Bạn có quá quen thuộc với những điều cực đoan trong vật lý không?

…trong số tất cả các tia tới từ một điểm cho trước và bị phản xạ tại một điểm cho trước, những tia tối thiểu là những tia phản xạ từ gương phẳng và gương cầu ở những góc bằng nhau. Diệc Alexandria

Trong tất cả các đường đi từ điểm A đến điểm B, ánh sáng chọn đường đi mất ít thời gian nhất. Pierre Fermat

Ở cả hai phía của vị trí có giá trị lớn nhất, mức giảm ban đầu không nhạy cảm. Johannes Kepler

Không có gì xảy ra trên thế giới mà ý nghĩa của một mức tối đa hoặc tối thiểu nào đó không được nhìn thấy. Leonard Euler

Bạn có thực sự quen thuộc với điều này?

?

cực trị trong vật lý

Làm thế nào, khi có một số tiền nhất định, hãy chọn số lượng tối đa hàng hóa cần thiết trong cửa hàng; Làm thế nào để dành thời gian tối thiểu để chuẩn bị cho kỳ thi, tính điểm cao? Nhưng nhiệm vụ còn nghiêm trọng hơn: giảm đến mức giới hạn trọng lượng của thiết bị gửi lên Sao Hỏa; sản xuất càng nhiều sản phẩm càng tốt bằng cách sử dụng thiết bị hạn chế; đạt được chi phí vận chuyển thấp nhất khi giao hàng; phóng tên lửa lên độ cao tối đa với nguồn cung cấp nhiên liệu nhất định… Điều này không gì khác hơn là bài toán tìm kiếm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, mức tối đa và mức tối thiểu, mức cực trị tổng quát hoặc tối ưu hóa bài toán. Những thế kỷ cuối cùng của vật lý và toán học - đôi khi xung đột với nhau, thường là “song song” - đã đấu tranh với các phương pháp của họ lời giải và đã đạt được, không hề phóng đại, những kết quả xuất sắc, đưa họ tiến vào kinh tế, hóa học và y học…

Câu hỏi và bài toán

1. Dọc tuyến đường sắt có các cột km cách nhau 1 km. Một trong số chúng được sơn màu vàng và sáu chiếc được sơn màu đỏ. Tổng khoảng cách từ cột màu vàng đến tất cả các cột màu đỏ là 14 km. Khoảng cách tối đa giữa các điểm màu đỏ có thể là bao nhiêu $столбами?^{2.}$ Một bên đường thẳng là làng A và B. Vị trí trên đường nên đặt trạm dừng xe buýt sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến làng là $наименьшим?^{3.}$ Vị trí và vận tốc ban đầu của hai tàu chuyển động đều như trên hình. Cách tìm khoảng cách tối thiểu giữa $ними?^{4.}$ Xác định tốc độ tối thiểu mà một vận động viên bơi lội có thể bơi qua sông có chiều rộng d 40 m với điều kiện không được cuốn người đó đi xa hơn s 30 m. ​​Vận tốc của dòng sông $2^{м}$ s $.^{5.}$ Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của hình chiếu gia tốc của một vật chuyển động thẳng theo thời gian. Vào thời điểm nào tốc độ của cơ thể là ít nhất; $наибольшая?^{6.}$ Từ điểm A, vật chuyển động thẳng với vận tốc ban đầu bằng 0 và dừng lại tại điểm B. Trong trường hợp này, vật có thể chuyển động với gia tốc không đổi và đều. Bản chất của chuyển động phải như thế nào để thời gian của nó là $минимальным?^{7.}$ Có nhiều mặt phẳng nghiêng nhẵn có cùng đáy s nhưng có độ cao khác nhau. Ở độ cao h là thời gian vật trượt dọc theo

$наклонной^{плоскости}$ sẽ nhỏ nhất?$^{8.}$ Tốc độ của cánh tuabin hơi là bao nhiêu mà tại đó phần động năng cực đại của tia hơi nước chạm vào nó được chuyển thành năng lượng quay $турбины?^{9.}$ Trên sơ đồ p, T, quá trình thực hiện với một loại khí lý tưởng được mô tả dưới dạng một vòng tròn. Thể tích của khí không đổi. Cách xác định bằng đồ thị nơi khối lượng của một chất khí là lớn nhất và nơi nào $минимальна?^{10.}$ Áp suất của một chất khí lý tưởng giãn nở tuyến tính giảm một nửa khi thể tích của nó tăng gấp đôi. Nhiệt độ khí ban đầu $T_{0}$. Nhiệt độ tối đa trong trường hợp này là bao nhiêu $процессе?^{11.}$ Tìm khoảng cách tối thiểu giữa vật và ảnh thật của nó trong một thấu kính mỏng, đã biết tiêu cự F của nó.

