Những quả bóng bí ẩn

44

KVA NT 2020/Số 8

họ đang ở trên xe buýt số 12, và người phù thủy đầu tiên đã 48 tuổi. Bài toán đã giải quyết! Bạn có thể xem trực quan lời giải của bài toán này trong [4].

---

Hãy cố gắng tự mình tìm ra các tùy chọn đối thoại của trình hướng dẫn sau đây. 1 (đơn giản hóa bài toán Conway, tác giả – T. Khovanova [1]). Đáp: Tôi có mấy đứa con, tuổi của mỗi đứa là một số nguyên dương, tổng của chúng bằng số của chiếc xe buýt này. B: Thật thú vị! Có lẽ nếu bạn cho tôi biết số con của bạn, tôi có thể tính được tuổi của chúng? Đ: Không, bạn không thể. B: Vâng! Cuối cùng tôi đã biết bạn có bao nhiêu đứa con. Số xe buýt là gì? 2 (phiên bản được biết đến rộng rãi). A: Tôi có ba đứa con, tuổi của mỗi đứa là một số nguyên dương và tổng của chúng bằng số của chiếc xe buýt này và tích là $–^{36.} B:$ Nhưng tôi không thể tìm ra chúng bao nhiêu tuổi! A: Con gái của bạn lớn hơn tất cả các con của tôi. B: Cảm ơn, thế là đủ rồi.

Các con của Pháp sư A bao nhiêu tuổi và số xe buýt lần này là bao nhiêu? 3 (phiên bản của tác giả [3]). Đáp: Tôi có bốn người con trai, tích số tuổi của chúng bằng 180 và tổng số tuổi của chúng bằng số chiếc xe buýt này. B: Vẫn chưa đủ thông tin! A: Con trai út của tôi rất thích ăn kem. B: Và thế vẫn chưa đủ. A: Và hôm nay là sinh nhật của anh cả. B: Cảm ơn bạn, giờ tôi đã biết họ bao nhiêu tuổi rồi! 4. Thầy phù thủy bắt Alice và Bob và nói cho mỗi người một số nguyên từ 0 đến 10, và các số của họ khác nhau một (và họ biết điều đó). Đối thoại: Alice: Tôi không biết số của bạn và bạn cũng không biết số của tôi. Bob: Tôi không biết số của bạn và bạn cũng không biết số của tôi. Bây giờ bạn biết số của tôi! Số nào đã được trao cho Bob?

Văn học 1. Tanya Khovanova. Phù thủy của Conway. – https: arxiv.org abs 1210.5460 2. S. Artemov, Y. Gimatov, V. Fedorov. Rất nhiều bit không có gì. – «Kvant», $1977, №3.^{3.}$ K.Knop. Bài toán về con của người pha chế rượu. – https: $knop.livejournal.com^{375403.html} 4.$ A. Perepechko. Hình dung của bài toán của Conway. – https: kvantik.com thêm xe buýt conway

NHÀ XƯỞNG LA B “QUYỀN TÁ”

Những quả bóng bí ẩn

S. NOVIKOV

TRONG CUỘC ĐỜI CỦA MỌI NGƯỜI đôi khi anh ta phải đối mặt với một vật thể khép kín (thường không quen thuộc), cấu trúc bên trong của nó chỉ có thể đoán được. Những vật thể như vậy trở thành một loại “hộp đen”, khi chỉ có tín hiệu đầu vào và đầu ra (hoặc một số giá trị của chúng) được cung cấp cho người quan sát bên ngoài và những gì đang xảy ra bên trong thì không xác định được. Về hành vi của hộp đen bạn có thể

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200805

chỉ đánh giá bằng cách quan sát phản ứng của số lượng đầu ra với những thay đổi của số lượng đầu vào. Điều này giúp cuối cùng có thể tiết lộ “bí mật” của một vật thể như vậy. Bạn có thể đã từng gặp phải hộp đen - ví dụ như trong các sự cố về điện. Trong trường hợp của chúng tôi, các hộp đen là mười quả bóng nhựa trông giống hệt nhau với đường kính 75 mm, chưa rõ thành phần bên trong. Đầu tiên, chúng ta sẽ mô tả hành vi của các quả bóng trong các tình huống thử nghiệm khác nhau. Cố gắng bày tỏ suy nghĩ của bạn và giải thích lý do tại sao quả bóng (hoặc các quả bóng) hoạt động theo một cách nhất định trong tình huống được mô tả. Và chỉ sau đó đọc lời giải thích của chúng tôi.

Thí nghiệm với quả bóng

Thí nghiệm 1. Quả bóng số 1 và quả bóng số 2 được đặt ở cùng một độ cao trên một mặt phẳng nghiêng. Sau đó các quả bóng được đưa ra

45

PHÒNG THÍ NGHIỆM

khả năng đồng thời bắt đầu di chuyển xuống. Trong trường hợp này, người ta phát hiện ra rằng một trong các quả bóng chạm đến vị trí cuối cùng trước quả bóng kia. Tại sao? Thí nghiệm 2. Quả bóng số 3 lúc đầu được giữ ở đỉnh mặt phẳng nghiêng rồi được thả ra khỏi tác dụng từ bên ngoài. Quả bóng bắt đầu lăn chậm, nhưng nó lăn rất (và rất) chậm. Điều gì có thể là lý do cho một phong trào chậm như vậy? Thí nghiệm 3. Quả bóng số 4 bắt đầu di chuyển từ vị trí trên cùng trên mặt phẳng nghiêng xuống dưới trong các bước nhảy, mô phỏng chuyển động của cơ thể theo “bước”. Nếu quả bóng ở vị trí phía trên được quay theo hướng vuông góc với mặt phẳng nghiêng một góc nhất định rồi thả ra trở lại thì tính chất của quả bóng khi lăn không thay đổi. Điều gì có thể gây ra chuyển động giật cục của quả bóng như vậy? Thí nghiệm 4. Thí nghiệm gồm các quả bóng số 5 và 6. Các quả bóng được đặt trên một mặt phẳng nằm ngang và mỗi quả bóng được đặt độc lập trên mặt phẳng này và chỉ đứng yên ở một vị trí. Bằng cách đặt tay lên đầu mỗi quả bóng, họ sẽ làm lệch nó thành một góc đủ lớn so với phương thẳng đứng. Sau đó, quả bóng số 5 rất nhanh chóng (!) trở lại trạng thái ban đầu. Nếu quả bóng đó bị lệch khỏi phương thẳng đứng theo một hướng khác và được thả ra, thì nó ngay lập tức trở lại vị trí ban đầu. Quả bóng số 6 sau khi loại bỏ tác động từ bên ngoài sẽ dao động khá lâu rồi mới trở về trạng thái đứng yên ban đầu. Ngoài ra, nếu bạn cầm cả hai quả bóng trong tay, thì cảm giác đầu tiên cho thấy khối lượng của các quả bóng khá đáng kể và không cảm nhận được chuyển động nào của cơ thể bên trong quả bóng. Tại sao các quả bóng lại hành xử khác đi như vậy trước khi trở lại trạng thái đứng yên ban đầu? Thí nghiệm 5. Trong ảnh Hình 1 là một quả bóng số 7 nằm bất động trên mặt phẳng nằm ngang. Bên cạnh quả bóng có một đường dây dọi, hướng của sợi chỉ trùng với đường màu trắng (gọi là đường trục) trên thân quả bóng. Và bức ảnh trong Hình 2 cho thấy quả bóng tương tự, đang đứng yên trên một mặt phẳng nghiêng,

“QUAN TA”

Hình 1

Hình 2

mà không cố gắng làm xáo trộn trạng thái bất động. Lúc này đường trắng trên thân quả bóng không song song với đường thẳng đứng mà hướng vuông góc với mặt phẳng nghiêng. Trong trường hợp này, quả bóng có thể đứng yên trên một mặt nghiêng

