở tâm có tâm $A' = p(A)$ (hình 4, a).

Bây giờ chúng ta sẽ thực hiện một lối thoát vào không gian. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có hai trường hợp trùng nhau của mặt phẳng $a$. Đầu tiên chúng ta sẽ đánh dấu các nguồn, thứ hai - hình ảnh của chúng. Hãy xoay bản sao thứ hai cùng với tất cả các hình ảnh xung quanh trục $l$ (hình 4, b) - chúng ta có được mặt phẳng $a_1$. Chúng ta hãy lấy một điểm tùy ý $A$, đánh dấu hình ảnh của nó $A'$ và điểm tương ứng $A_1$ trong mặt phẳng $a_1$. Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi thứ

Hình 1. Hai vòng nguồn sáng và hình ảnh của chúng: a - nguồn và hình ảnh là thật; b - nguồn thực, hình ảnh tối thiểu; c—nguồn tối thiểu.

Hình 2. Sự phản chiếu trong gương của các nguồn thực ($A$) và tối thiểu ($B$).

Hình 3. Để chùm tia trung tâm giữ được vị trí trung tâm tốt hơn sau khi khúc xạ thì định luật khúc xạ phải có dạng $tg\varphi'/tg\varphi = \text{const}$.

4

Hình 4. Sử dụng quyền truy cập vào không gian, xây dựng hình ảnh đối diện với các thuộc tính đối với hình chiếu trung tâm.

Hình 5. Hướng tới chứng minh sự tồn tại của tâm chiếu.

các đường thẳng AA₁ sẽ song song hoặc cắt nhau tại một điểm.

Lưu ý rằng bốn điểm A, B, A₁ và B₁ luôn nằm trong cùng một mặt phẳng, vì một tia sáng truyền qua A và B sau khi khúc xạ trên đường thẳng l sẽ đi qua A’ và B’ (hình 4, 6); do đó các đường thẳng AB và A₁B₁ cũng cắt nhau. (Nếu đường thẳng AB song song với l thì dễ hiểu là đường thẳng A₁B₁ cũng song song với l.) Do đó, các đường thẳng AA₁ và BB₁ luôn song song hoặc cắt nhau. Giả sử rằng không phải tất cả các đường thẳng như vậy đều song song, ví dụ AA₁ cắt với BB₁ tại điểm P. Đối với bất kỳ điểm C nào nằm ngoài đường thẳng AB, đường thẳng CC₁ nằm trong cùng một mặt phẳng với AA₁ và trong cùng một mặt phẳng với BB₁ (hình 5). Do đó, nó là giao tuyến của các mặt phẳng này và do đó đi qua điểm chung P. Đối với các điểm nằm trên AB, chứng minh thực hiện tương tự, chỉ thay cặp điểm A, B bằng A, C, trong đó C không thuộc AB.

Tuyên bố đã được chứng minh có thể được phát biểu lại như sau: ánh xạ p₁, ánh xạ của điểm A lên mặt phẳng α tương ứng với điểm A₁ với mặt phẳng α₁, là một hình chiếu song song hoặc hình chiếu tâm.

Rõ ràng là trong các ví dụ về sự phản xạ gương và

5

ánh xạ khúc xạ $p_1$ là một phép chiếu song song. Nhưng trong trường hợp thấu kính, không thể xuất hiện hình chiếu song song, nếu chỉ vì với hình chiếu như vậy, các đường thẳng song song biến thành đường thẳng song song và thấu kính, như đã biết, hội tụ các tia song song vào một điểm. Do đó, đối với một thấu kính và các hệ quang học khác biến đổi các tia song song thành các tia ở tâm, ánh xạ $p_1$ là phép chiếu tâm. Và vì tất cả đều thẳng $A_1A'$ do cấu tạo của chúng ta song song với nhau nên chúng ta có thể kết luận rằng phép biến đổi $p$ của mặt phẳng mô tả ảnh trong thấu kính là sự hợp thành của phép chiếu tâm $(A \rightarrow A_1)$ và phép chiếu song song $(A_1 \rightarrow A')$. Đối với một thiết bị quang học bao gồm một số thấu kính và gương, màn hình $p$ sẽ là sự kết hợp của một số hình chiếu trung tâm và song song. Theo định nghĩa, các ánh xạ như vậy được gọi là xạ ảnh.

