Оптическое изображение и проективная плоскость

2

ОПТИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ И ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ

Кандидат физико-математических наук
В. Н. ДУБРОВСКИЙ,
доктор физико-математических наук
Я. А. СМОРОДИНСКИЙ

Что общего между двумя темами, вынесенными в заглавие? Ответ будет интересным, он будет также и полезным. Мы познакомимся с ярким примером физической теории, превращенной, по существу, в математическую. Такое превращение претерпели многое разделы физики. Все начинается с наблюдения, гипотез, с их экспериментальной проверки. Но по мере поступления сутки предмета выкристаллизовается несколько основных предложок, своего рода поступатов, из которых все результаты можно вывести уже чисто логическим путем. У нас reчь поддет о геометрической оптике. Начнем с того, что вспомним, как возникает изобравжение в оптической системе. А кончием… Но рассакjem все по порядку.

Изобравжения и отобравжения

Для того чтобы оптическая система работала, необходимо, чтобы пучок лучей света, исходящих из точного источника (в геометрической центральным), после прохождения системы снова превращался в центральный пучок. Тогда в центре преобразованного пучка возникнет изобравжение источника. Причем изобравжение может создавать двумя путями: либо сами лучи света, выходя из оптической системы, собираются в одну точку — тогда говорят о действительном изобравении; его можно выидеть, помещив в эту точку киноэкран или фотопленку (рис. 1, а); либо лучи на выходе из системы образуют расходящийся пучок, но их продолжения проходят через одну точку — тогда изобравжение называется

вается минимым, хотя его-то как раз и можно видеть непосредственно (рис. 1, б). Наконец, если пучок лучей, поступающий в оптическую систему, является сходящимся (рис. 1, с), то говорят о минимом источнике. Чем выше качество системы, тем точнее формулу пучки лучей. В идеале каждый точный источник (действительный или минимый) А имеет точное изобравжение $A'$ (также того или другого типа). Возникает отобравжение $p$, сопоставляющее точке $A$ точку $A'$. Вот мы и поставляемся выяснить, как устройство это отобравжение.

Начнем с простейшей «оптической системы» — плоского зеркала. Едва ли здесь что-то нужно обьясить: оченьindo, что отобравжение $p$ является симметрией относительно плоскости. Это отобравжение можно рассматривать для всех точек, в том числе и для точки «Зазеркалья»: минимый источник в «Зазеркалье» создает действительное изобравжение перед зеркалом (рис. 2).

Второй пример — преломление света на плоской границе двух сред. Строго говора, здесь изобравжение не создается. Чтобы лучи, выпущенные из одной точки, образованы после преломления центральный пучок, для них должны быть постоянно относительно тg $\varphi'$/tg $\varphi$, где $\varphi$ и $\varphi'$ — углы, составляемые падающим и преломленным лучом с нормалью к плоскости раздела сред (см. рис. 3). А в действительности преломление происходит по закону Снеглиуса: sin $\varphi'$/sin $\varphi = k$. Однако для лучей, почти перpendикулярных границ сред, т. е. с малыми углами $\varphi$ и $\varphi'$, синусы в последней формуле можно с большой точностью

3

заменить на тангенсы, поэтому мы все же можем говорить об изобравении (минимом) и даже увидеть его, заглянув, например, в аквариум. Поскольку коэффициент $k$ зависит только от сред, соответствующей отображение $p$ будет растяжением от плоскости раздела, т. е. каждый точка перемещается перpendикularно этой плоскости так, что ее расстояние до плоскости изменяется в одно и то же число раз (а именно, делится на $k$; при $k > 1$ естественное название этого отображения скатцем).

А как устройство отображение $p$ для более сложных оптических систем? Оказывается, ответить на этот вопрос можно почти не вдаваться в физические детали. Все, что нам необходимо, — это поступировать начиные точечного изобравения любого точного источника.

Для простоты мы предложим, что все происходит не в пространстве, а на плоскости $a$ — на ней расположены и источники, и их изобравения.

В наших примерах его могла бы быть любая плоскость, перpendикularная поверхности зеркала или границе сред, а если рассматривается линза или система линз, имеющие ось симметрики, — любая плоскость, проходящая через эту ось. Толщиной нашей системы мы претензем; тогда ее можно изобраться прямой линии $l$ на плоскости $a$, при встрече с которой лучи преломляются так, что центральный пучок с центром $A$ преобразуется снова в центральный пучок с центром $A' = p(A)$ (рис. 4, а).

