Kvant
主要文章

空间图形的形象

Бескин Н. М.

Kvant 1970 年第 12 期第 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14 页标签 0MDK

自动生成的粗略译稿，质量较低：可能有错误，语句也不够通顺。之后会被更好的译文取代。 原文 →

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  1. 平行投影法

不幸的是，不存在“空间铅笔”，它的尖端会在所发生的事情上留下痕迹。使用这样的铅笔，可以通过追踪其边缘来“绘制”真正的立方体。平面图像不可能是空间图形的精确副本。那么问题来了：应该用什么规则来构造一个图像，使其与原图相似，即在观看图像时产生接近原图的视觉印象？大多数情况下，他使用设计方法来达到此目的。其中最简单的是中心投影法和平行投影法。

图 1.

中心投影的方法从图1就清楚了。取一个固定点SS（投影的中心）和一个不经过SS的固定平面l（投影的平面）。通过空间的任意点 A′A' 绘制一条线 SA′SA'（投影线）。这条线与平面 l 的交点AA称为投影点A′A'。 图 1 显示两个点的投影：A′A' 和 B′B'。

位于同一投影线上的原始点具有相同的图像。

中心投影的方法给出了最直接的图像，因为所描述的结构再现了视觉过程：来自原点（A′,B′,…A', B', \dots）或其投影（A,B,…A, B, \dots）的光线重合。因此，眼睛并不关心它是看原图还是它在平面上的投影。 （确实，我们在这里进行了一些简化：毕竟，原件是用两只眼睛观看的。）

艺术家主要采用中心投影的方法。

平行投影法与中心投影法的不同之处仅在于投影线不经过固定点，而是平行于固定方向（图2）。平行投影的图像类似于从远处观看的物体：具有无限的

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MI，你可以开始任何三角形ABCABC，并声称它与给定三角形A′B′C′A'B'C'的图像相似。

证明。我们有两个三角形：原始 A′B′C′A'B'C' 和样本 ABCABC。在边A′B′A'B'上，我们构造一个三角形A′B′C1A'B'C_1（图4），类似于三角形ABCABC，但位于某个平面ππ，与三角形A′B′C′A'B'C'的平面不同。让我们进一步以C′C1C'C_1为设计方向。那么三角形A′B′C′A'B'C'在平面ππ上的投影就是三角形A′B′C1A'B'C_1，与三角形ABCABC类似。

定理2. 如果给定的三角形图像为A′B′C′A'B'C'，则位于该三角形平面内的每个点的图像由此唯一确定。

证明。令 A′B′C′A'B'C' 为原始图像 (图 5, a)，ABCABC 为图像 (图 5, b)。让我们在三角形 A′B′C′A'B'C' 的平面上取任意点 D′D' 并将其与三角形的任意顶点连接，例如与 A′A' 连接。设E′E'为线A′D′A'D'与对边B′C′B'C'的交点（E′E'是否位于线段B′C′B'C'内部或其延长线上没有区别）。点E′E'的图像可得：它必须以E′E'除线段B′C′B'C'相同的比例来划分线段BCBC，即

BEEC=B′E′E′C′\frac{BE}{EC} = \frac{B'E'}{E'C'}

由证明的两个定理可知，构建平面图形图像的一个实用规则是：必须选择图形F′F'中不在同一条直线上的任意三点，并将它们描绘为任意三点的一般位置。这就是任意性结束的地方：必须构建所有其他点的图像。换句话说，给定的三角形可以任意绘制，但给定的四边形却无法绘制。

示例 1. 正六边形的图像。

让我们用 A′B′C′D′E′F′A'B'C'D'E'F' 表示这个正六边形（原始），用字母 O′O' 表示它的中心（为方便起见，原始的六边形显示在 图 6, a）。现在让我们构建这个六边形的图像。让我们任意绘制三角形 A′B′C′A'B'C' (图 6, b)。点G′G'是线段A′C′A'C'的中点。因此，点GG也必须是线段ACAC的中点。现在你可以画一条直线BGBG。在其上您可以构造点OO和EE，使用对应关系BO=2BGBO=2BG，BE=4BGBE=4BG。接下来是CD∣∣BGCD||BG和AF∣∣BGAF||BG。点DD可以通过不同的方式找到：1）搁置CD=BOCD=BO，2）绘图