Kinh nghiệm vi mô

Dán keo các mặt đối diện của một tờ giấy can hoặc giấy nướng hình chữ nhật. Đặt bề mặt thu được - có hình dạng tùy ý theo mặt cắt ngang - theo chiều dọc dưới đáy của một tấm phẳng và từ từ đổ nước vào đó, giữ sao cho nước không thể thấm qua bên dưới. Bề mặt sẽ có hình dạng gì?

Thật thú vị rằng…

…các đặc tính cực đoan của hình tròn và quả bóng ở Hy Lạp cổ đại đã được biết đến từ thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên. Tuy nhiên, bài toán thuộc loại này khi đó chỉ được nghiên cứu bằng phương pháp hình học và mỗi phương pháp trong số chúng đối với lời giải đều yêu cầu một kỹ thuật cụ thể. …các phương pháp tiếp cận chung để nghiên cứu cực đoan bài toán “được kích thích” bởi thực tiễn chỉ bắt đầu xuất hiện vào thế kỷ 17, dẫn đến việc tạo ra phép tính vi phân và tích phân - một công cụ nghiên cứu mạnh mẽ trong khoa học tự nhiên. …Vincenzo Viviani, một nhà khoa học người Ý, học trò của Galileo, người đã chế tạo một chiếc đồng hồ quả lắc dựa trên ý tưởng của thầy mình, và thay mặt Torricelli thực hiện thí nghiệm nổi tiếng để chứng minh sự tồn tại của áp suất khí quyển, đã nổi tiếng

Ten và cuốn sách “Về giá trị tối đa và tối thiểu” của ông. …ý tưởng, do Heron lồng tiếng, cho rằng thiên nhiên bị chi phối bởi những nguyên tắc cực đoan, được phát triển bởi Fermat. Từ ý tưởng về con đường ngắn nhất mà ánh sáng đi qua, ông đã đi đến tuyên bố về thời gian tối thiểu đi qua một môi trường không đồng nhất, điều này cho phép ông rút ra định luật khúc xạ ánh sáng. …sự xác nhận rằng thiên nhiên sử dụng các giải pháp cực đoan là hình dạng của các tế bào của tổ ong, việc xây dựng chúng sử dụng lượng sáp ít nhất cho một thể tích nhất định hoặc hình dạng của màng xà phòng, được giới hạn bởi hai vòng dây và có diện tích bề mặt nhỏ nhất. … trong khi nghiên cứu chuyển động của trọng tâm của các vật thể, Torricelli đã dựa vào nguyên lý mà ngày nay mang tên ông và phát biểu rằng một hệ cơ học ở trạng thái có thế năng thấp nhất sẽ ở trạng thái cân bằng. …trong số tất cả các quả bóng lăn dọc theo các rãnh trơn khác nhau từ điểm này đến điểm cụ thể khác, quả bóng trượt dọc theo cycloid (hoặc brachistochrone) sẽ đến mục tiêu nhanh nhất. VỚI lời giải cái này và tương tự bài toán, phát sinh trong hình học, cơ học và vật lý, việc tạo ra phép tính biến phân đã bắt đầu. …sự phát triển hơn nữa của lý thuyết cực trị bài toán trong thế kỷ 20 là do nhu cầu về du hành vũ trụ, năng lượng và vận tải, dẫn đến sự phát triển nhanh chóng của các lĩnh vực khoa học như lập trình tuyến tính, điều khiển tối ưu và lý thuyết thảm họa.

Đọc gì trong «Kvant» về cực trị trong vật lý

(xuất bản những năm gần đây)

1. “Bài toán cực đoan” – 2015, số 1, trang 46; 2. “Nguyên lý Fermat và hành trạng bất thường của ánh sáng” – 2017, số 2, tr. 27; 3. “Chuyển động của vật thể trong trường hấp dẫn” – 2018, số 9, tr. 29; 4. “Tìm hiểu phạm vi EXPO 2017” – 2019, số 3, tr. 34; 5. “Thuyết tương đối của chuyển động trong các bài toán động lực học” – 2019, số 4, tr. 40; 6. “Kiến đậu trong hộp thiếc” – 2020, số 2, tr. 31.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị