Орбиты

Квант 1989, №9 с. 60-66 Тег 2IL6

В будущеем году изделияво «Наука»
в серии «Библотека «Квант» выпустит книгу
В. Е. Белонучкина «Ньютон, Кеплер и все-все-все…».
Очень советуем нашим читателем — тем,
кто интересуется физикой, астроνομией, космонавтикой,
исторней науки, тем, кто любит решать задачи,—
не пропустить эту книгу. Она дает вам
почувствовать связь времен, связь открытий
космической эры сfundamentalными исследованиями
классический астроνομии, начала которой уходят
в глубокую древность, с небесной механикой,
созданной великими Ньютоном и Кеплером…
Статья, которую мы помещаем сегодня
в рубрике «РЗР», — один из авторских вариантов
главы этой книги.

Орбиты

Кандидат физико-mатематических наук
В. Е. БЕЛОНУЧКИН

Существ%Bелленной не имеет
в себе силы, которая могла бы
противостоять мужству позаниния.
(Г. Гегель)

Все мы знаем, что на вопрос «Ваше представление о
счастье?» Карл Маркс ответил: «Борьба». Далеко не все
помнят его ответ на вопрос «Ваши любимые герои?».
А между тем этот ответ: «Спартак и Кеплер». Спартак и Борьба — естественно. Но Кеплер и Борьба?
Как-то неяжется представление об открываете закон-
нов движения небесных светил (сейчас его назвали бы
астроном-теоретиком) с образом борца. И все же именно борец.

С кем только ни боролся Кеплер! Даже со своим
учителем и благодетелем Тихо Браге. Браге не только
дал Кеплеру бесплатный материал — результаты своих
астрономических наблюдений, из обобщения которых и
родились Законы Кепера. Он приютил Кепера в тяжелую пору и поддерживал его материално. Вот это
большое всего и разделяло гордого Кепера. Почему
Браге не установлен ему твердого железняня, а кормит
подачками? Не ведал Кеплер, что миллионные средства, подаренные Браге императом Рудольфом, давно испарились, причем ушли они не столько на постройку
храма астрономики, сколько на праздники в честь имен-
тих посетителей этого храма; и не для того, чтобы
потешить себя и высокородных гостей, давал приы
Браге, а для того, чтобы не разорили, не разграбили
гордом астрономики Ураниборг. И не зря орасался та-
кой судьбы великий астроном. Не успел он, изгнаний
все-tаки из родной Дании, умереть на чужбине — а
прожил он вдали от родины всего четыре года,— как
от Ураниборга остались развалины.

Иоганн Кеплер (1571—1630).

И в научных вопросах у Браге и Кеплера не было согласия. Браге был сторонником компромиссной теории строения Солнечной системы: Солнеце обращается вокруг неподвижной Земли, а планеты — вокруг Солнца. Коперниковой ereси относится недобрително. Темперамент у Браге был весом бурный: известно, что на дуэли, причиной которой послужили научные разогласия, он потерял нос. Поэтому можно представить, как протекали споры пылкого Браге и упрямого и самолюбивого Кеплера.

Тяжелейшую борьбу вынес Кеплер и с самим собой, со своим собственными взглядами. Ведь как вначале все шло хорошего! В сферу, на котором лежит (конечно, круговая) орбита Сатурна, впишем куб. В этот куб впишем сферу — на ней лежит орбита Юпитера. В сферу Юпитера впишем тетраэдр, а в него сферу — получим сферу Марса, и так далее, пока не исчерпаются правильные многогrafаники и одновременно планеты. Открыта «Космогфикаческая тайна» (это название книги Кеплера!) Гармония сфер! Пифагор был позавидал!

Но… восемь угловых минут расхождения между представными и наблюдаемыми положениями Марса заставили Кеплера открыться от освещенного даже не bekами — тысячлетями — представления о равномерном движении планет по круговым орбитам. Нельзя недоцесивать роли Тихо Браге: он вторым в мире — после Улугбека — достиг точно изменений в две минуты, практические предельной для невооруженного глаза. Будь точность его изменений второе ниже, и Кеплер не смог бы отличить эллипс от окружности.

Эти восемь минут… дают нам средство преобразовать астрономию.

(И. Кеплер)

И рухнула «гармония сфер». Родился ПЕРВЫЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА: планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

И к тому же — ВТОРОЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА — линя, соединяющая Солнце и планету, за равные промежутки времени описывает равные площади.

Иоганн Кеплер опубликовал эти два закона в 1609 году. Впрочем, сочинение «Новая астрономия», в котором они провозглашены, увидело свет по «счастливой» случайности. Строго говоря, работа принадлежала императору «Священной Римской Империей германской нации» Рудольф II, по заказу которой она была выполена. Но император не смог оплатить расходы по печатанию книги, и она поступила в распоряжение автора. Зато Кеплер в очередной раз остался без средств к существованию — книги в те времена дохода не приносили, тем более, если в них провозведалось ereтическое учение Кепрника. Вот непрямойности такие книги автору могли привести. Кеплера, как протестана, преследовала категическая церковь; в протестациях странах его преследовали «единоверцы» как ereтика-конеррика.

Кеплерово «Сокращение коперниковой астрономии»

было внесено в «Индекс запрещенных книг» еще до выхода в свет.

Начавшаяся в 1618 году Тридцатилетняя война чуть не помещала выходу в свет его «Гармони мира», в котором обнародован

ТРЕТИЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА: квадраты времен образшения планет относятся как кубы их расстояний от Солнца (точнее — как кубы больших полуосей орбит).

Итак, мы вспомнили все три закона Кеплера. Первый закон говорит об орбитах всех планет, второй — сравнивает прохождение разных участков орбиты одной планетой, третий — дает соответствие между орбитами разных планет. Теперь давает попробу пользоваться этим законами.

Задча 1. Может ли запустить спутник из пушки?

Нарисуем картину такого спутника (рис. 1). Спутник движется по эллипсу: значит, через один оборот он должен будет пройти новую через точку запуска, имея тот же вектор скорости. Далее неважно, что орбит — эллипс, достагоно, чтобы она была замкнутой кривой. Где-то такой спутник врежется в Землю. Впрочем…

Посмотрим на рисунок 2. Запустим спутник с высокой горы. Лучше всего — с вершины Килиманджaro. Почему не с Эвереста? Килиманджaro располагается недалеко от экватора, и если учет сплюснутость Земли, то оказывается, что вершина этого вулкана примерно на 6 км дальше от центра земного «шара», чем «пятый полос планеты». Тогда вроде бы опасности врезаться в Землю можно избежать, лишь бы скорость была достагоно величка. Все верно, но… мы забили о сотруднилении воздуха. Кеплер, в принципие, не против такой спутник, и все же спутники запускаются только с помощью пакет.

Следующие две задачи будут посвязываны Марсу. Движение этой планеты Тихо Браге исследовал наиболее подробно, и именно для Марса Кеплер вначале установил свои первые два закона. Вообще Марс больше других планет привлекает внимание людей. А когда во время Великого противостояния 1877 года италянский астроном Скипапрелли обнаружил на Марсе «каналы», всегда встал не решенный окончательно до сих пор вопрос: есть ли жизнь на Марсе? Англичанин Ловелл предположил, что это действительное искусственное сооружение — каналы, прорывые разумными обитателями Марса. Большим энтузиастом поисков доказательств существования на Марсе жизни, правда только растительный, был советский астроном Г. А. Тихов. Симки, полученные с искусственных спутников Марса, окончательно развели миф о существовании каналов. Исследования марсианского грунта не дал определенного результата — организмов нет, а организме вещества вроде есть. Не случайно буквально в последнее время широко обсуждается возможность совместной совместимости именно на Марс.

