碰撞几何

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几何学
碰撞

Y.A.斯莫罗金斯基，
苏尔科夫

简单介绍一下。

现代物理学中经常遇到的问题之一就是弹性散射问题。通常是这样说的：如果已知两个零件在碰撞前的运动方向和能量，则有必要确定两个零件碰撞和分散（正如他们所说的，分散）后的速度（大小和方向）。

如果碰撞不伴随放热，则称为弹性碰撞，并且我们可以假设碰撞前后部分的动能之和相等。此外，粒子遵守动量守恒定律。

当两个粒子（气体分子或两个核子）相互碰撞时，碰撞的结果可能不同。如果粒子以足够大的距离飞行，

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上图：移动的球对同样静止的球的偏心撞击的照片。球以直角分开。静止的球碰撞后向右移动。照明为冲光式，闪光频率为每秒 25 次。

那么它们的运动方向几乎不会改变，粒子的路径只会稍微偏离直线路径；在其他情况下，当粒子碰撞时，可以说，正面碰撞时，它们的运动方向可能会发生很大的变化。如果我们知道粒子的初始状态（它们的速度矢量），那么如果我们设置散射角（粒子偏离的角度），碰撞后粒子的速度就可以确定

底部：质子与其他质子的连续碰撞，最初处于静止状态。该照片是在装有液氢的气泡室中拍摄的。飞行质子的痕迹以一串微小气泡的形式可见。

来自碰撞时的粒子（我们将在下面更精确地定义这个概念）。

虽然从原理上讲，找到粒子速度和散射角之间的联系并不是一件困难的任务，但计算必须按正确的顺序进行，否则很容易混淆。

解决碰撞问题的一种非常直观且方便的几何方法基于以下事实：

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每个碰撞过程都可以与由速度矢量组成的四边形相关联。使用这种方法，角度和速度的确定可以简化为三角学中已知的三角形的解。这种方法也很方便，因为它可以推广到更复杂的过程，例如核反应，甚至可以解决相对论力学中的问题。这里我们只讨论最简单的任务。

为了使用几何方法，需要引入速度空间的概念。由于速度是矢量，因此可以用它执行的操作与用位移（距离）矢量执行的操作非常相似。因此，正如所有可能的位移形成（或者，如果您愿意，填充）一个公共空间（我们将其称为坐标空间）一样，所有可能的速度形成一个类似的几何对象 - 速度空间。我们将在速度空间中构造和求解三角形。

与坐标空间类比来讨论速度空间的性质是最方便的。因此，我们首先填充后者的一些属性。

坐标空间。

考虑一个二维空间，例如向各个方向无限延伸的房间地板。

如果平面上有多个点（地板上的物体），那么为了讨论这些点的位置，我们需要选择一个截止体 - 其中一个点，例如 $O$ (图 1)。那么任意点$A$相对于$O$的位置由半径向量$\vec{OA}$给出，从点$O$看向该点，或者，也可以说，从点$O$到点$A$的位移向量。

如果我们想告诉别人如何找到点$A$，那么除了切割体$O$之外，我们还必须选择另一个点$C$（图2），以便说出向量$\vec{OA}$与方向$OC$所成的角度$\alpha$。该角度与半径向量 $\vec{OA}$ 的长度一起确定点 $A$。

也可以采用不同的方式：通过点 $O$ 绘制两条相互垂直的线 $OX$ 和 $OY$（坐标轴），其中一条穿过点 $C$，并指定两个数字 $A_x$ 和 $A_y$ - 向量 $\vec{OA}$ 在坐标轴上的投影。

将来，我们将只考虑那些不依赖于坐标系的量 -

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点之间的距离和直线之间的角度。因此，我们不需要引入坐标系。

如果您选择点以外的其他内容作为报告正文 $O$，以及平面上的其他点，例如一个点 $B$ (图 1)、然后是该点的位置 $A$ 相对地 $B$ 将由半径向量确定 $\vec{BA}$，等于向量之和 $\vec{BO}$ 和 $\vec{OA}$。换句话说，如果我们转向新的报告正文 - 点 $B$，由向量给出 $\vec{OB}$，然后为了找到半径向量 $\vec{BA}$，它决定了身体的位置 $A$ 相对地 $B$，需要向量 $\vec{OA}$，它决定了身体的位置 $A$ 相对于报告的第一个初始正文 $O$，添加向量 $\vec{BO} = -\vec{OB}$.

显然，正确的矢量相加的图形描述略有不同。添加的向量被绘制为来自一点，即构造向量$\vec{BD}$，平行向量$\vec{OA}$且长度相等（图3）。向量 $\vec{BA}$ 被认为是 $\vec{BO} + \vec{BD}$ 的和。但是您可以添加向量，如 图 1 所示。接下来我们将需要

这正是增加速度的方法。

这些销钉是水平移动还是垂直移动，从而定义了主体在平面上的相对位置。现在我们感兴趣的是物体沿平面匀速直线运动的相对速度。

速度空间

让我们在平面上放置一个点，将其表示为$V_0$，并绘制相对于报告物体$O$移动的任何物体的速度矢量，以便这些矢量的原点位于点$V_0$。令 $V_A$ 为物体速度矢量 $A$ (图 4) 终点所在的点。由于速度是单位时间的位移矢量，因此速度矢量的累加方式与位移矢量完全相同。因此，如果我们选择的不是点$O$，而是其他物体，例如$B$，其相对于$O$的速度向量为向量$\vec{V}_0\vec{V}_B$，则可以利用我们在考虑坐标空间时讨论过的向量加法规则找到$A$相对于$B$的速度向量。物体$A$相对于$B$的速度等于向量$\vec{V}_B\vec{V}_O$和$\vec{V}_O\vec{V}_A$之和，即向量

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茹$V_B V_A$。本质上我们只需要检查从点$V_B$到点$V_A$的向量。

显然，我们平面上任何物体$C$的速度都必须对应于某个点$V_c$，该点是向量$\vec{V}_o V_c$的端点-物体$C$相对于物体$O$的速度。从点$V_c$到平面上任何其他点（例如$V_A$）绘制的矢量由物体$A$相对于物体$C$的速度矢量表示。

这使我们不仅可以将物体的速度表示为矢量，还可以表示为速度空间中平面上的点。这个平面上的任何一点都意味着物体的速度，从一点到另一点的矢量就是物体的相对速度矢量。我们一开始的$V_o$点的含义是很清楚的。这是身体的速度$O$。

当然，使用速度空间，我们不区分位于坐标空间中不同点但具有相同速度的物体。它们都对应于速度空间中的同一点。因此，到图 4，我们无法确定物体$C$是否会到达物体$O$或远离它。这通常取决于我们正在解决的问题的条件以及坐标空间中物体的位置。

运动图

现在让我们继续解决散射问题。让一个质量为$m_1$、速度$v_1$的粒子与另一个质量为$m_2$、速度$v_2$的粒子碰撞，碰撞后相应粒子的速度为$v_1'$和$v_2'$）。任务是找到速度

*) 我们认为粒子像台球一样移动：撞击本身持续的时间很短，其余时间粒子移动就像自由一样。那么“事前”和“事后”这两个表达就完全可以理解了。

$v_1'$ 和 $v_2'$，如果向量 $v_1$ 和 $v_2$ 以及粒子质量已知。

当然，速度$v_1'$和$v_2'$不能具有任意值。首先，它们必须满足动量守恒定律（动量）：

$$m_1 v_1' + m_2 v_2' = m_1 v_1' + m_2 v_2' ,$$

(1) 其次，它们必须满足能量守恒定律：

$$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 v_1'^2}{2} + \frac{m_2 v_2'^2}{2} .$$

如果撞击前后的粒子沿一条直线移动（这种撞击称为中心撞击），则这些方程的求解非常简单。我们可以为向量的长度写出完全相同的标量方程，而不是向量方程（1）。然后我们得到两个带有两个未知数的标量方程：$v_1'$和$v_2'$。但更常见的是，您必须应对偏心撞击，即粒子以不同角度分离。将粒子速度矢量投影到两个相互垂直的方向（其中一个方向被方便地选择为与散射前任何粒子的速度平行），结合方程（1），我们可以为矢量投影写出两个精确的标量方程。因此，偏心撞击情况下的守恒定律对于散射后的粒子以及这些矢量与我们选择的方向形成的两个角度应该有用。如果指定了其中一个量，则可以求解方程。

任何报告系统中的冲突部分。我们以粒子 1 在撞击前四处搜寻的系统为例（这样的系统称为实验室系统）。它包含$v_1 = 0$，动量守恒定律如下：

$$m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' .$$

这意味着三个向量

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$m_2v_2, m_1v_1'$和$m_2v_2'$形成一个三角形。任何相对粒子速度（碰撞之前和之后）都位于该三角形的平面内。因此，我们只考虑二维速度空间就足够了。

让我们在速度平面上标记$v_1, v_2, v_1'$和$v_2'$。我们将简单地用数字 1、2、1’ 和 2’ (图 5) 来表示相应的点。让我们证明这些点位于等梯形的顶点。为此，我们引入了一种新的报告系统：质量中心系统。它被选择为使得其中碰撞粒子的冲量大小相等且方向相反。对于粒子 1 和 2，点 $C$（质心速度）位于连接这些点的直线上，并将该直线分成与粒子质量成反比的线段。如果我们用$u_1$和$u_2$表示质心系统中的粒子速度，则$m_1u_1 = m_2u_2$。