46

KVA NT 2020/Số 8

một mặt phẳng có góc nghiêng khác (lớn hơn). Một lần nữa, đường tâm của quả bóng vuông góc với mặt phẳng nghiêng. Tại sao quả bóng có thể có hành vi này trên mặt phẳng nghiêng? Thí nghiệm 6. Quả bóng số 8 được đặt trên một mặt phẳng nghiêng và nó đứng yên ở vị trí đặt trên mặt phẳng đó. Nếu quả bóng không nhấc lên khỏi mặt phẳng nghiêng mà bị quay một góc nhất định theo bất kỳ hướng nào thì nó sẽ đứng yên và không cố gắng lăn. Những hành động như vậy có thể được lặp lại nhiều lần, nhưng trạng thái của quả bóng (sự bất động của nó trên mặt phẳng) sẽ không thay đổi. Tại sao? Thí nghiệm 7. Quả bóng số 9 (ảnh trong Hình 3) được treo bằng một sợi dây từ chân ba chân. Một cục pin AA được gắn vào thân quả bóng bằng băng dính, trên thân quả bóng có hai lỗ cắm để nối cục pin này với quả bóng. Nếu bạn nối quả bóng với pin bằng dây dẫn, quả bóng sẽ bắt đầu quay theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ (khi nhìn từ trên xuống). Nếu bạn thay đổi cực của pin thì

quả bóng sẽ quay theo hướng khác. Điều gì có thể là lý do cho hành vi kép như vậy của quả bóng? Thí nghiệm 8. Quả bóng số 10 được gắn bằng băng dính vào bàn chải nhỏ để làm sạch quần áo (ảnh Hình 4). Bàn chải và quả bóng nằm trên một bề mặt nằm ngang, và trên thân quả bóng lại có

Hình 4

ổ cắm để kết nối nó với pin AA. Nếu kết nối như vậy được thực hiện, quả bóng bắt đầu rung và bàn chải bắt đầu di chuyển theo một hướng nhất định. Khi thay đổi cực của pin, hướng chuyển động của bàn chải và quả bóng sẽ bị đảo ngược. Tại sao?

Giải thích thí nghiệm

Hình 3

Thí nghiệm 1. Đáp số “nằm trên mặt phẳng”: khối lượng của một quả bóng lớn hơn khối lượng của quả bóng kia. Quả bóng nhẹ hơn sẽ lăn xuống mặt phẳng nghiêng nhanh hơn; trong trường hợp của chúng tôi, nó trống rỗng. Một quả bóng lớn có mômen quán tính lớn hơn một quả bóng rỗng và nó cần nhiều năng lượng hơn để quay. Để chứng minh thí nghiệm này, chúng tôi đặt một miếng cao su xốp có gắn một số lượng lớn các viên bi chì khổng lồ vào bên trong quả bóng thứ hai. Thí nghiệm 2. Có thể có chất lỏng bên trong quả bóng. Khi quả bóng lăn, chất đó từ từ di chuyển từ vị trí cao hơn đến vị trí thấp hơn. Điều này làm chậm chuyển động của quả bóng xuống mặt phẳng nghiêng. Trong phiên bản của chúng tôi, những viên chì nhỏ (đường kính không quá 1 mm) đã được sử dụng cho việc này.

47

PHÒNG THÍ NGHIỆM

Tôi từng chứng kiến ​​​​trải nghiệm này tại một sự kiện ngoại khóa dành cho giáo viên vật lý tại nhà thi đấu ở làng Udelnaya, vùng Moscow. Trong phiên bản của họ, mật ong lỏng được đặt bên trong quả bóng. Hiệu quả của trải nghiệm thật ấn tượng.