Тепер мы совершим выход в пространство. Представим, что у нас имеется два совпадающих экземпляра плоскости $a$. На первом будем отмечать источники, на втором — их изображения. Повернем второй экземпляр вместе со всеми изобравениями вокруг оси $l$ (рис. 4, б) — получится плоскость $a_1$. Возьмем произвольную точку $A$, отметим ее изобравнение $A'$ и соответствующую точку $A_1$ в плоскости $a_1$. Сейчас мы докажем, что все

Рис. 1. Два гита источников света и их изобравений: а — источник и изобравение действительные; б — источник действительный, изобравение минимое; в — минимый источник.

Рис. 2. Отражение в зерке дейстентного ($A$) и минимого ($B$) источников.

Рис. 3. Для того чтобы центральный пучок лучше после преломления оставался центральным, закон преломления должен быть иметь вид $tg\varphi'/tg\varphi = \text{const}$.

4

Рис. 4. С помощью выхода в пространство построение изображения в лице свойства к центральной проекции.

Рис. 5. К доказательству существования центра проекции.

прямы AA₁ будут либо паралельны, либо будут пересекаться в одной точке.

Заметим, что четыре точки A, B, A₁ и B₁ всегда лежат в одной плоскости, ведь луч света, проходящий через A и B, после преломления на прямой l пройдет через A’ и B’ (рис. 4, 6); поэтому прямые AB и A₁B₁ тоже пересекаются. (Если же прямая AB паралельна l, то, как легко понять, прямая A₁B₁ тоже паралельна l.) Следовательно, прямые AA₁ и BB₁ всегда либо паралельны, либо пересекаются. Допустим, что не все такие прямые паралельны, например AA₁ пересекается с BB₁ в точке P. Для любой точки C вне прямой AB прямая CC₁ лежит в одной плоскости с AA₁ и в одной плоскости с BB₁ (рис. 5). Поэтому она является прямой пересечения этих плоскостей, а значит, проходит через их общую точку P. Для точек, лежащих на AB, доказательство проводится аналогично, только пару точек A, B надо заменить на A, C, где C не лежит на AB.

Доказанное утверждение можно переформулировать следующим образом: отображение p₁, сопоставление точки A плоскости α соответствующего точку A₁ плоскости α₁, является паралельной или центральной проекцией.

Ясно, что в рассмотренных нами примерах зеркального отражения и

5

преломления отображение $p_1$ — это паралельная проекция. Но в случае линзы паралельная проекция уже возникнуть не может, хотя бы потому, что при такой проекции паралельные прямы переходят в паралельные, а линза, как известно, фокусирует паралельные лучи в точку. Поэтому для линзы и других оптических систем, превращающих паралельные лучки в центральные, отображение $p_1$ является центральной проекцией. А поскольку все прямы $A_1A'$ в силу нашего построения паралельных друг другу, можно сделать вывод, что преобразование $p$ плоскости, описывающее изображение в линze, является композицией центральной проекции $(A \rightarrow A_1)$ и паралельной проекции $(A_1 \rightarrow A')$. Для оптических прибора, состоящих из нескольких линз и зеркал, отображение $p$ будет композицией нескольких центральных и паралельных проекций. По определению, такие отображения называются проективными.

Центральная проекция и формула линзы

Прежде чем пожинать плоды наших построений применительно к линze, сделаем существенную оговорку. Лучи, выпущенные из одного источника, фокусируются линзой в точку линзы тогда, когда они проходят внизи от главной оптической оси (прямой, проходящей перpendикулярно к линze через ее центр). Мы допускаем идеализацию, рассматривая отображение $p$ на всей плоскости. Но истина от этого нестрадает, потому что все наши рассуждения можно с тем же успехом повторить и для любой, даже сколь годно малой области на плоскости.

Итак, применим к линze нашей построение. Пусть $a$ — ее главная оптическая ось, $a_1$ — соответствующая ей пряма в плоскости $a_1$, $P$ — центр проекции $p_1$. Ясно, что все прямы, паралельные $a$, при этой проекции перейдет в прямы, проходящие через одну и ту же точку $F_1$ прямой $a_1$ (рис. 6) — паралельную проекцию точки $P$ на плоскость $a_1$ вдоль прямой $a$. Следовательно, лучок лучей, паралельных главной оси, пройдя линзу, coincается в точке $F'$ главной оси (рис. 7), соответствующей точке $F_1$: $OF' = OF_1$, где $O$ — центр линзы. Аналогично, лучи, выходящие из точки $F$ — проекции $P$ на плоскость $\alpha$ вдоль прямой $a_1$, пройдя линзу, становится паралельными главной оси. Точки $F$ и $F_1$ называются фокусами линзы. Можно dokазать, что для системы из одной линзы фокусные расстояния $f = OF$ и $f' = OF'$ одинаковы; для более сложных систем они могут быть различны.

