Bài toán M2356—M2365; F2363—F2372

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này nên được gửi đến địa chỉ sau: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 5-6–2014” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2356” hoặc “F2363”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2357, M2358, M2360–M2364 đã được đưa ra ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga XL dành cho học sinh môn toán.

Bài toán M2356–M2365, F2363–F2372

M2356. Một loại virus được đặt trong một tế bào trên một mặt phẳng ca rô. Virus sống trong một phút, sau một phút nó biến mất, nhưng để lại con cái - ở mỗi tế bào trong số bốn tế bào liền kề với tế bào của nó, một loại virus mới xuất hiện. hình thể hiện các giai đoạn sinh sản của virus (số lượng và vị trí) tại các thời điểm t = 0, 1, 2, 3 phút. Tính số lượng virus trong trường ban đầu ở thời điểm t = 10 phút. V. Rastorguev

M2357. Ta gọi một số tự nhiên là số tốt nếu trong số các ước của nó có đúng hai số nguyên tố. 18 số tự nhiên liên tiếp có tốt không? O. Podlipsky

M2358. a) Hình thang ABCD có đáy AB và CD nội tiếp đường tròn Ω. Đường tròn $\omega$ đi qua các điểm C, D và cắt các đoạn CA, CB lần lượt tại các điểm $A_{1}, B_{1}$. Các điểm $A_{2}$ và $B_{2}$ lần lượt đối xứng với các điểm $A_{1}$ và $B_{1}$ tương ứng với trung điểm của đoạn CA và CB. Chứng minh rằng điểm $A, B, A_{2}$ và $B_{2}$ cùng nằm trên một đường tròn. b) Hình cầu $\omega$ đi qua đỉnh S của hình chóp

SABC và cắt các cạnh SA, SB và SC lần lượt tại các điểm $A_{1}, B_{1}$ và $C_{1}$. Hình cầu Ω ngoại tiếp hình chóp SABC cắt $\omega$ dọc theo một đường tròn nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC. Các điểm $A_{2}, B_{2}$ và $C_{2}$ lần lượt đối xứng với các điểm $A_{1}, B_{1}$ và $C_{1}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và SC. Chứng minh rằng điểm $A, B, C, A_{2}, B_{2}$ và $C_{2}$ cùng nằm trên một mặt cầu. I. Bogdanov

M2359. Một 1001-giác đều được vẽ trên bảng, các đỉnh của nó được đánh số 1, 2, ……, 1001. 1001-giác đều đó được cắt ra khỏi bìa cứng. Có thể sắp xếp các số 1, 2, …, 1001 (mỗi số một lần) ở các đỉnh của tấm bìa cứng 1001-giác sao cho khi có bất kỳ sự chồng chéo nào của 1001-giác, các số bằng nhau sẽ xuất hiện ở một đỉnh nào đó (đa giác bìa cứng có thể được lật lại)? V. Người gửi

M2360. Ở Cộng hòa các nhà toán học, họ đã chọn số $\alpha > 2$ và phát hành tiền xu có mệnh giá 1 rúp, cũng như $\alpha^{k}$ rúp cho mỗi số tự nhiên k. Hơn nữa, $\alpha$ được chọn sao cho mệnh giá của tất cả các đồng tiền, ngoại trừ đồng tiền nhỏ nhất, đều không hợp lý. Liệu có thể thu thập được bất kỳ số lượng rúp tự nhiên nào bằng những đồng tiền này bằng cách sử dụng tiền xu của mỗi mệnh giá không quá 6 lần? I. Bogdanov, S. Berlov

M2361. Tam giác ABC (AB > BC) nội tiếp đường tròn Ω. Trên các cạnh AB và BC lần lượt chọn các điểm M, N sao cho AM = CN. Các đường thẳng MN và AC cắt nhau tại điểm K. Gọi P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMK và Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CNK tiếp xúc với