教材《数学分析》

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教程
“数学分析”*)

M·L·斯莫良斯基

计算机技术的飞速发展，高速计算机在国民经济、科学技术各个领域的引入，带动了新专业的出现。其中之一是专业“计算机程序员”。随着计算机数量的增加，对程序员、计算机和其他为这些机器提供服务的专家的需求也将不断增加。通过准备程序和计算，计算教育机构和技术机构都会被记住。一些学校也准备了这些。现在已经有几十所甚至数百所学校和班级教授高级数学。然而，由于缺乏专门为这些学校设计的教科书，这些学校的完整教学受到极大的阻碍。小学生必须要么使用为计算教育机构而编写的书籍，要么仅限于学校课堂上提供的材料。

现在已经出版了两本书：《代数》**）和一本已解决的书，其主要目标是纠正这种情况。这两本书是一个不可分割的整体。

*) N. 是的。 Vilenkin, S. I. Shvartsburg，数学分析，中学特殊数学九年级、十年级教科书，“Prosveshchenie”，1969 年。
**) N. 是的。 Vilenkin、R.S. Guter、S.I. Schwartzburg、B.V. Ovchinsky 和 ​​V.G. Ashkinez，代数，“启蒙运动”，1968 年

这些书是写给谁的？当然，首先，作者考虑的是来自数学专业学校的学生。但不仅仅是他们会从这些书中受益。所有兴趣超出学校课程范围的学生都会从他们身上学到很多东西。高中数学教师和师范生都会在其中找到大量材料。

介绍数学高级课程的书籍可以用不同的方式编写。您可以消除对复杂代数变换、令人困惑的三角恒等式以及求解全球性方程的特别关注。另一方面，可以在不进行重大改变的情况下呈现教育信息计算中涵盖的数学学科。 《数学分析》一书的作者走了一条不同的道路。当然，学习完本书后，学生将学会求解三角方程和指数方程，证明各种三角恒等式，以及微分和解释各种函数。但是，与大多数针对学生的微积分书籍不同，这本书非常强调澄清学生遇到的基本概念的含义。

本书首先介绍了主动数理论。作者可能在这个问题上花费了太多篇幅。但如果没有清楚地理解什么是实数，就不可能完全理解什么是极限，甚至不可能完全理解什么是极限。

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不符合本书的总体风格。人们一定认为本章的内容是出于教学的主要目标和需要，解决学生数学高考的问题。正如你所知，在这些考试中，考官经常会被各种指数、对数和三角方程、恒等式等冲昏头脑。然而，这里作者不仅给出了各种方程的解，而且​​还考虑了与这些方程相关的一般问题，关于求解方程的近似方法的问题。包含最后一个问题是因为在一些数学专业的学校中，不学习计算数学，熟悉弦和切线的方法以及逐次逼近的方法对于任何完成高中学业的人都是有用的。此外，在开设计算数学专业课程的学校中，研究本书中的相关问题可能会有所帮助。

第八章讨论积分（不定积分和定积分），第九章讨论级数。不幸的是，专门讨论 intergrams 的章节显得过于严厉。这里有必要牺牲演示的严谨性，不是定义体积的概念，而是考虑它非常重要。

练习在本书中占有重要地位。除了通常的任务外，它还包括相当多的难度增加的任务。练习通常按难度递增的顺序排列。但任务难度的增加幅度相当高；它比大众学校的普通教科书更快地引导学生进行困难的练习。这些练习可以培养解决难题的良好技能，并让您为深入学习数学而准备高等教育机构的入学考试。大型练习带有星号，可以作为坚韧工作的材料。

总体而言，这本书有用且有趣。发行量之小（30,000）有点令人惊讶。让我们希望这本书的第二版很快就会到来。

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答案、说明、解决方案。

前往“碰撞几何”一文

1. 碰撞的运动学图如图图 1 处所示。三角形$2C1'$ 为矩形，$tg\alpha = \frac{u_1}{u_2} = \frac{u_1}{u_2} = \frac{m_2}{m_1} = 3$。由直角等边三角形$2'2C$求出$v'_2 = \frac{u_2}{\cos\beta}$，又由于$u_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_1$，则
   $$v'_2 = v_1 \frac{m_1}{m_1 + m_2} \cdot \frac{1}{\cos\beta} = v_1 \frac{\sqrt{2}}{4}.$$
   从三角形$2C1'$我们发现
   $$v'_1 = \frac{u_2}{\cos\alpha} = v_1 \frac{m_1}{m_1 + m_2} \sqrt{1 + tg^2\alpha} = v_1 \frac{\sqrt{10}}{4}.$$

