Bài toán

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

Bài toán

Với những giá trị nguyên nào của n thì một tam giác đều có cạnh n có thể được xếp bằng các viên gạch hình thang cân có các cạnh 1, 1, 1, 2?

một số phần được kết nối nhất định (một phần bao gồm các điểm mà giữa một hoặc nhiều đường chéo có thể đi qua). Số lượng các bộ phận này có thể nhiều hơn 15 không?

2. a) Có thể xảy ra trường hợp trong một nhóm gồm 10 nữ và 9 nam, tất cả các nữ đều biết số nam khác nhau và tất cả các nam đều biết cùng một số nữ? b) Nếu có 11 bạn nữ và 10 bạn nam thì sao?

không chia hết cho 5 hoặc những số mà chữ số thứ nhất và thứ hai từ bên trái sang bên trái không phải là số năm?

3. Mỗi ô của hình vuông chứa 8u8

Tác giả của bài toán này là N.B. Vasiliev

Minh họa của D. Grishukova

4. Những số có năm chữ số lớn nhất là gì:

các ô vẽ một trong các đường chéo. Hãy xem xét sự kết hợp của 64 đường chéo này. Nó bao gồm một số

28

KVAN T 2020/Số 8

với n 4 bạn nhận được vô số ví dụ cho mọi n chẵn. Có thể “tái cấu trúc” một đa giác sau đây: lấy một trong các góc nhỏ của nó và cắt ra một hình bình hành từ nó, như trong Hình 3. Một ma-

Cơm. 3

góc nhỏ sẽ biến thành hai góc nhỏ bằng nhau và một góc lớn.

Bài tập 3. Nghĩ ra một cách “sắp xếp lại” khác để thêm hai đỉnh vào đa giác.

Vì vậy, đối với các đa giác có số cạnh chẵn, có một loạt ví dụ. Vẫn còn phải hiểu số lẻ n nào tồn tại n-giác phù hợp. Chúng ta hãy xem xét n nhỏ nhất trong số tất cả n như vậy, chúng ta hãy ký hiệu nó là M. Sau đó, với mọi n lẻ lớn hơn M, có thể thu được một ví dụ phù hợp bằng cách lặp lại việc “tái cấu trúc” số lần cần thiết (bạn cũng cần đảm bảo rằng có ít nhất một góc nhỏ trong ví dụ ban đầu để có thể thực hiện “tái cấu trúc”). Vẫn còn phải tìm M. Có một điểm không chính xác ẩn chứa trong lý do trên: n nhỏ nhất như vậy có thể không tồn tại - nếu không có ví dụ nào phù hợp cho n lẻ cả. Nhưng bây giờ chúng tôi sẽ đưa ra một ví dụ như vậy.

Ví dụ đầu tiên Chúng ta hãy quay lại cách xây dựng trong Hình 2. Tại $J = 180 \infty$ một “giác chẵn” như vậy sẽ biến thành một “giác lẻ” (Hình 4). Vì

Cơm. 4

Ví dụ n nhỏ nhất được sắp xếp theo cách này là gì? Tổng các góc $E_{1} + E_{2} +^{…} + E_{k}$ phải lớn hơn $180\infty$, nhưng tất cả các số hạng trong tổng đều nhỏ hơn $10\infty$, nghĩa là có ít nhất 19 số hạng trong số đó. Khi đó tổng số đỉnh ít nhất là 19 20 39. Không khó hiểu khi có thể chọn được các giá trị góc cần thiết. Vì vậy, thu được ví dụ về n 39, có nghĩa là M £ 39.

Ước tính đầu tiên Đã có một số ví dụ, bây giờ chúng ta hãy ước tính số cạnh của một đa giác phù hợp. Chúng tôi sẽ xem xét hướng dẫn một lần nữa, nhưng theo cách khác. Hãy bắt đầu đi quanh đường viền của đa giác ngược chiều kim đồng hồ và xem hướng chúng ta di chuyển thay đổi như thế nào. Vì trong một đa giác phù hợp, mỗi góc đều nhỏ hoặc lớn, nên khi chúng ta di chuyển sang cạnh tiếp theo, hướng mà chúng ta đang di chuyển sẽ thay đổi gần như ngược lại. Không có khó khăn gì với ví dụ về số chẵn n - khi đi vòng quanh, hướng thay đổi gần như ngược lại số lần chẵn và trở thành hướng ban đầu. Trong trường hợp n lẻ, chúng ta sẽ cần ước tính mức đóng góp có thể có của những “gần như” này. Chúng ta có thể giả sử rằng các hướng tương ứng với các tia phát ra từ một điểm. Các Hình 5,a và 6,a thể hiện đường truyền của các đa giác, và trong các Hình 5,b và 6,b, điểm đầu của cùng một hướng tia của đường truyền được di chuyển đến một điểm. Chúng tôi sẽ theo dõi góc mà hướng thay đổi. Một số lượt xảy ra theo chiều kim đồng hồ, một số ngược chiều kim đồng hồ. Phương hướng

Cơm. 5

31

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

i a - b £ - 1, thì $10 \infty$ ◊ $b > 180 \infty$ ◊ 3, tức là $n \ge b \ge 55$. Vì vậy, trong mọi trường hợp số đỉnh ít nhất là 35: $M \ge 35$.

Chúng tôi lấy một ví dụ

Từ ước tính, phương án n 35 chỉ có thể thực hiện được với a 19, b 16. Điều này giúp đưa ra một ví dụ: 4 góc nhỏ liên tiếp (theo thứ tự đi xung quanh ranh giới đa giác), sau đó là góc lớn, rồi lại là góc nhỏ, v.v. - các góc nhỏ xen kẽ với các góc lớn (Hình 11).

Cơm. 11

Vẫn còn phải chứng minh rằng một ví dụ được sắp xếp theo cách này thực sự tồn tại và chúng ta sẽ không bị cản trở bởi bất kỳ mâu thuẫn nào mà chúng ta chưa chú ý đến. Việc xây dựng ví dụ có thể được mô tả như sau. Hãy lấy một hình tam giác, hai góc nhỏ hơn $10\infty$ và góc thứ ba nhỏ hơn $170\infty$ (ví dụ: 9q, 9q, 162q). Hãy cắt góc lớn hơn của nó thành 17 góc nhỏ nữa (trong hình $12 их^{8).}$) Chúng ta sẽ có một đường gãy khép kín, trong đó một số liên kết chồng lên nhau. Có 19 góc nhỏ và 16 góc trong $360\infty$ (trong hình chúng được đánh dấu màu đỏ). Vẫn phải di chuyển các đỉnh một cách tuần tự để các cạnh không còn chồng lên nhau nhưng đồng thời các góc nhỏ vẫn nhỏ. Như vậy, hình mong muốn sẽ thu được đa giác $Итак,^{M} = 35$. Bài toán đã giải quyết.

Cơm. 12

TRẺ EM HỌC SINH

Cuối cùng, chúng tôi sẽ trình bày thêm hai bài toán thú vị hơn về các chủ đề được nêu ra.

Bổ sung bài toán

1 (V. Proizvolov, “Bài toán để tăng trưởng”). Mỗi góc của 19 giác là bội số của $10\infty$. Chứng minh rằng nó có hai cạnh song song.

2. Số góc nhọn lớn nhất có thể là a) trong một lồi, b) trong một n-giác tùy ý là bao nhiêu?