Цепи

40

Цепи

С цепями мы встречемся повсюду: якорная цепь, величинная, цепочка на шее девушки и… собаки. Хотя эти цепи и не очень похожи друг на друга, приципп один: каждое следующее звено цепляется за предыдущее.

Оdnako Г. Лейбниц,

называется «гипербоЛИЧЕСКИМ КОСИНУСOM» («гипербоЛИЧЕСКИМ СИНУСOM» называется функция $y = \text{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$).

Вспомним про цепные места, настилы которых подвешены на цепях, например Крымский мост в Москве. Вы думаете, и здесь цепи расположены по цепной линии? Оказывается, что — нет, на этот раз это — парабола.

Если поднять цепочку за концы, не натягивая, то она вытянется по некоторой кривой, называемой «цепной линией». Еще Галилей интересовался этой кривой. Из его вычислений (1638 г.) получалось, что эта кривая — парабола.

Я. Бернулли, а

Знание формулы цепной линии необходимо для расчета проводания линей электропередач, поскольку провода между опорами также имеет форму цепной линии.

также Х. Гойгенс опровергли это утверждение. Оказалось, что эта кривая описывает формулию $y = a \frac{e^x + e^{-x}}{2}$; она и называется «цепной линией», а задающая ее функция $y = a \text{ch} \frac{x}{a}$

Интересным свойством обладает поверхность, образованная вращением цепной линии вокруг оси абсцисс. Такую поверхность образует мыльная плена, натянутая на два колца, центры которых находятся на прямой, перпендикулярной плоскостям этих колц. Она называется катенодом. Из всех поверхностей, натянутых на такие колца, расположенные на небольшом расстоянии друг от друга, она имеет наименьшую площадь.

41

Приицип «цепляния» последующего элемента за предыдущий часто встреется в математике, например в «цепных дробях». Всякую положительную дробь можно записать, и притом единственным образом, в виде:

$$\frac{p}{q} = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \dots + \frac{1}{a_n}}},$$

где числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ — натуральные, а $a_0$ — целое неотрицательное. Например,

$$\frac{13}{7} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6}};$$

$$\frac{22}{7} = 3 + \frac{1}{7},$$

$$\frac{355}{113} = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{16}}.$$

Все irrationalные числа также выражаются целыми дробями. Так,

$$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}$$

$$\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}$$

$$\pi = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1 + \dots}}}.$$

Приведенные целые дроби для $22/7 = 3,1428$… и $355/113 = 3,1415929$… получены «обрыванием» целой дроби для числа л. Интересно, что обикновенные дроби, полученные «обрыванием» целой дроби для данного числа,

Являются на луущии приближениями среди всех дробей со значенателем, не большим полученого.

Понятие цепи вводится в теории графов. Граф — это некоторая совокупность точек (вершин), некоторые из которых соединены отрезками (ребрами). Например,

$$\frac{13}{7} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6}};$$

$$\frac{22}{7} = 3 + \frac{1}{7},$$

$$\frac{355}{113} = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{16}}.$$

Схема железной дороги. Цепь на графе — ломаная, составленная из его ребер.

Эйлерова цепь — цепь, проходящая по всем ребрам графа. Отсутствие такой цепи на графе, изобразенном на рисунке,

вершинам графа, по каждой — один раз. В отличие от эйлеровой цепи здесь пока нет простого критерия для определения того, существует ли на данной графе графы газильтонова цепь.

В старину деньги не имели той универсальной, как сейчас. И в математической формелькое было много задач, связанных с оплatenу услуг звеньями золотой цепочки. Например, также. Молодой человек поселился на постоянном дворе на 31 день и договорился с хозяйним платьтить за постоян ejедневно по одному звнуу своей золотой цепочки из 31 звена, которое он носил на шее. Какое наименьшее число звенев он должен расковать, чтобы иметь возможность распластиться? При оплате он может забирать у хозяйня данных звенья, заменяя их другими. Эта задача, конечно, относится к общим цепочке. Но можно звенья цепочки сцепить так (см. рис.), что при вытяживании одного звена освобождаются все остальные звенья.