XLVI Международная физическая олимпиада

65

ОЛИМПИАДЫ

2. Найдите все тройки ( a, b, c ) целых положительных чисел такие, что каждое из чисел аb – c, bc – a, ca – b является степенью двойки. (Степенью двойки называется число вида $2^{n}$, где n – целое неотрицательное число.) Сербия

3. Пусть ABC – остроугольный треугольник, в котором AB > AC. Пусть $\Gamma$ – окружность, описанная около него, H – его ортоцентр, а F – основание высоты, опущенной из вершины A. Пусть M – середина стороны BC. Пусть Q – точка на окружности $\Gamma$ такая, что $\angle$ HQA $= 90 ^\circ$, а K – точка на окружности $\Gamma$ такая, что $\angle$ HKQ $= 90 ^\circ$. Пусть точки A, B, C, K и Q различны и лежат на окружности $\Gamma$ в указанном порядке. Докажите, что окружности, описанные около треугольников KQH и FKM, касаются друг друга. Украина

Слева направо: Н.Агаханов (руководитель команды), И.Бочков, А.Кузнецов, А.Зимин, И.Фролов, Д.Терёшин (зам. руководителя), Р.Салимов, Н.Гладков

Полная информация о результатах на международных математических олимпиадах есть на официальном сайте олимпиады www.imo-official.org. В этом году летние учебно-тренировочные сборы для команды и ближайшего резерва были проведены в Сочи в рамках первой смены образовательного центра «Сириус» (http://siriusdeti.ru), который был создан по инициативе Президента России В.В.Путина фондом «Талант и успех». Руководители команды благодарны правлению фонда «Талант и успех» и все организаторам центра «Сириус» за прекрасные условия, созданные для проведения занятий и досуга ребят. Благодаря фонду усилилась работа на перспективу: по сравнению с прошлым годом почти вдвое увеличилось число участников сборов – кандидатов в сборные России следующих лет.

ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ

1. Конечное множество S точек на плоскости будем называть сбалансированным, если для любых различных точек A и B из множества S найдется точка C из множества S такая, что AC = BC. Множество S будем называть эксцентричным, если для любых трех различных точек A, B и C из множества S не существует точки P из множества S такой, что PA = = PB = PC. а) Докажите, что для любого целого $n \ge 3$ существует сбалансированное множество, состоящее из n точек. б) Найдите все целые $n \ge 3$, для которых существует сбалансированное эксцентричное множество, состоящее из n точек. Нидерланды

2. Пусть Ω – окружность, описанная около треугольника ABC, а точка O – ее центр. Окружность $\Gamma$ с центром A пересекает отрезок BC в точках D и E так, что точки B, D, E и C все различны и лежат на прямой BC в указанном порядке. Пусть F и G – точки пересечения окружностей $\Gamma$ и Ω, при этом точки A, F, B, C и G лежат на Ω в указанном порядке. Пусть K – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника BDF, и отрезка AB. Пусть L – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника CGE, и отрезка CA. Пусть прямые FK и GL различны и пересекаются в точке X. Докажите, что точка X лежит на прямой AO. Греция

3. Пусть R – множество всех действительных чисел. Найдите все функции $f : R \to R$, удовлетворяющие равенству f ( x + f ( x + y ) ) + f ( xy ) = x + f ( x + y ) + yf ( x ) для всех действительных чисел x и y.

Албания

6. Последовательность $a_{1}, a_{2}$, … целых чисел удовлетворяет следующим условиям: (i) $1 \le a_{j} \le 2015$ для всех $j \ge 1$; (ii) $k + a_{k} \ne l + a_{l}$ для всех $1 \le k < l$. Докажите, что существуют два положительных целых числа b и N таких, что n

$\sum ( a_{j} - b ) \le 1007^{2}$ j = m + 1 для всех целых чисел m и n, удовлетворяющих условию $n > m \ge N$. Австралия

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, М.Пратусевич, Д.Терёшин

XLVI Международная физическая олимпиада

В городе Мумбаи (Индия) с 5 по 12 июля 2015 года прошла очередная Международная олимпиада школьников по физике. В олимпиаде приняли участие 84 страны. Участникам олимпиады предлагались три теоретические задачи (теоретический тур) и две экспериментальные задачи (экспериментальный тур). Все задачи оценивались мак- симум по 10 баллов. Таким образом, каждый участник мог набрать максимум 50 баллов. В сборную России вошли пять школьников: Кирилл Воронин (Магнитогорск, Челябинская обл.), Георгий Корепанов (Саранск, Мордовия), Алексей Красников (Бугульма, Татарстан),