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  1. 波尔克-施瓦茨定理和空间图形的表示

我们知道，在描绘平面图形时，三角形起着特殊的作用。当描绘空间图形时，也会出现类似的情况，只使用四面体而不是三角形。在对相应定理进行排序之前，我们先做如下定义。

完整的四边形是由一般位置的四个点（即，没有三个点位于同一条直线上）和成对连接这些点的六个线段组成的平面图形。

定理 3（Polke-Schwarz 定理）* 任何给定的方法都可以用任意完整的四边形（在 图 7 处，并且

*) 波尔克于 1853 年针对等边直四面体（具有相等的侧边和顶点处的直角平面角）证明了该定理。施瓦茨于 1864 年用任意四面体证明了这一点。

图7，a。 图 7，b．

ED||AB, 3) 画直线AO。 F点以同样的方式构建。

再举个例子，自己证明一个正方形可以用任意平行四边形表示。

最后让我们注意到，圆的图像是椭圆。

图 8，一个。 图 8, b,

四边形 ABCD 是凸的，在 图 7 处，b - 非凸）。

我们无需证明就接受这个定理。

虚线用于空间图形的描绘，表示不可见的线（假设四面体的边缘是不透明的）。

定理 4. 如果给出了多面体 A’B’C’D’ 的图像，则这确定了空间中每个点的图像。

证明。设 A’B’C’D’ 为原始信号 (图 8, a) ABCD 为其在平面上的图像 (图 8, b)。另外，假设空间中给出任意点M’。我们将向您展示如何构建其形象。让我们将 M’ 与四面体的某个顶点（例如 A’）连接起来，并标记直线 A’M’ 与相对面 B’C’D’ 的交点 E’（点 E’ 根本不应该表明位于四面体 B’C’D’ 内部）。

Theorel 将移动到图像。可以构造点 E’ 的图像：毕竟，该点位于三角形 B’C’D’ 的平面内，而三角形 B’C’D’ 的图像已给出。接下来，画一条直线AE并在其上构造满足条件的点M

AMME=A′M′M′E′\frac{AM}{ME} = \frac{A'M'}{M'E'}

示例 2. 立方体的图像。当立方体的边从

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图 9.

一点定义一个四面体。根据Polke-Schwartz定理，它可以用任意四边形表示。因此，在描绘立方体（图9）时，我们可以任意标记点A1,B1,D1A_1, B_1, D_1和A2A_2。图像的其余部分是基于立方体和图中的平行边应该平行的事实来实现的。

大多数人认为图9不能总是作为立方体的图像，并且其组成平行四边形的角度和线段的比率必须以特殊的方式选择。这是因为，对于我们来说，最可嫁接的是在投影直线垂直于投影平面的情况下获得的正交投影。这里我们讨论的是任意（“倾斜”）平行投影。

示例 3. 正四边形平行四边形的表示。底边（正方形）可以描绘为任意平行四边形。另外，根据Polke-Schwartz定理，可以画出任意一条侧边，即标记出任意的平行四边形。如果需要检查高度，则应将顶部连接到底对角线的交点。

图 10, aa. 图 10, bb.

在教科书中，通常的做法是将平面（更准确地说，“平面的一部分”）描述为平行四边形，同时隐含地假设原始平面是平面的矩形部分。在这种情况下，我们可以支配的任意性的一部分就被不由自主地消耗掉了。如果我们忘记这一点并进一步使用波尔克-施瓦茨定理，那么我们就会得到错误组。这是一个例子。在 图 10 处，aa 描绘出一个正四边形平行四边形。站在飞机上。单个 SABCD 图像构建正确，但 图 10、aa 整体上存在严重错误。将平面的一块矩形描绘成平行四边形KLMN后，我们已经部分利用了Polke-Schwartz定理所代表的任意性，我们无权将正方形A′B′C′D′A'B'C'D'描绘成任意的平行四边形。在 图 10、aa →\rightarrow LKN 和 →\rightarrow DAB 上描绘直角。因此AB∥KLAB \parallel KL应该是AD∥KNAD \parallel KN。由于事实并非如此，图 10、aa 是错误的。

由于在研究平面上平行线的性质时，平面的直线度根本不重要，因此将自己束缚于 →\rightarrow LKN 是图像的条件是没有意义的

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  1. 多面体的截面

现在我们将考虑研究立体测量时遇到的图像。

示例 4. 在 图 11 处，描绘了三角形特征的平面形状。

它的“构造”非常简单：在特征的边缘上取任意点A3A_3、B3B_3、C3C_3，并通过特征的线段连接。在 图 11、δ\delta 处，相同的“方法”适用于构建四边形特征的截面。