Итак, начнем наший «исследование» Марса.

Задча 2. Противостояния Марса (ситуация, когда долгота Марса отличается от долготы Солнца на 180°) случайная какдые 780 суток. Определить период обращения Марса вокруг Солнца.

Так как между противостояниями проходит больше

года, Марс движется по орбите в том же направлении, что и Земля (что он находится дальше Земли от Солнца, мы знаем). Земля за время $T=780$ суток совершает чуть большие двух оборотов, а именно $-k=T/T_0=780/365,25=2,1355$ оборота ( $T_0=365,25$ суток — земной год). Нетрудно сообщать, что противостояние может произойти только в том случае, если Марс за это время прошел 1,1355 оборота. Значит, искомый перiod Марса $T_M=T/1,1355=687$ суток.

(Внимательный читатель, веряяно, заметил не вполне грамотно проведенные вычисления — превышение точности. Каюсь, была у меня «темная мысль»: подогнать под заранее известный ответ. Прошу простить эту слабость, который в дальнейшем постараюсь избегать.)

Задача 3. Во время Великих противостояний расстояние от Земли до Марса минимально и составляет $r=56 \cdot 10^6$ км. Каково максимальное расстояние от Земли до Марса в противостоянии?

Заметание. В задаче 2 мы молча обошлись с орбитами как с круговым. Теперя это уже не прошет — ведь в предположении круговых орбит откуда взятся великим противостоянием? Однако эксцентриситет земной орбиты сравнительно мал, и мы по-прежнему будем считать ее круговой. А вот орбита Марса, конечно, уже не окружность.

Данные, которые мы рассолгаем: перiodы обращения Земли $-T_0 \approx 365$ суток и Марса $-T_M \approx 687$ суток и радиус земной орбиты $R_0 \approx 1,5 \cdot 10^8$ км $=1$ а. е. (величину $R_0$ использует в астрономии в качестве единицы расстояния — это 1 астрономическая единица). Сначала из III закона Кеплера найдем большую ось орбиты Марса:

$2a_M=2R_0(T_M/T_0)^{2/3} \approx 3,05 \text{ а. е. } \approx 4,57 \cdot 10^8 \text{ км.}$

А дальнейшее достагоно посмотреть на рисунок 3, чтобы понять, что искомое расстояние

$L=2a_M-2R_0-l \approx 10^8 \text{ км.}$

(Теперь, наоборот, округление грубового. Точный ответ, т. е. данные справочника, — 97,5 $\cdot 10^6$ км.)

В этом решении мы полагали, что плоскости орбит Земли и Марса совпадают. Это вполне оправдано, так как в действительности соответствующей угол меньше $2^\circ$ . Вообщество, вся система планет — довольно плоская. Максимальное наклонение к эклиптике (т. е. к плоскости земной орбиты) у орбиты Плутона $-17^\circ$ , заметно меньше — у Меркурия $-7^\circ$ , у остальных планет не превышает $3,5^\circ$ . К кометам это не относится. А именно ими мы сейчас занимаемся.

По яйцевидному пути
Летит могуая комета.

(K. Бальмонт)

Что путь кометы «яйцевидный» — эллипс — нельзя не согласиться. Начет другого утверждения позта — могуая — есть иное мнение: «видимое ничего». Впрочем, каких-то триста лет назад кометы не подвергались сомнению. Комета насылала засуху, войну, смерть коронованных особ. Правда, уже в XVII века находится вольодумцы, смешшиеся над этим поверхами, но им резонно возразил один из членов фран-

цузской королевской семьи: «Вам, господа, хорошо шутить: вы не прииццы». А в XV веке пала Каликст III и вовсе растерлялся. Комета появился в начале 1453 года, когда христiane одолевали мусульман, и папа счел ее провозвестиком победы. Но в том же году мусульмане взяли Константинополь и окончательноLINKвидировали Восточную Римскую империю. Пришлось комету проклясть. Кстати, это была, как выяснили много позже, самая знаменита комета — комета Галлея.