Công thức chiếu tâm và thấu kính

Trước khi gặt hái thành quả từ các công trình của chúng tôi liên quan đến ống kính, chúng tôi sẽ thực hiện một đặt trước quan trọng. Các tia phát ra từ một nguồn được thấu kính hội tụ đến một điểm trên thấu kính khi chúng truyền xuống từ trục quang chính (một đường thẳng vuông góc với thấu kính qua tâm của nó). Chúng tôi cho phép lý tưởng hóa bằng cách xem xét ánh xạ $p$ trên toàn bộ mặt phẳng. Nhưng sự thật không phải chịu đựng điều này, bởi vì tất cả lý luận của chúng ta có thể được lặp lại với cùng một thành công cho bất kỳ diện tích nào, dù nhỏ đến đâu, trên mặt phẳng.

Vì vậy, hãy áp dụng cách xây dựng của chúng ta cho ống kính. Đặt $a$ là trục quang chính của nó, $a_1$ đường thẳng tương ứng trong mặt phẳng $a_1$, $P$ tâm của hình chiếu $p_1$. Rõ ràng là tất cả các đường thẳng song song với $a$, với phép chiếu này sẽ biến thành các đường thẳng đi qua cùng một điểm $F_1$ của đường thẳng $a_1$ (hình 6) - hình chiếu song song của điểm $P$ lên mặt phẳng $a_1$ dọc theo đường thẳng $a$. Do đó, một chùm tia song song với trục chính, đi qua thấu kính, hội tụ tại điểm $F'$ của trục chính (hình 7), tương ứng với điểm $F_1$: $OF' = OF_1$, trong đó $O$ là tâm của thấu kính. Tương tự, các tia ló ra từ điểm $F$ - hình chiếu $P$ lên mặt phẳng $\alpha$ dọc theo đường thẳng $a_1$, đi qua thấu kính sẽ song song với trục chính. Các điểm $F$ và $F_1$ được gọi là tiêu điểm của thấu kính. Có thể chứng minh rằng đối với một hệ thấu kính đơn thì tiêu cự $f = OF$ và $f' = OF'$ là như nhau; đối với các hệ thống phức tạp hơn, chúng có thể khác nhau.

Biết vị trí của tiêu điểm, người ta dễ dàng tạo ảnh của bất kỳ điểm $A$ nào không nằm trên trục chính bằng cách đi theo hai tia xuất phát từ nó - một tia song song với trục và một tia đi qua tiêu điểm $F$ (hình 8). Công trình này được nhiều người biết đến. Hãy để chúng tôi nhấn mạnh một lần nữa rằng chúng tôi nhất thiết phải đạt được điều đó, về cơ bản chỉ dựa trên “định đề về hình ảnh dấu chấm” của chúng tôi. hình 8 cho thấy cách tạo ảnh của điểm $B$ trên trục chính. Ở đây, chúng ta lợi dụng thực tế là hình ảnh của đường thẳng $AB$, vuông góc với trục này, là đường thẳng $A'B'$, cũng vuông góc với nó, một thực tế hiển nhiên khi xem xét hình chiếu trung tâm của chúng ta. Các đặc tính khác của hình ảnh được tạo bởi một đường lý tưởng cũng có thể dễ dàng được thiết lập bằng cách sử dụng phép chiếu tâm.

6

Zoy. Ví dụ, rõ ràng là ảnh của bất kỳ đường thẳng nào cũng sẽ là một đường thẳng (hãy thử chứng minh điều này bằng cách sử dụng cấu trúc phi tổng thể hình 8!). Đúng, nói đúng ra, tính chất này thỏa mãn với một ngoại lệ: đường thẳng đi qua tiêu điểm $F$ vuông góc với trục chính không được mô tả theo bất kỳ cách nào, bởi vì các tia phát ra từ bất kỳ điểm nào của nó đều được thấu kính chuyển đổi thành các tia song song. Chúng ta sẽ quay lại nhận xét quan trọng này sau.

Khoảng cách $r=OA$ và $r'=OA'$ có liên quan như thế nào từ tâm thấu kính $O$ đến điểm $A$ trên trục chính và ảnh của nó $A'$? Và ở đây có thể dễ dàng thu được đáp số bằng cách sử dụng phép chiếu trung tâm. Từ hình9 rõ ràng là

$$\frac{OF}{OA} + \frac{OF'}{OA'} = \frac{OF}{OA} + \frac{OF_1}{OA_1} =$$

$$= \frac{A_1P}{A'A} + \frac{PA}{A'A} = \frac{A'A}{A'A} = 1,$$

tức là

$$\frac{f}{r} + \frac{f'}{r'} = 1.$$

Đặc biệt, tại $f=f'$ cái gọi là “công thức thấu kính” $1/r+1/r'=1/f$ được thỏa mãn. Những đẳng thức này vẫn có hiệu lực đối với điểm $A$ trên đoạn $OF$ và trên tia $OF'$, nếu chúng ta coi tất cả các đoạn đều có hướng và các đại lượng $r$ và $r'$ là tọa độ của các điểm $A$ và $A'$ trên trục chính với điểm bắt đầu là điểm $O$. Trong trường hợp này, đã thu được kết quả tích cực

Hình 8. Xây dựng hình ảnh theo tiêu điểm.

