[К читателям журнала]

57

ходящее через одну точку. Докажите, что эта точка является ортостером треугольника с вершинами во вторых точках попарного пересечения данных окружностей.

Решение. Пусть $H$ — общая точка трех окружностей, $A, B$ и $C$ — вторые точки их попарных пересечений (рис. 8). Поскольку окружность, проходящая через $B, C$ и $H$, симметрина окружности, описанной около $ABH$, она содержит точку пересечения высот треугольника $ABH$. Точно так же, окружность, проходящая через точки $A, C, H$, содержит точку пересечения высот треугольника $ABH$. Следовательно, $C$ — точка пересечения высот треугольника $ABH$.

Задание для самостоятельного решения

1. На плоскости даны точки $A, B, C$ и $D$ такие, что $\angle ABC = \angle ADC, \angle BCD = \angle BAD$. Обязательно ли четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом?

2. Дан треугольник $ABC$. Найдите все такие точки $M$ плоскости, что $ABM, BCM$ и $CAM$ — равновеликие треугольники.

3. Докажите, что если отрезки $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ ($A_1, B_1$ и $C_1$ лежат соответственно на сторонах $BC, CA$ и $AB$ треугольника $ABC$) пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в одном и том же отношении, то эти отрезки являются медианными треугольниками.

4. Внутри квадрата $ABCD$ взята точка $M$ такая, что $\angle MBD = \angle MDC = \alpha$. Найдите $\angle MAD$.

5. Докажите, что если произвольная прямая, проходящая через фиксированную точку внутри данного треугольника, делит его перimeter и площадь в равном отношении, то данная фиксированная точка является центром вписанной в треугольник окружности.

6. Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Известны углы: $\angle BCA = 40^\circ, \angle BAC = 50^\circ, \angle BDA = 20^\circ, \angle BDC = 25^\circ$. Найдите угол между диагонали данного четырехугольника.

7. Пусть $M$ — произвольная точка плоскости, $a, b, c$ — стороны треугольника $ABC$ ($BC = a, CA = b, AB = c$). Докажите, что имеет место неравенство $aMA^2 + bMB^2 + cMC^2 \geq abc$. Для каждой точки плоскости имеет место равенство?

8. Дан остроугольный треугольник $ABC$. Найдите геометрическое место точек $M$ таких, что $\angle MAB = \angle MCB, \angle MAC = \angle MBC$.

Уважаемые читатели!

Серодняя мы еще раз обращаемся к вам с просьбой: пожалуйста, дополните за годовую подписку на текущий год.

Воспомним предыдущую. Разрешение на увеличение объема «Кванта» (о расширенении рамок журнала недократно просили наши читатели) было получено осенью прошло года, когда часть подпискиков уже оформила подписку. Перед редакцией встала диелемма — либо подо-ждать до 1990 года, либо рискнуть и увеличить объем уже в 1989 году. Почему рискнуть? Да потому, что с увеличением объема возрастают расходы на бумагу, типографские работы, авторский гоноар и на отсутствия в «Союзпечать». Соответственно должны возрастать расходы и стоимость журнала.

Выразив доверие своим читателем, редакция, одnakо, не указываюности срыва дополнитель из-за чисто технических причины — отказа неокторых почтовых отделений приняты эту дополнительу. Судя по желобам читателей, таких служаев довольно много. И это несмотря на то, что агентство «Союзпечать» недократно рассылало соответствующие направления (например, телефонограмма № 1 от 3 апреля 1989 г.).

Редакция нашего журнала и агентство «Союзпечать» приносит читателем «Кванта» исключение извлечения за доставленное бесплатство.

Еще раз просим текст читателей, кто подписался по цене 40 коп. за номер, не попытаться и ввести соответствующего доплату — по 5 коп. за номер. Доплата произвольная на отделном банке по форме СП-6 с указанием «Доплата — «Квант»».

Редакция журнала «Квант» Аzentство «Союзпечать»