Зная положение фокусов, легко построить изображение любой точки $A$, не лежащей на главной оси, проследив за двумя исходными из нее лучами — лучом, паралельным оси, и лучом, проходящим через фокус $F$ (рис. 8). Это построение хорошо известно. Подчеркием еще раз, что мы с необходимостью пришли к нему, основываясь по сути дела только на нашем «постулате о точечном изображении». На рисунке 8 показано, как строится изображение точки $B$ на главной оси. Здесь мы пользовемся тем, что изображением прямой $AB$, перpendикулярной этой оси, является прямой $A'B'$, также ей перpendикулярная, — факт, очевидный из рассмотрения нашей центральной проекции. Столь же просто устанавливаются с помощью центральной проекции и другие свойства изображения, создаваемых идеальной лин-

6

Зой. Ясно, например, что изображением любой прямой будет прямая (попробуйте доказать это, пользовясь непредседательно построением рисунка 8!). Правда, строго говоря, это свойство выполняется с одним исключением: прямая, проходящая через фокус $F$ перpendикулярно главной оси, никак не изображается, потому что лучи, выходящие из любой ее точки, преобразуют линзой в параллельные. К этому важному замечанию мы еще вернемся.

Как связаны расстояния $r=OA$ и $r'=OA'$ от центра линзы $O$ до точки $A$ на главной оси и до ее изображения $A'$? И здесь ответ легко получается с помощью центральной проекции. Из рисунка 9 видно, что

$$\frac{OF}{OA} + \frac{OF'}{OA'} = \frac{OF}{OA} + \frac{OF_1}{OA_1} =$$

$$= \frac{A_1P}{A'A} + \frac{PA}{A'A} = \frac{A'A}{A'A} = 1,$$

т. е.

$$\frac{f}{r} + \frac{f'}{r'} = 1.$$

В частности, при $f=f'$ выполняется так называемая «формула линзы» $1/r+1/r'=1/f$. Эти равенства остаются в силу и для точки $A$ на отрезке $OF$ и на луче $OF'$, если считать все отрезки направлеными, а величины $r$ и $r'$ — координатами точки $A$ и $A'$ на главной оси с началом в точке $O$. При этом положительное получено

Рис. 8. Построение изображения по фокусам.

Рис. 9. $f/r+f'/r'=1$ (формула линзы).

Рис. 10. Формула линзы верна при любом положении источника на главной оптической оси.

7

выбрать по-разному: для точек $A$ — луч $OF$, а для изображений $A'$ — луч $OF'$. Тогда положительные значения $r$ и $r'$ будут отвечать действительным источникам и изображениями, а отпечатные — минимум (рис. 10).

Формулу (1) можно сделать более компактной, перенесая начало отчета на «оси источников» в фокус $F$, а на «оси изображений» — в $F'$. Полягая в (1) $r=f+x$, $r'=f'+x'$ (см. рис. 9), после простых преобразований получим

$$xx'=ff'$$

— эта формула была известна еще Ньютону. На рисунке 11 она доказывается для $x>0$ неопределенно; аналогичное доказательство для других значений $x$ предоставим читателю.

Проектные преобразования прямой и двойное отношение

Выразим в формулах (1) и (2) координату изображения через координату источника:

$$r'=\frac{f'r}{r-f}$$ или $x'=\frac{ff'}{x}$.

В обихх случае преобразование координаты записывается дробно-линейной функцией, т. е. функцией вида $y=(ax+b)/(cx+d)$. Обратно, переписав последнее равенство в виде

$$\frac{S}{S'}=\frac{x x'}{f f'}$$

Рис. 11. Вывод формулы линзы в осах $x$ и $x'$.

$$\left(y-\frac{a}{c}\right)\left(x+\frac{d}{c}\right)=\frac{bc-ad}{c^2},$$

анаалогичном (2), убеждаемся, что любую дробно-линейную функцию, отличную от линейной ($c\neq 0$) и от постоянной ($bc-ad\neq 0$), можно геометрически представить как центральную проекцию одной координатной оси на другую при соответствующем выше осей и центра проекции.

Параллельные проекции, как легко понять, выражаются линейными функциями $y=ax+b$. А поскольку композиция любого числа линейных и дробно-линейных функций снова будет дробно-линейной функцией $^*$), всякое проективное преобразование прямой выражается в координатах дробно-линейной функцией.

