Избранные задачи Московской городской олимпиады по физике

74

5. Докажите, что пionерский отряд всегда можно разить на две команды так, чтобы общее число пар друзей, оказавшихся в одной и той же команде, было меньше числа пар друзей, оказавшихся в разных командах.

6. Все значения квадратного треугольника $ax^2+bx+c$ на отрезке [0,1] по модулю не превосходят 1. Какое наиболее значение при этом может иметь величины $|a|+|b|+|c|$?

9 класс

1. В пространстве имеются четырьмя прямые, окруженные в два цвета: две красные и две синее, причем любая красная прямая перепределиллярна любой синей прямой. Докажите, что любая красные, либо синее прямые параллельны.

2. В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB, BC$ и $AC$ взяты соответственно точки $M, K$ и $L$ так, что прямая $MK$ параллельна прямой $AC$ и ML параллельна $BC$. При этом отрезок $BL$ пересекает отрезок $MK$ в точке $P$, а $AK$ пересекает $ML$ в точке $Q$. Докажите, что отрезки $PQ$ и $AB$ параллельны.

3. Известно, что числа $A_1, A_2, \dots, B_1, B_2, \dots$ образуют геометрические прогрессии. Можно ли, зная лишь значения $A_1+B_1, A_2+B_2, A_3+B_3$ и $A_4+B_4$, определить $A_5+B_5$?

4. Улицы неокоторого города на плане представляются в виде квадрата, расчерченного на 25 равных клеток со стороны 1. В отмещенной на рисунке точке находится снегоуборочная машина. Найдите длину кратчайшего маршрута объезда всех улиц, чтобы в конце работы машина вернулась в исходную точку.

![Graph showing a square grid with points A1, A2, …, B1, B2, …, A1+B1, A2+B2, A3+B3, and A4+B4.]

5. Найдите все положительные числа $A_1, A_2, \dots, A_{10}$, удовлетворяющие при всех $k=1, 2, \dots, 10$ условию $(A_1+...+A_k)(A_k+...+A_{10})=1$.

10 класс

1. Решите уравнение
   $$\lg(x-2)=2x-x^2+5.$$

2. Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

3. Можно ли расставить на лице клетчатой бумагий крестики и полки так, чтобы ни на одной горизонтали, вертикали и диагонали нельзя встретить три одинаковых знака подряд?

4. Данны $n$ различных натуральных чисел. Докажите, что неокоторая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которого не больше ее разности, содержитровно 3 или 4 данных числа, если $n=5$, $b) n=1989$.

5. Вычислите с точностью до 2 наименьшую суммарную длину разрезов, которые необходимо сделать, чтобы перекроить единичный квадрат в прямуюгольник с диагональю, равной 100.

6. На ребрах произвольного tetrahedра выбрано по точке. Через каждую точку точек, лежащих на ребрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырех проведенных плоскостей касаются вписанной в тетради шара, то и четвертая плоскость также его касается.

Публикация подготовили
Н. Н. Сергеев, С. В. Гашков

Избранные задачи
Московской городской олимпiadы по физике

8 класс

1. Следной горки с углом $a$ без начальной скорости съеджают санкки. Средняя треть длины горки посыпана песком и имеет коэффициент треня $μ$. При каких значениях $μ$ санкки доедут до конца горки? Чистый лед считать абсолютию гладким.

2. По шоссе в один ряд с одинаковыми интервалами и скоростями движутся большие групповики. В каком месте у пешекода большие времени на переход шоссе: у перекрестка, где скорость групповков мала (хотя все равно горизонтальное квадрату скорости. К шарику дополнительно прикладывается горизонтальное направления сила $f$. Какой станет вертикальная составляющая скорости шарика?

3. Шарик массой $m$ под действием силы тяжести падает в жидкости с постоянной скоростью $v$. Сила сопротивления жидкости шарика пропорциональна квадрату скорости. К шарику дополнительно прикладывается горизонтальное направления сила $f$. Какой станет вертикальная составляющая скорости шарика?

4. Муха, пропеляя параллельно поверхности стола со скоростью $v$ на высоте $H$, заметила в неокоторый момент времени точного под собой каплю меда. При помощи крыльев муха может развивать в любом направлении ускорение, не превышающее $a$. За какое минимальное время муха сможет долеть до капли меда? Силаяжет отсутствует (допустим, дело произходит в космос).

9 класс

1. Человек стоит у стены так, что его спина и пятки касаются этой стены. Может он, не теряя равновесия, наклониться, чтобы завазыть шнурок на ботинке, не отрывая подошв от пола?

2. На дне океана с исследовательскими целями произведен подводный взрыв. Гидрофон (приемник звука), установленный на дне на неокотором расстоянии от места взрыва,