这个等式类似于杠杆均衡规则。对应于光粒子的点距离中心更远。显然，质心系统中粒子的总动量为零。由于该系统的动量守恒定律，计算后粒子冲量之和也将等于0。这意味着点 $C$ 位于连接这些点的线上，并将该线分成与粒子质量成反比的线段。

不难证明，由于质心系统能量守恒定律，每个粒子的冲量大小并不改变，而只是方向改变。为此，粒子的能量必须通过其脉冲的大小来表示，并将能量守恒定律写成以下形式

$$\frac{(m_1u_1)^2}{2m_1} + \frac{(m_2u_2)^2}{2m_2} = \frac{(m_1u_1')^2}{2m_1} + \frac{(m_2u_2')^2}{2m_2},$$

在此方程中，将粒子 2 的脉冲替换为大小相等的粒子 1 的脉冲，反之亦然。在第一种情况下，我们得到$m_1u_1' = m_1u_1$或$u_1' = u_1$，在第二种情况下，我们得到$m_2u_2' = m_2u_2$或$u_2' = u_2$。这意味着在 图 5 处，结果是一个等梯形。

如果两个粒子的质量相等，那么这个梯形就会变成矩形。 （从$m_1 = m_2$开始，然后$u_1 = u_2 = u_1' = u_2'$。）

多项任务

让我们看一下可以使用运动图解决的几个问题。

Nanhem 具有等质量粒子非中心撞击的情况 (图 6)。如果第 1 点在解释之前

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买，那么角度212’就是粒子2在散射过程中轨迹偏离的角度。粒子 1 沿方向 1’ 飞出。角度211’称为反冲角。该图显示，在碰撞前购买其中一个粒子（粒子1）的坐标系中，碰撞后粒子1和2在方向11’和12’上以直角分散。

让我们考虑两个坐标系：α是质心系统中的散射角，β是粒子1在撞击之前购买的系统中的散射角。该图显示α=2β，因为α是与等边三角形12’C中的角β不相邻的外角。实验室系统中改变的散射角是质心系统中散射角的一半。

如果我们绕点 C 旋转线段 12 和 12’ - 然而，让线段 12 静止并仅旋转线段 12’ 更方便 - 那么我们将描述在散射之前粒子在给定能量（或者相同的是，在给定速度）下的所有可能的散射情况，即所有可能的碰撞情况。

在这种情况下，我们将看到质心系统中的散射角α改变了360°：顺时针180°和逆时针180°。由于在实验室系统中，散射角 β 是散射角 β 的一半： v2’ = v2cosβ，其中 v2 是该系统中粒子 2 的初速度。

现在让我们考虑质量不等的零件的碰撞问题。为了增加所有可能的散射情况，我们将再次围绕点 C 旋转线段 12’。粒子 1 较轻，则点 1 描述的圆比

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点 $2'$ (图 7, a)。 （从$m_1u_1 = m_2u_2$开始，然后在$m_1 < m_2$、$u_1 > u_2$。）从图7a可以清楚地看出，在散射前埋入重部分2的参考系中，轻部分1可以以任意角度散射（散射角-$121'$）。

如果挖较轻的部分1，情况就不同了。由于点 $2'$ 位于小半径圆上，因此显然线段 $C2'$ 必然位于从点 1 可见该圆的角度内 (图 7, b)。这意味着，在粒子 1 散射前被掩埋的坐标系中，粒子 2 的最大散射角（角度 $212'$）等于从点 1 可以看到圆的灌溉的角度，由围绕点 $C$ 的线段 $2'C$ 的表达式得出。从图 8（这是图 7的放大部分，b）我们发现

$$\sin \alpha_{\max} = \frac{u_2'}{u_1} = \frac{u_2}{u_1} = \frac{m_1}{m_2}.$$

如果重的部分分散在轻的部分上，那么它就不能偏离太大的角度。最大角度由质量比决定。

因此，您需要学习阅读图表，然后继续学习简单的三角学，它可以回答任何问题。我们现在不能每次都求解表达能量和动量守恒定律的方程，而是立即在速度空间中绘制运动学图（自动满足这些定律），然后从可观察的角度考虑它，以不同的速度运动。在 图 9 上，从三个不同参考系的角度描述了相同的碰撞过程：a）在质心坐标系中，b）在 LABorator 坐标系中，其中部分 1 在散射之前被挖掘，b）在任意参考系 O 中。

自己解决以下问题。