Заключительный этап XLI Всероссийской олимпиады школьников по математике

Квант 2015, №5-06 с. 60 Тег YNM8

ОЛИМПИАДЫ

Заключительный этап XLI Всероссийской математической олимпиады школьников проводился с 23 по 29 апреля 2015 года в столице Татарстана городе Казани. В олимпиаде приняли участие 355 школьников из 50 регионов России, показавших наиболее высокие результаты на региональном этапе. В олимпиаде приняли участие традиционные гости: команды из Болгарии и Китайской Народной Республики. Как и в предыдущие годы, в каждый из двух дней олимпиады участникам было предложено по 4 задачи на 5 часов работы. Несмотря на то, что задачи олимпиады были достаточно трудными, школьники успешно справились с ними. И в каждом классе нашлись участники, решившие все 8 задач. По традиции, после олимпиады школьники участвовали в голосовании, на котором они выбрали наиболее красивые, по их мнению, задачи. Лауреатами в этом соревновании стали: в 9 классе – задачи 6 (I место), 8 (II место) и 7 (III место); в 10 классе – 7 (I место; отметим, что еще в прошлом году ее автор Максим Дидин был победителем Всероссийской, а затем и Международной олимпиады школьников), 3 (II место) и 8 (III место); в 11 классе – 4 (I место), 6(II место) и 3 (III место). Большая часть этих задач включена в «Задачник «Кванта» этого номера. Стоит отметить высокий уровень организации олимпиады, благодаря которому она превратилась в настоящий праздник для лучших юных математиков страны. На церемонии закрытия награды победителям олимпиады и дипломы вручил министр образования и науки Российской Федерации Д.В.Ливанов, с напутствием для одаренных школьников выступил лауреат Филдсовской премии С.К.Смирнов. Кроме традиционных экскурсий в программу олимпиады были включены научно-популярные лекции известных математиков: «Задачи простые и сложные» А.Шеня, «Что такое случайное блуждание?» С.Смирнова, «Сложность вычислений, и почему без нее не прожить» Э.Гирша. Ниже приведены условия задач и список победителей и призеров заключительного этапа XLI Всероссийской олимпиады школьников по математике.

ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ

9 класс

Числа a и b таковы, что каждый из двух квадратных трехчленов $x^{2} + ax + b$ и $x^{2} + bx + a$ имеет по два различных корня, а произведение этих трехчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трех корней. С.Берлов
Параллелограмм ABCD таков, что $\angle B < 90 ^\circ$ и AB < BC. Точки E и F выбраны на окружности $\omega$ , описанной около треугольника ABC, так, что касательные к $\omega$ в этих точках проходят через D. Оказалось, что $\angle$ EDA $= \angle$ FDC. Найдите угол ABC. А.Якубов

Натуральные числа a, x и y, большие 100, таковы, что

(

)

$y - 1 = a^{2} x^{2} - 1$ . Какое наименьшее значение может принимать дробь a x?

В.Сендеров

В волейбольном турнире участвовали 110 команд, каждая сыграла с каждой из остальных ровно одну игру (в волейболе не бывает ничьих). Оказалось, что в любой группе из 55 команд найдется одна, которая проиграла не более чем четырем из остальных 54 команд этой группы. Докажите, что во всем турнире найдется команда, проигравшая не более чем четырем из остальных 109 команд. С.Берлов
По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных? С.Берлов
См. задачу М2398 «Задачника «Кванта».
Остроугольный треугольник ABC (AB < AC) вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота этого треугольника. Луч MH пересекает Ω в точке $A '$ . Докажите, что окружность, описанная около треугольника $A ' HB$ , касается AB. А.Голованов, А.Якубов
См. задачу М2402 «Задачника «Кванта».

10 класс

См. задачу М2400,а «Задачника «Кванта».
Дан параллелограмм ABCD, в котором AB < AC < < BC. Точки E и F выбраны на окружности $\omega$ , описанной около треугольника ABC, так, что касательные к $\omega$ в этих точках проходят через D; при этом отрезки AD и CE пересекаются. Оказалось, что $\angle$ ABF $= \angle$ DCE. Найдите угол ABC. А.Якубов, С.Берлов
На соревнованиях по фигурному велосипедированию было 100 судей. Каждый судья упорядочил всех участников (от лучшего по его мнению – к худшему). Оказалось, что ни для каких трех участников A, B, C не нашлось трех судей, один из которых считает, что A – лучший из трех, а B – худший, другой – что B лучший, а C худший, а третий – что C лучший, а A худший. Докажите, что можно составить общий рейтинг участников так, чтобы для любых двух участников A и B тот, кто выше в рейтинге, был бы лучше другого по мнению хотя бы половины судей. И.Богданов
Обозначим через S ( k ) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовем n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел $a_{0}, a_{1},...$