Hình 9. $f/r+f'/r'=1$ (công thức thấu kính).

Hình 10. Công thức thấu kính đúng cho mọi vị trí của nguồn trên trục quang chính.

7

chọn khác nhau: đối với điểm $A$ - tia $OF$ và đối với hình ảnh $A'$ - tia $OF'$. Khi đó, các giá trị dương $r$ và $r'$ sẽ tương ứng với các nguồn và hình ảnh thực, còn các giá trị được in sẽ tương ứng với mức tối thiểu (hình 10).

Công thức (1) có thể được làm gọn hơn bằng cách di chuyển phần đầu của báo cáo trên “trục nguồn” đến tiêu điểm $F$ và trên “trục hình ảnh” đến $F'$. Bằng cách che chắn $r=f+x$, $r'=f'+x'$ trong (1) (xem hình 9), sau các phép biến đổi đơn giản, chúng ta thu được

$$xx'=ff'$$

• công thức này đã được Newton biết đến. TRÊN hình 11 nó đã được chứng minh $x>0$ không chắc chắn; bằng chứng tương tự cho các giá trị khác $x$ Chúng tôi sẽ để lại cho người đọc.

Thiết kế chuyển đổi tỷ lệ trực tiếp và gấp đôi

Hãy biểu diễn tọa độ ảnh thông qua tọa độ nguồn theo công thức (1) và (2):

$$r'=\frac{f'r}{r-f}$$ hoặc $x'=\frac{ff'}{x}$.

Trong cả hai trường hợp, phép biến đổi tọa độ được viết dưới dạng hàm tuyến tính phân số, tức là hàm có dạng $y=(ax+b)/(cx+d)$. Ngược lại, viết lại đẳng thức cuối cùng dưới dạng

$$\frac{S}{S'}=\frac{x x'}{f f'}$$

Hình 11. Dẫn xuất công thức thấu kính ở ong bắp cày $x$ và $x'$.

$$\left(y-\frac{a}{c}\right)\left(x+\frac{d}{c}\right)=\frac{bc-ad}{c^2},$$

Tương tự như (2), chúng tôi tin rằng bất kỳ hàm tuyến tính phân đoạn nào không phải là tuyến tính ($c\neq 0$) và hằng số ($bc-ad\neq 0$) đều có thể được biểu diễn về mặt hình học dưới dạng hình chiếu tâm của một trục tọa độ lên một trục tọa độ khác với các trục và tâm tương ứng của hình chiếu ở trên.

Các phép chiếu song song, nói một cách dễ hiểu, được biểu thị bằng các hàm tuyến tính $y=ax+b$. Và vì thành phần của bất kỳ hàm tuyến tính và hàm tuyến tính phân số nào cũng sẽ là hàm tuyến tính phân đoạn $^*$), nên bất kỳ phép biến đổi xạ ảnh nào của một đường thẳng đều được biểu thị bằng tọa độ bằng hàm tuyến tính phân đoạn.

Nhân tiện, từ đây, theo đó, sự biến đổi thiết kế của một đường thẳng hoàn toàn được xác định bởi hình ảnh của ba điểm. Thật vậy, bằng cách sử dụng tọa độ của các điểm này và ảnh của chúng, ba phương trình được biên soạn cho các hệ số $a$, $b$, $c$, $d$ tương ứng với hàm phân số tuyến tính. Do đó, các hệ số sẽ được chỉ định cho đến số nhân và bản thân hàm sẽ được chỉ định duy nhất. Theo cách tương tự, biết tọa độ của hai điểm $A$, $B$ và hình ảnh của chúng $A'$, $B'$ dưới phép chiếu song song, chúng ta có thể tìm thấy hàm tuyến tính tương ứng và với sự trợ giúp của nó, hình ảnh $C'$ của bất kỳ điểm nào khác $C$. Tuy nhiên, điểm $C'$ có thể được xây dựng theo cách đơn giản hơn nhiều: với phép chiếu song song, mối quan hệ trong đó điểm chia đoạn thẳng không thay đổi hoặc bất biến, do đó $A'C':C'B'=AC:CB$. (Ở đây và bên dưới, chúng tôi giả định rằng các phân đoạn có hướng; đẳng thức $AC:CB=k$ có ​​nghĩa là $\vec{AC}=k\vec{CB}$.) Hình chiếu trung tâm không bảo toàn mối quan hệ $AC:CB$; bãi quây bảo tồn mối quan hệ của hai mối quan hệ như vậy. Đại lượng này được gọi là tỷ lệ kép của bốn điểm, ký hiệu là ABCD và bằng định nghĩa

$$\left(ABCD\right)=\frac{AC}{CB}:\frac{AD}{DB}.$$

*) Hàm tuyến tính là trường hợp đặc biệt của hàm tuyến tính phân số.

