Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga XLI dành cho học sinh môn toán

Thế Vận Hội

Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga XLI dành cho học sinh môn toán

Giai đoạn chung kết của Olympic Toán học toàn Nga XLI dành cho học sinh được tổ chức từ ngày 23 đến ngày 29 tháng 4 năm 2015 tại thủ đô Tatarstan, Kazan. 355 học sinh từ 50 vùng của Nga đã tham gia Olympic, đạt kết quả cao nhất ở cấp khu vực. Những vị khách truyền thống tham gia Olympic: các đội đến từ Bulgaria và Cộng hòa Nhân dân Trung Hoa. Như những năm trước, vào mỗi ngày trong số hai ngày của Thế vận hội, những người tham gia được thưởng 4 bài toán cho 5 giờ làm việc. Mặc dù thực tế là bài toán Olympic khá khó khăn nhưng các em học sinh đã hoàn thành xuất sắc chúng. Và trong mỗi lớp đều có học viên giải được cả 8 câu bài toán. Theo truyền thống, sau Thế vận hội, học sinh tham gia một cuộc bình chọn để chọn ra người đẹp nhất, theo quan điểm của họ, bài toán. Các học sinh đoạt giải trong cuộc thi này là: ở lớp 9 – bài toán 6 (Hạng I), 8 (Hạng II) và 7 (Hạng III); ở lớp 10 – 7 (tôi xếp hạng; lưu ý rằng năm ngoái tác giả Maxim Didin của nó đã là người chiến thắng trong cuộc thi Olympic toàn Nga và sau đó là Olympic quốc tế dành cho học sinh), hạng 3 (hạng II) và hạng 8 (hạng III); ở lớp 11 – 4 (Hạng I), 6 (Hạng II) và 3 (Hạng III). Hầu hết các bài toán này đều có trong phần “Bài toán Kvant” của số này. Điều đáng chú ý là tính tổ chức cao của Olympic, nhờ đó nó đã trở thành một ngày lễ thực sự dành cho các nhà toán học trẻ giỏi nhất của đất nước. Tại lễ bế mạc, các giải thưởng và bằng cấp đã được Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga D.V. trao tặng cho những người đoạt giải Olympic. Livanov và người đoạt Huy chương Fields S.K. Smirnov gửi lời chia tay dành cho những học sinh có năng khiếu. Ngoài các chuyến tham quan truyền thống, chương trình Olympic còn có các bài giảng khoa học phổ thông của các nhà toán học nổi tiếng: “Bài toán đơn giản và phức tạp” của A. Shen, “Bước đi ngẫu nhiên là gì?” S. Smirnova, “Sự phức tạp của các phép tính và tại sao bạn không thể sống thiếu nó” của E. Hirsch. Dưới đây là các điều kiện bài toán và danh sách các học sinh đoạt giải và đoạt giải ở chặng cuối của Olympic toàn Nga XLI dành cho học sinh môn toán.

MỤC TIÊU CỦA Olympic

lớp 9

1. Các số a và b sao cho mỗi trong hai tam thức bình phương $x^{2} + ax + b$ và $x^{2} + bx + a$ có hai nghiệm phân biệt và tích của các tam thức này có đúng ba nghiệm phân biệt. Tìm tất cả các giá trị có thể có của tổng ba gốc này. S. Berlov

2. Hình bình hành ABCD sao cho $\angle B < 90 ^\circ$ và AB < BC. Chọn điểm E và F trên đường tròn $\omega$ ngoại tiếp tam giác ABC sao cho các tiếp tuyến của $\omega$ tại các điểm này đi qua D. Hoá ra $\angle$ EDA $= \angle$ FDC. Tìm góc ABC. A. Yakubov

3. Các số tự nhiên a, x và y lớn hơn 100 sao cho

2

(

)

$y - 1 = a^{2} x^{2} - 1$. Phân số a x có thể nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

V. Người gửi

4. 110 đội tham gia giải bóng chuyền, mỗi đội thi đấu đúng một trận với nhau (trong môn bóng chuyền không có trận hòa). Hóa ra trong bất kỳ nhóm 55 đội nào, sẽ có một đội thua không quá 4 trong số 54 đội còn lại trong nhóm đó. Chứng minh rằng trong toàn giải đấu có một đội thua không quá 4 trong số 109 đội còn lại. S. Berlov

5. Có 100 số nguyên được viết trong một vòng tròn. Mỗi số lớn hơn tổng của hai số theo sau nó theo chiều kim đồng hồ. Số dương lớn nhất có thể viết được là bao nhiêu? S. Berlov

6. Xem bài toán M2398 “Bài toán Kvant”.

7. Tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn Ω. Gọi M là giao điểm của các đường trung tuyến và AH là chiều cao của tam giác này. Tia MH cắt Ω tại điểm $A '$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $A ' HB$ tiếp xúc với AB. A. Golovanov, A. Yakubov