2. 从相同质量零件的散射图中（第23页图6）我们发现反冲角为$30^\circ$，$\alpha$粒子散射后的速度为$v'_\alpha = v_\alpha \cos 60^\circ = \frac{1}{2} v_\alpha$，反冲核的速度为$v_\alpha = v_\alpha \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} v_\alpha$（$v_\alpha$为$\alpha$粒子与原子核碰撞前的速度）。因此，$\alpha$粒子散射后的能量

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running_head:
folio:

E_{\alpha} = \frac{m v'_{\alpha}^2}{2} = \frac{1}{4} \frac{m v'_{\alpha}^2}{2} = \frac{1}{4} E_0，反冲核心能量为$E_{\pi} = \frac{3}{4} E_0$。

3. \frac{\Delta E}{E} = \frac{v_n^2 - v'_n^2}{v_n^2} = \frac{5 - \sqrt{7}}{9}.

4. 0,24 $E_0$.

5. 散点图显示在 图 2、$\varphi = \theta$ 和 $tg\varphi = tg\theta = \frac{v_1}{u_1 + u_2}$。由三角形1’C2可知
   v'_1 = \sqrt{u'_1^2 - u'_2^2} = u_2 \sqrt{\left(\frac{u'_1}{u_2}\right)^2 - 1} = u_2 \sqrt{\left(\frac{M}{m}\right)^2 - 1}.
   因此，碰撞后零件的冲量减小：$mu'_1 = \alpha mu_1$和$Mu'_2 = \alpha Mu_2$。
   惯性系统中心零件的速度也降低：$u'_1 = \alpha u_1$ 和 $u'_2 = \alpha u_2$。
   散射图如图图 3 所示。此外，点2’ 位于以点$C$ 为圆心、半径为$u'_2 = \alpha u_2$ 的圆上。当 22’ 线段接触此圆时，反冲角（122’ 角）最大。
   在这种情况下，零件的角度 $\omega$ 将等于 tg\omega = \frac{u'_2 + u'_1}{v'_2} = \frac{u'_2 + u'_1}{\sqrt{u'_2^2 - u'_2^2}} = \frac{\alpha \left(1 + \frac{u_1}{u_2}\right)}{\sqrt{1 - \alpha^2}} = \frac{\alpha}{\sqrt{1 - \alpha^2}} \left(1 + \frac{M}{m}\right)。

6. 我们来画一个运动学图。在质心系中，碰撞后零件的动量大小相等，方向$mu'_1 = Mu'_2$（或$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{M}{m} = \frac{u_1}{u_2}$）方向相反，零件的动能与碰撞前相等
   $E_0 = \frac{(mu_1)^2}{2m_1} + \frac{(Mu_2)^2}{2M} = \frac{(mu_1)^2}{2} \left(\frac{1}{m} + \frac{1}{M}\right) = \frac{(Mu_2)^2}{2} \left(\frac{1}{m} + \frac{1}{M}\right)$,

（自$mu_1 = M_2 u_2$），碰撞减少后将变得相等
$E_1 = \frac{(mu'_1)^2}{2m} + \frac{(Mu'_2)^2}{2M} = \frac{(m_1 u'_1)^2}{2} \left(\frac{1}{m} + \frac{1}{M}\right) = \frac{(Mu'_2)^2}{2} \left(\frac{1}{m} + \frac{1}{M}\right)$.
根据散射条件，如图图3所示。另外，点2’位于以$C$为圆心、半径为$u'_2 = \alpha u_2$的圆上。当 22’ 线段接触此圆时，反冲角（122’ 角）最大。
在这种情况下，零件的角度 $\omega$ 将等于 tg\omega = \frac{u'_2 + u'_1}{v'_2} = \frac{u'_2 + u'_1}{\sqrt{u'_2^2 - u'_2^2}} = \frac{\alpha \left(1 + \frac{u_1}{u_2}\right)}{\sqrt{1 - \alpha^2}} \left(1 + \frac{M}{m}\right)。

顺便一提
《残差的比较论证理论》

1. $-297 = (-10) \cdot 31 + 13$;

2. $-1005 = (-11) \cdot 98 + 73$.