Thí nghiệm 3. Một miếng chì hình lập phương khổng lồ được đặt bên trong quả bóng của chúng ta. Khi quả bóng lăn xuống mặt phẳng nghiêng thì khối lập phương bị lật lại. Điều này làm cho quả bóng chuyển động co thắt. Thí nghiệm 4. Cả hai quả bóng đều ở vị trí cân bằng ổn định. Sự ổn định của một vật thể có điểm tựa xảy ra khi trọng tâm của nó chiếm vị trí thấp nhất có thể. Quả bóng thứ năm minh họa hoạt động của chiếc cốc đồ chơi trẻ em. Bên trong quả bóng, một khối chì khổng lồ được gắn vào thân nó bằng keo. Ở trạng thái đứng yên (cân bằng ổn định), khối tâm của quả bóng nằm rất thấp, cách điểm tựa không xa. Ngoài ra, trọng tâm và điểm tựa nằm trên cùng một đường thẳng đứng (dây dọi và trục). Khi quả bóng nghiêng, trọng tâm của nó tăng lên và di chuyển theo phương ngang so với điểm tựa và đường thẳng đứng. Mômen trọng lực so với điểm tựa có xu hướng đưa quả bóng về trạng thái ban đầu. Bên trong quả bóng thứ sáu, ngay dưới mặt phẳng xích đạo của nó, có một đĩa chì lớn (“bánh rán” có tiết diện hình chữ nhật), được gắn chặt vào thân. Điểm khác biệt so với quả bóng thứ năm là khối tâm của nó cao tính từ điểm tựa. Khi quả bóng nghiêng, cánh tay trọng lực so với điểm tựa sẽ lớn hơn nhiều so với trường hợp chiếc cốc. Do đó, mômen trọng trường so với điểm tựa sẽ lớn hơn trường hợp trước. Kết quả là biên độ dao động của quả bóng tăng lên, đồng nghĩa với việc thời gian phân rã của dao động cũng tăng lên. Thí nghiệm 5. Nhìn kỹ bức ảnh ở Hình 3, bạn có thể thấy vật chất trên bề mặt của mặt phẳng nghiêng. Hóa ra có một tấm sắt được giấu dưới lớp vật liệu. Quả bóng được giữ trên mặt phẳng nghiêng như vậy bằng một nam châm neodymium (dạng viên) cỡ nhỏ, được gắn vào bề mặt bên trong của nó bằng keo. Thí nghiệm 6. Bên trong quả bóng có một nam châm neodymium ở trạng thái “tự do”. Tại

“QUAN TA”

Khi quả bóng quay một góc nhất định, nam châm sẽ trượt dọc theo bề mặt bên trong của nó, chiếm một vị trí mới và quả bóng tiếp tục đứng yên. Thí nghiệm 7. Bên trong quả bóng có một động cơ điện thu nhỏ được gắn chặt vào thân quả bóng. Trục quay (trục) của động cơ điện trùng với phương của đường kính thẳng đứng của quả cầu. Một đĩa lớn nhỏ được gắn trên trục động cơ. Khi động cơ điện được nối với nguồn điện, trục và đĩa lớn bắt đầu quay theo một hướng nhất định. Đồng thời thân bóng quay sang hướng khác. Tất cả điều này là hệ quả của sự biểu hiện của định luật bảo toàn xung lượng góc. Nếu tổng mô men của tất cả các ngoại lực tác dụng lên một vật bằng 0 thì xung lượng góc của vật đó không đổi. Nếu một bộ phận nào đó của vật đứng yên thu được một xung lượng góc nhất định có dấu nhất định (động lượng góc là một đại lượng vectơ), thì một phần khác của nó chắc chắn sẽ thu được xung lượng góc có dấu ngược lại.

Định luật bảo toàn động lượng góc được tính đến khi thiết kế máy bay trực thăng. Vì vậy, máy bay trực thăng do M.L. Mil có hai cánh quạt. Cánh quạt đầu tiên quay theo một hướng nhất định trong mặt phẳng nằm ngang phía trên cabin trực thăng. Và để ngăn thân máy bay trực thăng quay sang hướng khác, một cánh quạt ở đuôi được đặt phía sau nó, khi làm việc sẽ ngăn thân máy quay. Trực thăng sản xuất theo thiết kế của N.I. Kamov có hai trục vít rôto nằm trên cùng một trục phía trên cabin nhưng quay ngược chiều nhau.