图 11 是正确的，但是在图 11、δ\delta 上有一个错误（很常见！）。事实上，平面是由第三点确定的。因此，在描绘三角形特征的平面形状时，我们可以在其边缘上任意取点。你不能用四边形标志来做到这一点。注意到亲

任意取点A3A_3、B3B_3、C3C_3，我们已经定义了切割平面，它与识别的四个边的交点不能任意取。

我们将向您展示如何正确找到具有四个边的切割平面的交点。

通过边 ∗^*) A1′A2′A'_1A'_2 和 C1′C2′C'_1C'_2 的平面与平面截面 A3′B3′C3′D3′A'_3B'_3C'_3D'_3 沿对角线 A3′C3′A'_3C'_3 相交，穿过边 B1′B2′B'_1B'_2 和 D1′D2′D'_1D'_2 的平面沿对角线 B3′D3′B'_3D'_3 相交。这两个平面的交线平行于平面的边缘。因此，在线的所有平面部分中，对角线的交点位于与线的边缘平行的直线上。在图11、δ\delta处标记对角线底交点P1P_1和P2P_2；山P1P2P_1P_2与山药边缘平行。点 P3P_3 不在这条线上 -

*) 不要忘记原件的元素是用带破折号的字母表示的。

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图 13.
因此 图 是不正确的。这意味着上面描绘的四边形A3′B3′C3′D3′A_3'B_3'C_3'D_3'不是平的。一个具有训练有素的眼睛的人，例如艺术家，会立即注意到这一点，无需任何解释。

此属性不仅允许您检查绘图的正确性，还可以构建四边形特征的平面图。让我们任意标记点A3A_3、B3B_3、C3C_3 (图 12)。我们构造点P1P_1和P2P_2，并画一条直线P1P2P_1P_2（结果与直线A1A2A_1A_2平行）。我们执行直线A3C3A_3C_3。我们找到A3C3A_3C_3和P1P2P_1P_2的交点P3P_3。我们持有B3P3B_3P_3。交点 B3P3B_3P_3 与 D1D2D_1D_2 就是所需的交点。

描绘多面体的平面部分只需要使用两个规则：

  1. 如果平面 β′\beta' 和 γ′\gamma' 沿线 l′l' 相交，并且平面 α′\alpha' 与其对应的线 b′b' 和 c′c' 相交，则 b′b' 和 c′c' 要么相交于 l′l' 上的点，要么平行于 l′l'。

  2. 如果平面 β′\beta' 和 γ′\gamma' 平行，并且平面 α′\alpha' 与其对应的直线 b′b' 和 c′c' 相交，则b′b' 和 c′c' 平行。

示例 5. 平行物体的平坦部分的图像。

我们绘制线性部分RQRQ和QPQP的图像。它们的交点必须位于线 A2B2A_2B_2 上，否则线 PQPQ 和 QRQR 是任意的。接下来我们执行RS∥QPRS \parallel QP和PS∥QRPS \parallel QR。

在 图 13 上，绘制线 PQPQ 和 QRQR，使得点 QQ 落在线段 A2B2A_2B_2 之外。标记点T≡PQ×A2D2T \equiv PQ \times A_2D_2和U≡QR×A1A2U \equiv QR \times A_1A_2并连接UU和T∗T^*）。我们进行RS∥QPRS \parallel QP和PS∥QRPS \parallel QR。显然，点SS一定位于直线C1D1C_1D_1上。如果该点落在线段C1D1C_1D_1的延续上，则我们连接点V≡RS×B1C1V \equiv RS \times B_1C_1和W≡PS×C1C2W \equiv PS \times C_1C_2。自行分析点QQ位于线段A2B2A_2B_2内的情况。

示例 6. 四边形参数 (图 14) 的平面截面图像。

我们执行链接PQPQ和QRQR。从点 RR 开始，您需要沿着后边缘绘制一条剖面线。正面和背面的平面沿直线S′X′S'X'相交。通过构造点X≡AB×CDX \equiv AB \times CD可以很容易得到这条线的图像。正面和背面的切割平面α′\alpha' 的轨迹必须相交于S′X′S'X'。我们找到点T≡PQ×SXT \equiv PQ \times SX并绘制TRTR。我们标记这条直线RURU的线段，它是三角形SCDSCD的内部。 ABAB表示前边缘和底边缘的交线。我们建立点Y≡AB×PQY \equiv AB \times PQ并找到点V≡AD×UYV \equiv AD \times UY。

*) 符号M≡AB×CDM \equiv AB \times CD的意思是：“M是线ABAB和CDCD的交点”，m≡A×Bm \equiv A \times B - “m是定义点AA和BB的线”。