Известность этой кометы имеет множество причины. Но главная — именно на ее примере выяснили характер кометных орбит. Ведь даже Кеплер и Галлей считали, что пути комет прямолинейны. Но вот в 1680 году английский астроном Эдмунд Галлей заметил криволинейность пути одной из комет. Конечно, это была именно та комета, которая вскоре получила его имя. Конкретнее, это было появление кометы Галлея 1682 года.

Так какого же года эта комета: 1680-го или 1682-го? Дело в том, что кометы часто имеют двойную датировку: по времени первого наблюдания и по времени прохождения перигеля. Для периодических комет, к которым относится и комета Галлея, чаще употребляется вторая система, поэтому и Галлей в 1680 году видел комету 1682 года, и Каликст III в 1453 году сначала благословил, а затем прослободил, а затем прослободил комету 1456 года.

К счастью, Галлей не ограничился констатцией криволинейности пути кометы. Он договорался, что кометы 1607 и 1531 годов — это та комета 1682 года, и предсказал ее появление в 1758 году.

Задча 4. Период обращения кометы Галлея $T_\Gamma = 76,7$ года. В периоды она приближается к Солнцу на расстояние $r = 0,59$ а. е. Каково максимальное удаление кометы от Солнца?

Читатель, знакомый с задачей 3, без особого труда самостоятельно справится с этой задачей. (А для контроля он может посмотреть ответ в конце журнала.)

Но что за цифра — 76,7 года? Если уточнить времена прохождения перигеля кометой Галлея в 1456, 1531, 1607, 1682 и, наконец, в 1759 (а не в 1758!) годах, для периода получения такой ряд цифр: 75,2; 76,2; 74,9; 76,5 года. 76,7 больше любого из этих промежутков. Так периодическая это комета или не совсем? В конце концов, можно ли быть уверенным, что это одна и та же комета? Оказывается, все-tаки Галлей прав. Надо «только» учеть возмущения, внесимые в движение кометы планетами Солнечной системы. Именно это и продолжательный французский математик А. Клеро, когда Комета опаздывал к первому учелу влияние Юпитера и Сатурна, комета должна быть прочитained не в 1758 году, а с точностью до места в апреле 1759 года. И она прошла перигелиный 13 марта 1759 года! Но все же отсутства 76,7 года?

После открытия Галлеем периодности кометы, носящей его имя, начались энергичные понки предыдущих ее появлений. И в конце концов удалость проследить ее историю плоть до глубокой древности. Оказывается, это она в 1378 году предсказала Мамаево побонице, в 1066 — завоевание Британии норманнами, в 912 — смерть князя Олега, в 66 — разрушение Иерусалима, гибель Помпей; она в 989 году ознакомлена крешение Руси; ее в 1301 году рисовал великий Джотто. Но больше

всего данных о комете Галлея собрали китайцы. Первое надежное упоминание в китайских хрониках дает дату 25 мая 240 г. до н. э. Впрочем, есть даже дата 7 марта 1057 г. до н. э.! А между этими двумя датами — восемь столетей молчания. В чем дело?

А дело в необуданном человекском естеlichen. Архистратиг Стратилатович Перехват-Залихватский, если верить Салтыкову-Щедрину, всего лишь «въехав в Глупов на белом коне, снег гимназию и управил науки», в результате чего «история прекратила течение свое», но, по-видимому, только в масштабах города Глупова. «Идеальный правилель» (по мнению председателя Мao) император Цинь Шихуанди решил, что история должна начать с него. И чтобы не было сомнений, казил всех обнаруженных им 460 ученых и секг все исторические книги. А так как встроимических хрониках упоминались события, имеющие место до возарения династии Цинь, хроники тоже пошли в костер. Чудом учелели отдельные книги, отрывки, как тот, в котором упоминается комета 1057 г. до н. э. «Великая» династия Цинь правила Поднебесной империей… 14 лет. Прошли два тысячеления, и уже в центре Европы возникла «Тысячелетия империя», где тоже горели костры из книг, предедовали ученых. Ей было ответено историей 12 лет…