8. Xem bài toán M2402 “Bài toán Kvant”.

lớp 10

1. Xem bài toán M2400 và “Bài toán Kvant”.

2. Cho hình bình hành ABCD có AB < AC < < BC. Chọn điểm E và F trên đường tròn $\omega$ ngoại tiếp tam giác ABC sao cho các tiếp tuyến của $\omega$ tại các điểm này đi qua D; trong trường hợp này, các đoạn AD và CE cắt nhau. Hóa ra là $\angle$ ABF $= \angle$ DCE. Tìm góc ABC. A. Yakubov, S. Berlov

3. Cuộc thi đua xe đạp nghệ thuật có 100 giám khảo. Mỗi giám khảo xếp hạng tất cả những người tham gia (theo ý kiến ​​​​của mình từ tốt nhất đến tệ nhất). Hóa ra là không có ba người tham gia A, B, C mà có ba giám khảo, một trong số họ tin rằng A là người giỏi nhất trong ba người và B là người kém nhất, người kia - rằng B là người giỏi nhất và C là người kém nhất, và người thứ ba - rằng C là người giỏi nhất và A là người kém nhất. Chứng minh rằng có thể tạo ra một đánh giá chung về những người tham gia sao cho với hai người tham gia A và B bất kỳ, người nào có điểm đánh giá cao hơn sẽ tốt hơn người kia theo ý kiến ​​của ít nhất một nửa số giám khảo. I. Bogdanov

4. Ta kí hiệu S(k) tổng các chữ số của số tự nhiên k. Chúng ta gọi số tự nhiên là n-tốt nếu tồn tại dãy số tự nhiên như vậy $a_{0}, a_{1},...$

60

KVANT 2015/№5-6

Bykova Sofya - Moscow, Trung tâm Giáo dục “Trường thứ năm mươi bảy”, Urmanov Maxim - Moscow, Trung tâm Giáo dục “Trường thứ năm mươi bảy”, Semenov Nikita - St. Petersburg, FML 239, Spiridonov Igor - Moscow, trường 179, Karagodin Nikita - St. Petersburg, FML 239, Gilyazev Yulian - Vùng Orenburg, quận Abdulinsky, trường 3, Fedorets Nikita - Moscow, trường 1329, Bikeev Arthur - Kazan, lyceum 131, Novikov Mikhail - Novosibirsk, lyceum 9, Fafurin Oleg - St. Petersburg, FML 239, Dobronravov Egor - Novosibirsk, lyceum 130 được đặt theo tên. Viện sĩ M.A. Lavrentyev, Lyamkin Mikhail - Barnaul, nhà thi đấu 42, Ryabov Egor - Moscow, trường 2086, Okopnaya Evgenia - Moscow, trường 2007 với nghiên cứu chuyên sâu về vật lý và toán học, Nefedov Andrey - Ivanovo, lyceum 33, Sheremet Artem - Moscow, trường 1329, Yugov Vasily - Perm, trường 46 chuyên sâu nghiên cứu về toán, vật lý và khoa học máy tính, Andreev Ykov - St. Petersburg, FML 239, Evseev Pavel - Moscow, Lyceum “Trường thứ hai”, Studenikina Alevtina - Moscow, trường 1329, Mukhametshina Kamilya - Kazan, Lyceum 131, Evtushevskaya Ariadna - St. Petersburg, FML 239, Artem Voronov - Serpukhov, trường 9 với nghiên cứu chuyên sâu về từng môn học, Ekaterina Kravtsova - Belgorod, lyceum 38, Alexandra Drozdova - Nizhny Novgorod, lyceum 165 được đặt tên theo lễ kỷ niệm 65 năm thành lập “GAZ”, Igo Andrey - Novosibirsk, phòng tập thể dục 6 “Ermine”, Levin Lev - Novorossiysk, phòng tập thể dục 5, Anatoly Chepasov - Ulyanovsk, phòng tập thể dục 13;