3. 令 $n_1$ 为 $N$ 的约数。那么$n_2 = \frac{N}{n_1}$也是除数。从$n_1 \cdot n_2 = N$开始，

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则至少有一个数字$n_1, n_2$不大于$\sqrt{N}$。从这里很容易得出结果。

3. 6. $n^2+n+1=n(n+1)+1; n^2+n+1=(n-1)(n+2)+3$（与$n=1$，余数为0）。
      b) $n^4+1=(n^3-3n^2+9n-27)(n+3)+82$.

4. 在$n=-1, 0, 1, 2$。利用什么
   $$\frac{n^2+1}{n-1}=n+1+\frac{2}{n-1}.$$

5. 三个连续数中，有一个能被 3 整除，有一个（或两个）能被 2 整除。

6. $a^2+b^3+c^3-(a+b+c)=a(a-1)(a+1)+b(b-1)(b+1)+c(c-1)(c+1)$.

7. 考虑$p, p+d, p+2d, \dots, p+14d$形式的素数。很容易证明$d$一定能被2,3,5,7,11,13整除（如果$d$不能被13整除，那么$p, p+d, \dots, p+14d$的平均数就有一个能被13整除的数），这意味着
   $$d > 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 30000.$$

8. $n \equiv 1$ (mod 3).

9. $n \equiv 5$ (mod 7).

10. 推理方式与问题3相同。

11. 让我们以 $a=a_2 a_1 a_0+1000 a_5 a_4 a_3+1000^2 a_8 a_7 a_6+ \dots$ 的形式写下数字 $a=\overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \dots a_0}$（$a_0, a_1, \dots, a_n$ – 数字）。由于 $1000 \equiv -1$ (mod 7) 和 $1000 \equiv 1$ (mod 37)，则
    $$a \equiv \overline{a_2 a_1 a_0}-\overline{a_5 a_4 a_3}+\dots$$
    $$a \equiv \overline{a_2 a_1 a_0}+\overline{a_5 a_4 a_3}+\dots$$

12. 如果数字$5A$和$A$的位数和相同，则数字$5A-A=4A$能被9整除。

13. 令$15x^2-7y^2=9$，然​​后$y \equiv 0$ (mod 3)，因此$x \equiv 0$ (mod 3)；除以 9，我们得到 $15\left(\frac{x}{3}\right)^2-7\left(\frac{y}{3}\right)^2=1$，但不能满足等式 $15x^2-7y^2=1$（请确保这一点）。

14. 考虑比较
    $$n^2+3n+5 \equiv 0$$ (mod 11).

15. 考虑自然数的平方除以 3、5、7 后得到的余数。

16. 证明在 9 算术中，有 $x^3+y^3+z^3 \neq 5$ 而没有 $x, y, z$。

17. 如果$ab$能被素数$p$整除并且$a$不能被$p$整除，那么$b$能被$p$整除，即$b=0$。

18. 这就是余数$m-a$。显然$a+(m-a)=0$。

将 $-a$ 添加到等式 $a+x=b$ 两边即可得到 $x=b+(-a)$。

21. 设$m=pq$，其中$1<p<m$和$1<q<m$。那么$pq=0$就是$m$算术。

22. 利用 31 算术中 $30=-1$ 的事实； $29=-2; \dots; 16=-15$，并且对于任何余数$a$和奇数$n$，都会有$(-a)^n=-a^n$。

转至《论1969年技校数学入学考试》

选项 1。

1. 10米。
2. $\frac{6 \pm \sqrt{100-\pi^2}}{4}$.
3. $4 < x \leq 7; -3 \leq x < -1; -17 < x < -16$.
4. $\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   $$\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n.$$
5. $\frac{3}{2} h$.

选项 2。

1. 6点、9点
2. $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
3. $1 < x < 2^4; 2 < x < 2^4; 2^4 < x < 2^{15}$
4. $x = \pm \alpha + 2\pi n; \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{3}$.
5. $\frac{7a \sqrt{3} \pi a^3}{576}$.

选项 3。

1. 5点10点； 13小时20分钟； 4小时26分40秒。

2. 解决了没有。

3. $\frac{1}{3} < x < 1; \frac{1}{3^7} < x < \frac{1}{3^{12}}$.

4. $2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
   $$2\pi n - \frac{\pi}{3} < x < 2\pi n.$$

5. $\frac{4\sqrt{3} \pi a^3}{27 \sin^3 2\alpha}$.

选项 4。

1. 3小时，2小时。
2. $x = \pi n \pm \frac{\pi}{3}$.
3. $\frac{5}{2} < x < 3; x > 4$.
4. $\frac{\pi}{3} + 4\pi k < x < 3\pi + 4\pi k$.