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图 17.
每个椭圆都显示两个直径：在原始中它们被重新分布，而在图像中它们是共轭的（参见 I. N. Bronshtein 的文章“椭圆”，量子第 9 号）。

圆锥体的底部也被描绘为椭圆形。在学校实践中，经常遇到以下错误：用极端母线来描绘主截面，并假设它们在长轴的两端接触椭圆（图18，a）。这不是懒惰。如果从S点作椭圆的切线并连接切点A和B，则直线AB将不会通过椭圆的中心。然而，一些

图 19.
“绘图员”带她穿过暴力的中心。 图 18，b - 正确。其中一个切点（例如 A）连接到中心 O，并且点 C 标记在椭圆上，与 A 完全相反。三角形 SAC 是其自身截面的图像。

为了描述主部分，根本没有必要使用

图 18，一个。
图 18，b．
图 18，第 17 页

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图 23，一个。

日期和赤道将被描绘为一段 (图 22)。

正确的球图像构造如下。将赤道和经线描绘成椭圆，所有经线都经过N、S两点。只需找出赤道图像与N、S点位置之间的联系即可。

我们来想象一下原来的样子。让我们画一个赤道剖面（圆 A’B’C’D’）和垂直于它的直径 N’S’（地轴）。让我们进一步想象一个垂直于 A’C’ 的平面 β’ 并（为了方便起见）穿过球外 (图 23, a)。球体与赤道截面和 N’S’ 轴一起正交投影到 β’ 平面上。将球投影成一个圆，并将系统（A’B’C’D’，N’S’）投影到该圆的两个垂直直径上。

如果左图(图 23, a)绕A’C’旋转，则平面β’上的圆将保持原状，其两个垂直直径的交点将绕中心旋转。

图 23, b 给出了赤道图像与条纹图像如何相关的问题的线索。直径 PQ 决定椭圆的短轴，垂线

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图 25.

通过点 NN 和 SS 连接。平行线由接触沙尔轮廓的相似椭圆来描绘。

在解决立体问题时，绘图起着辅助作用，花更多的精力在绘图上比解决问题本身是没有意义的。因此，我们建议读者主要用眼睛来绘画。不过，我们会给出一些一般性建议，实施这些建议将帮助您避免错误。

球的图像比多面体、圆柱体和圆锥体的图像更复杂。因此，建议在绘制时考虑到球，从球开始，然后将其余的图形附加到其上。

如果球内接于圆柱体 (图 25)，则圆柱体的侧面会在一个大圆内（例如沿着赤道）与球接触。点BB位于赤道上，AB=BCAB = BC、AC=NSAC = NS。所有三个椭圆（赤道形状和圆柱体的底面）都是相同的。

如果一个圆柱体内接于一个球 (图 26)，那么应该记住它的底面是大小相等的平行圆。

如果球内切于识别 (图 27)，则较大的圆（例如 eq

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图 28.

要描绘球内接的棱柱 (图 28)，您必须首先在某个平行圆内接一个多边形。其余的都清楚了。

如果球内接于 paramid (图 29)，则侧面的接触点与 paramid 顶部的距离相等，因此位于一个平行圆上，该圆的平面垂直于 T′O′T'O'（O’ 是球的中心，T′T' 是 paramid 的顶部）。您可以按照以下顺序进行绘制：画一个球，然后取

图 29.

一些平行的圆并描述它周围的多边形（例如，A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1）。之后，在这些点处画出通过切点L,M,N,PL, M, N, P的经线的切线（你可以用肉眼来完成）。它们将在一点 TT 相交，该点代表 paramid 的顶点。让下底的平面与平面A1′B1′C1′D1′A_1'B_1'C_1'D_1'平行（如果不是这样，那么问题就是一个条件，我们在本文中不会考虑它），然后剩下的就是在比例的指导下完成paramid

TSTO1=TATA1=TBTB1=TCTC1=TDTD1\frac{TS}{TO_1} = \frac{TA}{TA_1} = \frac{TB}{TB_1} = \frac{TC}{TC_1} = \frac{TD}{TD_1}

（S′S' - 南部条纹，O′O' - A1′B1′C1′D1′A_1'B_1'C_1'D_1' 内接的平行圆的中心）。

如果在 paramid (图 30) 附近描述一个球，则 paramid 的底边内接于某个平行圆，顶点是球体上的任意点。

来自编辑。 1971年，在“数学通俗讲座”系列中，N.M.贝斯金出版了小册子“空间图形的图像”，其中将更详细地介绍这些问题。