Thí nghiệm 8. Bên trong quả bóng có một động cơ điện thu nhỏ được gắn chặt vào thân quả bóng. Một đĩa được gắn trên trục động cơ điện và sao cho trục của nó bị dịch chuyển so với trục của trục (người ta nói rằng đĩa được gắn với độ lệch tâm). Kết quả là khi động cơ điện hoạt động sẽ xảy ra các dao động cơ học gọi là dao động. Những rung động này làm cho bàn chải di chuyển cùng với quả bóng.

Chuyển động dao động của lệch tâm được sử dụng trong hoạt động của băng tải rung được thiết kế để vận chuyển các vật liệu phân tán mịn (lên đến hàng chục micron), dạng hạt và cục (lên đến 1000 mm trở lên). Chúng thường được sử dụng để di chuyển quặng trong ngành khai thác mỏ.

51

KỲ THI QUỐC GIA

sơn đè lên. Tìm kích thước tối thiểu của khu vực cần làm sạch sơn để có thể nhìn thấy toàn bộ phần đế phía dưới. Chiết suất của thủy tinh là 1,5. (10 điểm)

Tin học

Vòng loại Yêu thích bài toán

1. Các nhà khoa học ăn táo đã xây dựng một mô hình toán học về quy mô dân số ăn táo. Dữ liệu đầu vào: P – quy mô dân số; N – thời gian của giai đoạn lập mô hình tính bằng năm; U[i], i=1..N – Biến Boolean, giá trị True có nghĩa là năm thứ i có kết quả đối với táo. Thuật toán tính toán:

Đầu vào P, ​​N CC cho i từ 1 đến N Nếu U[i]=True Thì P := P * A Khác P := P * B Tất cả CC Đầu ra P

Khi các nhà khoa học về táo đưa vào mô hình quy mô dân số hiện tại và dự báo sản lượng táo trong 5 năm tới do các nhà khoa học về táo đưa ra, kết quả là con số 4725 - số người ăn táo sẽ có trong 5 năm tới, theo mô hình toán học. Quy mô dân số hiện tại của những người ăn táo là bao nhiêu nếu chúng ta biết A và B là các số tự nhiên và A! B? 2. Cậu học sinh Sidor mới phát hiện ra hệ thống số. Anh ấy đặc biệt thích những con số “tròn” - nơi có số 1 và sau đó có rất nhiều số 0. Sidor thích viết ra những con số như vậy từ các hệ thống số khác nhau (một cách tự nhiên, ông viết chúng theo hệ thống tròn và theo thứ tự tăng dần). Anh ta viết các số liên tiếp, không có khoảng trống - kết quả là một dòng số. Ví dụ, trong hệ nhị phân, phần đầu của dòng này như sau: 110100100010000… Sidor viết các số trên các mảnh giấy để ghi chú, khi hết mảnh giấy, Sidor viết số còn lại vào (các) tờ tiếp theo và sau đó, khi số kết thúc, anh bắt đầu số tiếp theo. Có bao nhiêu đơn vị