КВАНТ 2015/№5-6

Быкова Софья – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Урманов Максим – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Семенов Никита – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Спиридонов Игорь – Москва, школа 179, Карагодин Никита – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Гилязев Юлиан – Оренбургская обл., Абдулинский р-н, школа 3, Федорец Никита – Москва, школа 1329, Бикеев Артур – Казань, лицей 131, Новиков Михаил – Новосибирск, лицей 9, Фафурин Олег – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Добронравов Егор – Новосибирск, лицей 130 им. академика М.А.Лаврентьева, Лямкин Михаил – Барнаул, гимназия 42, Рябов Егор – Москва, школа 2086, Окопная Евгения – Москва, школа 2007 с углубленным изучением физики и математики, Нефедов Андрей – Иваново, лицей 33, Шеремет Артем – Москва, школа 1329, Югов Василий – Пермь, школа 46 с углубленным изучением математики, физики и информатики, Андреев Яков – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Евсеев Павел – Москва, лицей «Вторая школа», Студеникина Алевтина – Москва, школа 1329, Мухаметшина Камиля – Казань, лицей 131, Евтушевская Ариадна – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Воронов Артем – Серпухов, школа 9 с углубленным изучением отдельных предметов, Кравцова Екатерина – Белгород, лицей 38, Дроздова Александра – Нижний Новгород, лицей 165 им.65-летия «ГАЗ», Иго Андрей – Новосибирск, гимназия 6 «Горностай», Левин Лев – Новороссийск, гимназия 5, Чепасов Анатолий – Ульяновск, гимназия 13;

по 10 классам – Крутовский Роман – Москва, гимназия 1514, Вепрев Георгий – Рыбинск, лицей 2, Губкин Павел – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Рябов Павел – Москва, гимназия 1543, Османкин Евгений – Новороссийск, гимназия 5, Акилбаева Екатерина – Москва, школа 218, Лиждвой Валентин – Москва, лицей «Вторая школа», Алексеев Ярослав – Санкт-Петербург, ФМЛ 30, Ахметов Жанат – Курган, гимназия 47, Фадин Михаил – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Цой Никита – Москва, школа 2007 с углубленным изучением физики и математики, Меньшенин Алексей – Москва, лицей 1568 им. Пабло Неруды, Балакин Андрей – Москва, школа 2007 с углубленным изучением физики и математики, Лялина Альбина – Ижевск, ИЭМЛ 29, Азангулов Искандер – Набережные Челны, гимназия 26, Макеев Владислав – Москва, СУНЦ МГУ, Шамсутдинов Булат – Казань, лицей 131, Овечкин Григорий – Ижевск, ИЭМЛ 29, Кора Александр – Набережные Челны, гимназия 26, Бабушкин Егор – Курган, школа 22, Зенкова Яна – Новосибирск, СУНЦ НГУ, Мосеева Татьяна – Ярославль, школа 33 им. К.Маркса с углубленным изучением математики, Лупуляк Ольга – Санкт-Петербург, ФМЛ 239,

Коваленко Кирилл – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Ким Раиса – Москва, школа 1329, Горячев Владимир – Москва, гимназия 1514, Чуфаровский Николай – Москва, СУНЦ МГУ, Зайцев Егор – Ижевск, ИЭМЛ 29, Марченко Артемий – Саров, лицей 15 им. академика Ю.Б. Харитона, Файрушин Айдар – Набережные Челны, гимназия 26, Молчанова Вероника – Краснодар, лицей 64, Кошелев Михаил – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Терехов Михаил – Ульяновск, Ульяновский городской лицей при УлГТУ, Зосимова Жанна – Ижевск, ИЭМЛ 29, Лычагина Елена – Курган, гимназия 19, Путилин Михаил – Новосибирск, гимназия 6 «Горностай»;

по 11 классам – Гладков Никита – Томск, ФТЛ, Зимин Александр – Ульяновск, школа 52, Лосев Илья – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Новиков Святослав – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Кузнецов Александр – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Макаров Владислав – Санкт-Петербург, школа 450, Куликов Алексей – Санкт-Петербург, ФМЛ 30, Матвеев Александр – Москва, школа 171, Богданов Илья – Москва, школа 2086, Нестеров Никита – Ульяновск, многопрофильный лицей 20, Зубрилина Нина – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Монаков Григорий – Санкт-Петербург, лицей 533 «Образовательный комплекс «Малая Охта», Стороженко Андрей – Омск, гимназия 117, Белых Евгений – Вологда, Вологодский многопрофильный лицей, Ходунов Павел – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Тарасов Александр – Иркутск, школа 10 с углубленным изучением отдельных предметов, Васильчишин Сергей – Киров, ФМЛ, Шатский Владимир – Москва, гимназия 1514, Очков Дмитрий – Москва, гимназия 1588, Румянцев Владислав – Москва, школа 179, Ахтямов Данил – Москва, СУНЦ МГУ, Мрыхин Михаил – Ижевск, ИЕГЛ «Школа–30», Пустовойтов Сергей – Югра, Югорский физико-математический лицей-интернат, Хадаев Константин – Новосибирск, школа 83, Мягков Константин – Санкт-Петербург, ФМЛ 30, Мусаткина Дарья – Чебоксары, лицей 3, Басимова Наталья – Москва, школа 2007 с углубленным изучением физики и математики, Шатохин Анатолий – Краснодар, школа 74, Багиров Фарид – Санкт-Петербург, лицей 533 «Образовательный комплекс «Малая Охта», Лукьянов Илья – Ульяновск, Ульяновский городской лицей при УлГТУ, Евтушевский Всеволод – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Тыщук Кирилл – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Лужецкий Илья – Москва, лицей «Вторая школа», Вахрина Анастасия – Йошкар-Ола, лицей 28, Манучарян Вардан – Магнитогорск, школа 5 с углубленным изучением математики, Валиуллин Артур – Уфа, гимназия 93,