Отсюда, между прочим, следует, что проектное преобразование прямой полностью определяется образами трех точек. Действительно, по координатам этих точек и их образов составляются три уравнения на коэффициенты $a$, $b$, $c$, $d$ соответствующую дробно-линейной функции. Тем самым коэффициенты будут заданы с точностью до множителей, а сама функция — однозначно. Точно так же, зная координаты двух точек $A$, $B$ и их образов $A'$, $B'$ при параллельной проекции, мы могли бы найти соответствующую линейную функцию, а с ее помощью — и образ $C'$ любой другой точки $C$. Однако точку $C'$ можно построить гораздо прошее: при параллельной проекции отношение, в котором точка делит отрезок, остается неизменным, или инвариантным, поэтому $A'C':C'B'=AC:CB$. (Здесь и ниже мы считаем отрезки направлены; равенство $AC:CB=k$ означает, что $\vec{AC}=k\vec{CB}$.) Центральная проекция не сохраняет отношение $AC:CB$, загона сохраняет отношение двух таких отношений. Эта величина называется двойным отношением четырех точек, обозначается (ABCD) и равна по определению

$$\left(ABCD\right)=\frac{AC}{CB}:\frac{AD}{DB}.$$

*) Линейная функция — это частный случай дробно-линейной.

8

Чтобы доказать инвариантность двойного отношения, рассмотрим прямые a, b, c, d, проходящие через общую точку P (рис. 12) и произвольную прямую l, пересекающую их в точках A, B, C, D. Проверим, что $(ABCD) = A_1C_1/B_1C_1$, где A_1, B_1, C_1 — точки пересечения прямой l_1, параллельной d, с a, b и c. Очевидно, отношения A_1C_1/B_1C_1 одинаково для всех таких прямых, поэтому можно считать, что l_1 проходит через C, т. е. C_1 = C. Из подобия треугольников, которые читатель легко найдет сам на рисунке 12, имеем

$$\frac{AC}{AD} = \frac{A_1C}{PD}, \quad \frac{CB}{DB} = \frac{B_1C}{PD}.$$

Позатем

$$\frac{AC}{CB} : \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{AD} : \frac{CB}{DB} = \frac{A_1C}{PD} : \frac{B_1C}{PD} = \frac{A_1C}{B_1C} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1}.$$

Итак, для данных прямых a, b, c, d двойное отношение $(ABCD)$ не зависит от прямой l, а значит, оно сохраняется при центральной проекции.

Пусть теперь нам известны образы A’, B’ и C’ точек A, B, C при некотором преобразовании. Тогда образ D’ любой другой точки D находится из соответствия $(A'B'C'D') = (ABCD)$ или $A'D'/D'B' = (ABCD) \cdot (A'C'/C'B')$. Если записать эти равенства в координатах, мы получим еще одно подтверждение того, что проективное преобразование выражается дробно-линейной функцией, и одновременно способ находится этой функции. В качестве упражнения читатель предлагается прямым вычислением проверить инвариантность двойного отношения относительно линейных функций и функций 1/x, а значит, и любой дробно-линейной функции (ибо любая дробно-линейная функция — комплексная также функция!).

Вернемся еще раз к линзе, соответствующему проективному преобразованию p ее главной оптической оси и его аналитической выражению — формуле линзы. Оказывается, и эту формулу можно вывести с помощью двойного отношения. Представим, что к главной оси добавлена воображаемая бесконечную удаленная точка U, координату которого будет равной ∞. Условия, что через эту точку проходят все прямые, параллельные оси. Тогда ее нужно рассматривать как изображение функции F, а ее собственным изображением будет второй функцией F’. Итак, мы знаем, куда переходит при преобразовании p три точки: центр линзы — p(O) = O, функция — p(F) = U и бесконечную удаленная точка — p(U) = F’. координаты точки O, F, F’ и U равны, соответственно, 0, f, f’ и ∞. Если r и r’ — координаты точки A и ее образа A’, то

$$(OFUA) = \frac{\infty - 0}{f - \infty} : \frac{r - 0}{f - r} = -\frac{f - r}{r} = 1 - \frac{f}{r},$$

$$(OUF'A') = \frac{f' - 0}{\infty - f} : \frac{r' - 0}{\infty - r'} = \frac{f'}{r'}.$$

Приравнивая эти выражения (двойное отношение сохраняется!), получаем формулу линзы. Обосновать законность этих триоков легко: надо просто перейти в равенстве $(OBCA) = (OB'C'A')$ к пределу при B→F, OC→∞. Однако в следующем разделе мы видим, что добавление бесконечного удаленной точки имеет глубокий смысл, а относить не является чисто формальным примем, граница с мстификацией.

(Окончание см. в № 10)