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5. $a^2 \sin \alpha \left[ 1 + \frac{1}{\cos \beta} \right]$.

到文章
“有人失去，有人发现……”

1. $x = 13$.

2. $x = 2$.

3. $x = -1$.

4. $x = 9$.

5. $x = 1$.

6. 没有解决办法。

7. $x = \frac{\pi n}{3}$.

8. $x = \arctg 2 + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

到文章
“电视是你为新的一天做准备的帮手”

测试1号

1. $\frac{1}{1 - 3x}$，如果$x \leqslant 0; \quad \frac{x + 1}{3x^2 - 4x + 1}$，如果$0 < x < 1 \left( x \neq \frac{1}{3} \right); \quad \frac{1}{x - 1}$，如果$x > 1$。

2. $\sqrt{2}$。 3.$-(\sqrt{3} a + 1)$。 4. 如果$\frac{a}{m^2 - 2a^2} > 0$则为$m$，如果$\frac{a}{m^2 - 2a^2} < 0$则为$(-m)$。

3. $S_7 = b_5 - b_1 = 560$.

测试 2 号

1. $-2; 3; \frac{1}{2}; \frac{2}{3}$. 2. $3 \pm \sqrt{2}, 3 \pm 3 \sqrt{2}$.

2. $\begin{cases} x = 3 \\ y = 5 \end{cases} \begin{cases} x = 5 \\ y = 3 \end{cases}$

3. 90 卢布、135 卢布、5. 60 公里/小时。

测试 3

1. $x_1 = 1; x_2 = -\frac{1}{3}$. 2. $x_{1,2} = \pm 1$.

2. $x_1 = 1; x_2 = -6$. 4. $8 \mathrm{dm}, 25 \mathrm{dm}, 15 \mathrm{dm}$.

3. $\frac{R^2}{4} (8 \sqrt{3} - 9)$.

去任务
“立方体日历”
(«Kvant» №3)

该任务包含两个（不是很棘手的）陷阱。

很容易理解，两个骰子都必须有数字 1 和 2，因为有数字 11 和 22。两个骰子也必须有数字 0，否则不可能组成从 01 到 09 的所有数字（你不能将从 1 到 9 的所有数字放在同一个骰子上：它只有六个面）。

通过在每个立方体的面上写下数字0、1、2，我们留下6个面，在上面我们需要放置7个数字：从3到9。这是可以做到的，因为数字9是通过将数字6翻转得到的。

在计算两个立方体上放置多少个数字之前，我们先澄清一下我们将考虑哪两个“日历”（两对立方体）不同。首先，我们假设写数字的立方体是完全相同的，我们不区分它们；其次，我们当然认为立方体是相同的，其中一个立方体是通过空间旋转而从另一个立方体中获得的；最后，我们不会考虑数字是如何写在边缘上的——顶部在哪里，底部在哪里等等，我们只关心写了什么数字。

让我们把桌子上的两个立方体都设为零。让一个骰子上有数字：0、1、2、3。在两个空的面上，您需要从剩余的后跟处放置两个数字（4、5、6、7、8）。这可以通过 $C_5^2 = 10$ 的方式来完成。将零保留在适当的位置（在底部），数字的后跟可以按 5!=120 种方式放置。通过在垂直轴上按顺序旋转立方体，可以将其中之一简化为其他。不同的方法将减少四倍。因此，第一个骰子的排列方式总数为 $\frac{10 \cdot 5!}{4} = 300$。在第二个骰子上，您可以以 $\frac{5!}{4} = 30$ 的方式排列剩余的数字。因此，总路数为 $300 \times 30 = 9000$。

#4«Kvant»中“加密”的解决方案

这里每个字母都由一个字母保护。标点符号和单词之间的空格保留在原处。

让我们按照顺时针（或逆时针）顺序将俄语字母写成一个圆圈（字母 I 和 E 被跳过）。同样的，我们把前15个素数写在一个圆圈里。

Teler，您可以直接进行解密。

我们以加密的第一个字母 - K 为例。它对应于“数字”圈上的第一个数字 - 2。您需要逆时针（分别）顺时针（e）数“字母”圈上从 K 开始的第二个字母。这是第三封信。第一封信已被破译。

加密的第二个字母 P 由第三个字母回答，从 P 开始沿字母圈逆时针方向计数。这就是字母H。以同样的方式加密的第三个字母E（缺失不超过5个字母）将变成A，以此类推。

最终结果是：

“只有通过思想的努力获得的知识才是知识，而不仅仅是记忆。”