cho lớp 10 - Krutovsky Roman - Moscow, nhà thi đấu 1514, Veprev Georgy - Rybinsk, lyceum 2, Gubkin Pavel - St. Petersburg, FML 239, Ryabov Pavel - Moscow, nhà thi đấu 1543, Osmankin Evgeniy - Novorossiysk, nhà thi đấu 5, Akilbayeva Ekaterina - Moscow, trường 218, Lizhvoy Valentin - Moscow, Lyceum “Trường thứ hai”, Alekseev Yaroslav - St. Petersburg, FML 30, Akhmetov Zhanat - Kurgan, nhà thi đấu 47, Fadin Mikhail - Moscow, Trung tâm giáo dục “Trường thứ năm mươi bảy”, Tsoi Nikita - Moscow, trường 2007 với nghiên cứu chuyên sâu về vật lý và toán học, Menshenin Alexey – Moscow, Lyceum 1568 được đặt theo tên. Pablo Neruda, Balakin Andrey - Moscow, trường 2007 với nghiên cứu chuyên sâu về vật lý và toán học, Lyalina Albina - Izhevsk, IEML 29, Azangulov Iskander - Naberezhnye Chelny, phòng tập thể dục 26, Makeev Vladislav - Moscow, SUSC MSU, Shamsutdinov Bulat - Kazan, lyceum 131, Ovechkin Grigory - Izhevsk, IEML 29, Kora Alexander - Naberezhnye Chelny, nhà thi đấu 26, Babushkin Egor - Kurgan, trường 22, Zenkova Yana - Novosibirsk, SUSC NSU, Moseeva Tatyana - Yaroslavl, trường 33 được đặt theo tên. K. Marx với nghiên cứu chuyên sâu về toán học, Olga Lupulyak - St. Petersburg, FML 239,

Kovalenko Kirill - Moscow, Trung tâm Giáo dục “Trường thứ năm mươi bảy”, Kim Raisa - Moscow, trường 1329, Goryachev Vladimir - Moscow, nhà thi đấu 1514, Chufarovsky Nikolai - Moscow, SUSC MSU, Zaitsev Egor - Izhevsk, IEML 29, Marchenko Artemy - Sarov, Lyceum 15 được đặt theo tên. Viện sĩ Yu.B. Kharitona, Fairushin Aidar - Naberezhnye Chelny, nhà thi đấu 26, Molchanova Veronica - Krasnodar, lyceum 64, Koshelev Mikhail - Moscow, Trung tâm Giáo dục “Trường thứ năm mươi bảy”, Terekhov Mikhail - Ulyanovsk, Lyceum Thành phố Ulyanovsk tại Đại học Kỹ thuật Bang Ulyanovsk, Zosimova Zhanna - Izhevsk, IEML 29, Lychagina Elena – Kurgan, nhà thi đấu 19, Putilin Mikhail – Novosibirsk, nhà thi đấu 6 “Ermine”;

ở 11 lớp - Gladkov Nikita - Tomsk, FTL, Zimin Alexander - Ulyanovsk, trường 52, Losev Ilya - St. Petersburg, FML 239, Novikov Svyatoslav - St. Petersburg, FML 239, Kuznetsov Alexander - St. Petersburg, FML 239, Makarov Vladislav - St. Petersburg, trường 450, Kulikov Alexey - St. Petersburg, FML 30, Matveev Alexander - Mátxcơva, trường 171, Bogdanov Ilya - Mátxcơva, trường 2086, Nesterov Nikita - Ulyanovsk, lyceum đa ngành 20, Zubrilina Nina - Moscow, Trung tâm giáo dục “Trường thứ năm mươi bảy”, Monkov Grigory - St. Petersburg, lyceum 533 “Khu phức hợp giáo dục” Malaya Okhta", Andrey Storozhenko - Omsk, phòng tập thể dục 117, Belykh Evgeniy - Vologda, Vologda lyceum đa ngành, Khodunov Pavel - St. Petersburg, FML 239, Tarasov Alexander - Irkutsk, trường 10 với nghiên cứu chuyên sâu về từng môn học, Vasilchishin Sergey - Kirov, FML, Shatsky Vladimir - Moscow, nhà thi đấu 1514, Ochkov Dmitry - Moscow, nhà thi đấu 1588, Rumyantsev Vladislav - Moscow, trường 179, Akhtyamov Danil - Moscow, SUSC MSU, Mrykhin Mikhail - Izhevsk, IEGL “Trường-30”, Pustovoitov Sergey – Yugra, Yugra Vật lý và Toán học Trường nội trú Lyceum, Khadayev Konstantin – Novosibirsk, trường 83, Myagkov Konstantin – St. Petersburg, FML 30, Musatkina Daria – Cheboksary, Lyceum 3, Basimova Natalya – Moscow, trường 2007 với nghiên cứu chuyên sâu về vật lý và toán học, Shatokhin Anatoly - Krasnodar, trường 74, Bagirov Farid - St. Petersburg, lyceum 533 “Khu phức hợp giáo dục “Malaya Okhta”, Lukyanov Ilya - Ulyanovsk, Lyceum thành phố Ulyanovsk tại Đại học Kỹ thuật Bang Ulyanovsk, Evtushevsky Vsevolod - St. Petersburg, FML 239, Tyshchuk Kirill - St. Petersburg, FML 239, Luzhetsky Ilya - Moscow, Lyceum “Trường thứ hai”, Vakhrina Anastasia - Yoshkar-Ola, Lyceum 28, Manucharyan Vardan - Magnitogorsk, trường 5 với nghiên cứu chuyên sâu về toán học, Valiullin Arthur - Ufa, phòng tập thể dục 93,