Но вернемся к Комете. Если время от 25 мая 240 г. до н. э. до 9 февраля 1986 г. н. э. поделить на 29 оборотов, которые за это время совершили комета Галлея, то получится в среднем как раз 76,7 года на один оборот. А все отклонения — шутки, в основном, Юпитера. Вообще Юпитер, который более чем вдвое превозходит по массе все остальные планеты, вместе взятые, сильно искажает орбиты многохомет. Он даже имеет собственное семейство комета. Семейством Юпитера называют группу комета, чьи афелии лежат неподалеку от орбиты Юпитера. Этот гигант захватил их и не дает им вернуться на родину — на дальние окranны Солнечной системы. С одной из таких комет нас знакомит

Задча 5. Комета Гриза — Скъеллерупа относятся к группе Юпитера, ее афелий расположен на расстоянии 5,0 а. e. от Солнца. Перiod обращения кометы 4,9 года. может ли эта комета пересечь орбиту Земли?

Расчет (которые мы предоставляем читателю) дает для минимального расстояния кометы от Солнца величины 0,77 а. e., т. е. комета подходит к Солнцу близке, чем Земля. Так что в принципике комета Грига — Скъеллерупа может пересечь орбиту Земли.

Однако, как уже упоминалось, орбиты комет могут иметь заметный наклон к плоскости эклиптики. В этом случае пересечение проекций орбит планеты и кометы на эту плоскость не гарантирует пересечения самих орбит.

Так, комета Галлея имеет перигели на расстоянии 0,59 а. e., а между тем минимальное расстояние между орбитой и орбитой Земли в настоящее время составляет примерно 0,064 а. e., т. е. около 10 млн. км. Наименьшее расстояние, на котором прощала комета Галлея от Земли, — 0,04 а. е.=6 млн. км. Это было в 837 году. Примых свидетельств об этом, конечно, нет, да и быть не может. Более менее ясно представлять орбиты кометы столко после Галлея.

В нашей дни (свидание 1986 года) положение кометы

ОТВЕТЫ, ОТВЕТЫ…

(Начало см. на c. 43)

Поверхность же, беспорядочно рассеивающая во все стороны падающее на нее лучи, восприняется глазом как белая.

Значит, причина белого цвета снега — его раздробленность. Если промежутки между снежниками заполнить водой, снег утрачивает белый цвет и становится прозрачным. Такой опит нетрудно проделать: если вы насыпите снега в банку и нальте туда воды, снег на ваших глазах из белого сделается беспветным, прозрачным.

Радуга. Радуга видна лишь тогда, когда высота Солнца над горизонтом не превышает 42°. Между тем высота полуденного Солнца на широте Москвы в день летнего солнеctория (22 июля) равна 57,5°. Значит, Солнце стояло на небе выше, чем необходимо для возникности видеть радугу.
Свеча в закрытой банке. Объяснение опыта неправильное. Взамен кислорода, потребляемого при горении, появляется углейсный газ — по одной молекулу углейсного газа на каждую молекулу кислорода. Однаконое число молекул всегда занимает при равном давлении одинаковый объем (закон Авогадро). Значит, потребление кислорода само по себе не может изменить объем газа, находящого в банке.

Истинная причина наблюдаемого явления другая — не химическая, а физическая. Воздух внутри банки действительное разрежается при горении свечи, но не вследствие потребления кислорода, а вследствие нагрева. Часть распирающегося газа удаляется наружу, пока не установленся равенство давления холодного наружного воздуха и теплого внутреннего банки. Когда свеча из-за недостатка кислорода гаснет, воздуха в банке остывает, давление его уменьшается, и избыток наружного давления прижимает крышку.