NGUYÊN VẬT LIỆU

hóa ra nó nằm trên tờ giấy thứ 33 của Sidor, nếu anh ta viết các số theo hệ tam phân và chính xác có 333333 chữ số nằm vừa trên tờ giấy? 3. Bạn phải trải qua một nhiệm vụ nhỏ gồm các nhiệm vụ liên quan đến nhau. 1. Đánh giá tính đúng đắn của các phát biểu dưới đây (1 – đúng, 0 – sai). Viết đáp số liên tiếp. x Số phút và giây của chúng tôi là di sản của hệ thống số Sumer cổ đại. x Phạm vi giá trị có thể có của byte không dấu bằng một nửa so với byte có dấu. x Máy tính không nhị phân tồn tại. x Trong hệ thống số ba, các số chẵn có tận cùng bằng 0. x Máy tính không thực hiện các phép tính số học mà chỉ lấy kết quả từ các bảng. $x BA_{N}$! $AB_{N}$ cho bất kỳ N tự nhiên nào! 9. x Bất kỳ số nhị phân nào chia cho 2 đều bằng chính số đó dịch chuyển sang phải theo bit. x Trong hệ cơ số 21, E + F = 19. 2. Coi đáp số của phép gán 1 là số nhị phân, tìm số lớn nhất có thể thu được từ nó trong một số phép dịch tuần hoàn (từ 0 đến 7) sang trái. 3. Kết quả bài 2 được viết dưới dạng A2 theo hệ thống số nào? 4. Chuyển kết quả bài 1 sang hệ thập phân. Sau đó xác định giá trị của số này nếu chúng ta hiểu nó được biểu diễn trong một hệ số có cơ số bằng một phần ba đáp số của nhiệm vụ 3. 4. Chúng ta hãy gọi palinindex của một số tự nhiên là số hệ thống số trong đó số đó có nhiều giá trị và đối xứng (chúng ta đang xem xét các hệ số có cơ số từ 2 đến 36). Ví dụ: palindrindex của 46 là 3, vì $46 232_{4} 141_{5} 22_{22}$. Nhưng số 47 có palinindex bằng 0. Tìm hai số liên tiếp trong phạm vi từ 600 đến 666 có palinindex bằng 0. Đối với đáp số, hãy nhập tổng của chúng. 5. Trong lâu đài cổ, cứ mỗi tiếng đồng hồ điểm, một bóng ma lại xuất hiện. Thời gian tồn tại của con ma là S giây. Đúng như dự đoán, đồng hồ điểm, đã nhiều giờ trôi qua kể từ nửa đêm hoặc trưa qua. mỗi-

52

KVA NT 2020/Số 8

Đòn đầu tiên diễn ra chính xác vào thời điểm giờ tiếp theo, khoảng cách giữa các đòn là 1 giây. Bạn cần đếm số lượng ma tối đa có thể có trong lâu đài. …Dừng lại, đừng bắt đầu viết chương trình nữa! Thực tế là lâu đài không nằm trên Trái đất. Ở vị trí của nó, có 2*H giờ trong một ngày và có M phút trong một giờ và M giây trong một phút. Đảm bảo dữ liệu đầu vào chính xác, số lượng ghost có hạn. 1) Tìm số ma tối đa tại H 12, M 60, S 10808. 2) Tìm số ma tối đa tại H 29, M 99, S 29410. 6. Thuật toán cho (Hình 4). Có bao nhiêu cặp giá trị A và B khác nhau mà thuật toán lặp lại?

Hình 4

Hình 5

7. Số N - byte không dấu; AND, OR, NOT – các phép toán logic theo bit. Từ các câu dưới đây, hãy chọn những câu mà nếu đúng thì mang đúng 3 bit thông tin về số N. A. (KHÔNG PHẢI N)! 3 B. N HOẶC 229 239 C. N HOẶC 28 0 D. N VÀ 90 2 E. N 32 F. N VÀ 168 128

Vòng chung kết

1. Mua hàng lớn (8 điểm) Bạn đang mua vật liệu từ một công ty tham gia cải tạo căn hộ. Nhà cung cấp của bạn bán sơn theo thùng và lon. Có một bảng tính (Hình 5). Giả sử khi bạn nhập số lượng sơn yêu cầu vào cột “Số lượng”, số tiền tối thiểu phải trả để mua số lít sơn không ít hơn yêu cầu sẽ xuất hiện ở cột “Chi phí”. Bạn nên viết công thức nào vào ô G6 để thực hiện các phép tính cần thiết? Công thức phải có thể sao chép được (bảng kéo dài xuống nhiều dòng). Đảm bảo thể tích của thùng không nhỏ hơn thể tích của bình.