8

Để chứng minh tính bất biến của quan hệ kép, xét các đường thẳng a, b, c, d đi qua điểm chung P (hình 12) và một đường thẳng l tùy ý cắt chúng tại các điểm A, B, C, D. Ta hãy kiểm tra xem $(ABCD) = A_1C_1/B_1C_1$, trong đó A_1, B_1, C_1 là giao điểm của đường thẳng l_1, song song với d, với a, b và c. Rõ ràng, tỷ số A_1C_1/B_1C_1 là như nhau đối với tất cả các đường thẳng như vậy, vì vậy chúng ta có thể giả sử rằng l_1 đi qua C, tức là C_1 = C. Từ sự giống nhau của các tam giác mà người đọc có thể dễ dàng tìm thấy trên hình 12, chúng ta có

$$\frac{AC}{AD} = \frac{A_1C}{PD}, \quad \frac{CB}{DB} = \frac{B_1C}{PD}.$$

Sau đó

$$\frac{AC}{CB} : \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{AD} : \frac{CB}{DB} = \frac{A_1C}{PD} : \frac{B_1C}{PD} = \frac{A_1C}{B_1C} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1}.$$

Vì vậy, đối với các đường thẳng a, b, c, d cho trước, quan hệ kép $(ABCD)$ không phụ thuộc vào đường thẳng l, nghĩa là nó được bảo toàn dưới hình chiếu tâm.

Bây giờ chúng ta biết ảnh A’, B’ và C’ của các điểm A, B, C dưới một phép biến đổi nào đó. Khi đó, ảnh D’ của bất kỳ điểm D nào khác được tìm thấy từ sự tương ứng $(A'B'C'D') = (ABCD)$ hoặc $A'D'/D'B' = (ABCD) \cdot (A'C'/C'B')$. Nếu chúng ta viết các đẳng thức này theo tọa độ, chúng ta sẽ nhận được một xác nhận khác rằng phép biến đổi xạ ảnh được biểu thị bằng hàm phân số tuyến tính, đồng thời tìm thấy phương thức cho hàm này. Như một bài tập, mời người đọc kiểm tra bằng phép tính trực tiếp tính bất biến của quan hệ kép đối với các hàm tuyến tính và các hàm 1/x, và do đó, bất kỳ hàm tuyến tính phân số nào (vì bất kỳ hàm tuyến tính phân số nào cũng là một hàm phức!).

Chúng ta hãy quay trở lại thấu kính một lần nữa, phép biến đổi xạ ảnh p tương ứng của trục quang chính của nó và biểu thức phân tích của nó - công thức thấu kính. Hóa ra công thức này cũng có thể được rút ra bằng cách sử dụng mối quan hệ kép. Hãy tưởng tượng rằng một điểm xa vô hạn tưởng tượng U được thêm vào trục chính, tọa độ của nó sẽ bằng ∞. Điều kiện để mọi đường thẳng song song với trục đều đi qua điểm này. Khi đó nó được coi là ảnh của hàm F và ảnh của chính nó sẽ là hàm F’ thứ hai. Vì vậy, chúng ta biết ba điểm sẽ đi về đâu khi biến đổi p: tâm của thấu kính - p(O) = O, hàm số - p(F) = U và điểm ở xa vô hạn - p(U) = F’. tọa độ của các điểm O, F, F’ và U lần lượt bằng 0, f, f’ và ∞. Nếu r và r’ là tọa độ của điểm A và ảnh A’ của nó thì

$$(OFUA) = \frac{\infty - 0}{f - \infty} : \frac{r - 0}{f - r} = -\frac{f - r}{r} = 1 - \frac{f}{r},$$

$$(OUF'A') = \frac{f' - 0}{\infty - f} : \frac{r' - 0}{\infty - r'} = \frac{f'}{r'}.$$

Đánh đồng các biểu thức này (tỷ lệ kép được giữ nguyên!), chúng ta thu được công thức thấu kính. Thật dễ dàng để chứng minh tính đúng đắn của bộ ba này: bạn chỉ cần đi đến giới hạn trong đẳng thức $(OBCA) = (OB'C'A')$ là B→F, OC→∞. Tuy nhiên, trong phần tiếp theo, chúng ta thấy rằng việc bổ sung một điểm xa vô hạn có ý nghĩa sâu sắc và việc quy kết không phải là một sự chấp nhận thuần túy hình thức, một ranh giới với sự thần bí.

(Về phần kết, xem số 10)