2. Số chưa ghép nối (12 byte) Có hàm f (Hình 6) hoạt động với hai byte không dấu, kết quả cũng là một byte không dấu. Sinh viên Sidor đã viết một chương trình đầu tiên gán giá trị 0 cho biến S, sau đó trong một vòng lặp, nhận số X từ bàn phím 101 lần và gán giá trị f(S, X) cho S. Khi Sidor khởi chạy chương trình, anh ta nhập số 101, trong khi đó

53

KỲ THI QUỐC GIA

NGUYÊN VẬT LIỆU

Hình 6

Được biết, tất cả các số, ngoại trừ số 49, đều xuất hiện trong số những số được nhập hai lần (không nhất thiết phải liên tiếp). Số thứ 49 là bao nhiêu nếu chúng ta biết số thứ 11 là 200 và số 77 là số 3, và kết quả là chương trình xuất ra 55?

3. Sự lột xác của những con ăn táo (7 điểm) Vào mùa xuân, những con ăn táo thay lông, mỗi con cố gắng rụng hết lá kim của mình. Nhưng do đặc điểm của cơ thể, người ăn táo chỉ rụng kim theo từng gói: người ăn táo có thể rụng 3 kim với số lượng kim bất kỳ, không ít hơn 3; Ngoài ra, với số kim chẵn, anh ta có thể rụng một nửa số kim, và với số lẻ ít nhất là 5, anh ta có thể rụng 4 kim. Hơn nữa, nếu số kim trên người một người ăn táo sau khi thay đổi chia hết cho 3 thì sẽ mọc ra 4 kim mới, còn nếu không chia hết cho 3 mà chia cho 7 thì sẽ thành 6 kim mới. Có 4 con ăn táo đang lột xác trong chuồng. Hiện tại, chiếc thứ nhất có 31 kim, chiếc thứ hai có 73, chiếc thứ ba có 19 và chiếc thứ tư có 122. Có bao nhiêu chiếc có khả năng đặt lại tất cả các kim (số lần đặt lại không giới hạn)?

4. Đánh dấu lãnh thổ (15 điểm) Được đặt vào một ô trống của giá mảng, người ăn táo bắt đầu đánh dấu lãnh thổ của mình. Anh ấy thực hiện điều này bằng cách sử dụng thuật toán đệ quy sau (nó được mô tả hơi không chính thức, nhưng Yablokoed hiểu nó; Hình 7). Thực hiện nhiệm vụ này, người ăn táo dần dần chiếm toàn bộ giá, ngoại trừ các ô bị chiếm dụng và

Hình 7

các ô được rào lại bởi những không gian bị chiếm dụng từ không gian dành cho người ăn táo. Người ăn táo được đặt ở góc trên bên trái - một ô có tọa độ (1, 1) - của một mảng ngăn xếp có kích thước 2n + 1 x 2n + 1, 1 < n < 1000, trong đó ở “cột” ở giữa và ở “hàng” ở giữa, tất cả các ô ngoại trừ ba ô ở giữa đều bị chiếm giữ. a) Người ăn táo sẽ chiếm xong cái giá ở ô nào khi n = 4? b) Người ăn táo sẽ hoàn thành việc chiếm được cái giá ở ô nào tại n = 789?

5. Học sinh lớp Một (15 điểm) Bảy học sinh lớp Một đứng thành một hàng. Mỗi người trong số họ có thể ở một trong hai trạng thái: 1 – nhìn vào điện thoại, 2 – nhai bánh sandwich. Được biết, học sinh lớp một ngoài cùng bên phải có thể chuyển từ trạng thái quan sát sang trạng thái nhai chỉ bằng cách lấy điện thoại ra khỏi tay và trượt một chiếc bánh sandwich (và ngược lại). Trạng thái của các học sinh lớp một khác chỉ có thể được thay đổi nếu học sinh lớp một gần bên phải nhất nhìn vào điện thoại và các học sinh lớp một khác ở bên phải (nếu có) đang nhai bánh mì. Trong 5 giây bạn có thể thay đổi trạng thái của chỉ một học sinh lớp một. Lúc đầu, tất cả học sinh lớp một đều nhìn vào điện thoại. Vì đang là giờ ăn trưa nên cần phải cho tất cả vào trạng thái nhai. Giáo viên có thể làm được điều này trong bao nhiêu giây?

54

KVA NT 2020/Số 8

6. Mật khẩu được mã hóa (8 điểm) Petya đã đăng ký trên trang web và để không quên từ mật khẩu, anh quyết định ghi nó vào sổ tay, mã hóa nó trước. Đây là những gì được viết trong sổ tay của Petya:

1101111111100001110000001110

Từ nào được sử dụng cho mật khẩu? May mắn thay, Petya vẫn chưa vượt qua được tình trạng Fano.

7. Phép thuật (10 điểm) Tại Hogwarts, một bài học thực hành: 200 học sinh đi dọc con hẻm có 200 cây táo và thực hành phép thuật “Blossom” và “Opadamus”. Học sinh đầu tiên làm cho tất cả các cây táo nở hoa. Cái thứ hai thay đổi trạng thái của mỗi cây táo thứ hai và hoa sẽ rụng trên những cây táo được đánh số chẵn. Người thứ ba thay đổi trạng thái của mỗi cây táo thứ ba thành ngược lại, người thứ tư làm tương tự với mỗi cây táo thứ tư, v.v. Sau khi kết thúc bài học, sẽ có bao nhiêu cây táo nở hoa trong hẻm?

8. Các blogger (10 điểm) Dusya và Busya là những blogger ghi lại podcast âm thanh. Hôm nay họ đang ghi podcast về vấn đề tuyết rơi vào mùa đông không có tuyết và bắt đầu ghi âm cùng lúc. Dusya đã ghi lại đoạn độc thoại của mình trên điện thoại bằng micrô một kênh hỗ trợ tần số lấy mẫu 24576 Hz với độ sâu âm thanh 32 bit. Busya được ghi âm trong phòng thu ở chế độ âm thanh nổi với bốn kênh ghi âm, mỗi kênh hỗ trợ tần số lấy mẫu 98304 Hz với độ sâu âm thanh 64 bit. Dusya đã ghi lại tin nhắn trong 4 phút, sau đó chuẩn bị tải lên trong 6 phút (điều này không ảnh hưởng đến lượng thông tin của tệp) và bắt đầu tải nó lên kênh của mình và tốc độ kết nối của cô ấy là

1 Mbit/s. Busya không chỉnh sửa bất cứ điều gì và ngay sau khi ghi xong, cô bắt đầu tải bản ghi của mình lên với tốc độ 2 Mbit/s. Busya đã ghi lại bao nhiêu phút nếu chúng ta biết rằng các podcast được tải xuống cùng lúc?

9. Biểu thức logic (5 điểm) Thay thế biểu thức logic bằng một biểu thức giống hệt chứa không quá một phép toán logic:

$( A \int ( ÿ A > B ) ) Ÿ ( B \int ( B Æ A ) )$.

10. Truy vấn tìm kiếm (10 điểm) Hình 8 hiển thị kết quả của một số truy vấn tìm kiếm.

Hình 8

cú trong miền. Có bao nhiêu bit thông tin về giá trị của X mà thông báo “Các truy vấn “dứa & tình trạng hỗn loạn” và “dứa & sừng” trả về cùng một số kết quả” chứa, với điều kiện là giá trị của Y được biết và nằm trong phạm vi từ 25 đến 35?

Ấn phẩm về toán học được biên soạn bởi I. Komarchev, A. Moiseev, S. Preobrazhensky;

trong vật lý - T. Andreeva, M. Krupina, V. Kuzmichev;

trong khoa học máy tính – S. Kostorov, E. Krylova, K. Plotnikova