[习题 M56—M60; F66—F71]

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问题工人
克瓦沙

M56。四个一和五个零以随机顺序写在圆圈上。然后在两个相同的数字之间写入一个单位，在不同的数字之间写入一个零，并擦除原来的数字。证明无论我们重复这个过程多少次，我们永远不会得到一组九个单元。

M57。 a) 找到数字$k$，它能被2和9整除，总共有14个约数（包括1和$k$）。

6. 证明如果把14换成15，那么问题会有多个解，但是如果把14换成17，那么问题就根本没有解。

M58。平面上给出三条直线，相交于一点。其中一个上标有一个点。已知直线是某个三角形的平分线，标记点是其顶点之一。构造这个三角形。

M59。砝码有几种，重量有1克、2克、3克、…、$n$克。它们必须分成三堆，重量相等。在什么$n$可以做到这一点？

M60。让我们考虑所有自然数，其十进制表示法仅涉及数字 1 和 0。将这些数字分为两组，使得同一组中任意两个不同数字的和至少包含两个十进制单位。

F66。用 e 接电池。 d.s. 9伏和未知内阻、安培和电压表（图1）串联。这些器件的电阻未知。如果在电压表上并联一个电阻（其值也是

本期所有数学问题均取自《数学问题》手册，该手册的新修订版即将出版。

图 1.
未知），则安培读数加倍，电压表读数减少一半。连接电阻后电压表的读数是多少？

A·R·齐伯曼

F67。缓冲装置（图2）由杆$A$、套在杆上的弹簧$B$、导向套$C$组成。套筒可以在实心壁 $D$ 制成的通道内移动。当衬套$C$移动时，其外表面与壁之间会作用恒定的摩擦力$F_{\tau p}$。衬套杆和弹簧沿杆移动，无摩擦。

质量为$M$的球飞到杆$A$的端面上，撞击前速度为$v_0$。球将以什么速度飞走？

与球的质量相比，杆、弹簧和衬套的质量可以忽略不计。弹簧刚度系数$k$。

V.K. Peterson，莫斯科国立大学第 31 届学校物理奥林匹克竞赛，1970 年

*) E. B. Dynkin、S. A. Molchanov、A. L. Rosenthal、A. K. Tolpgo，数学问题，第 3 版，“科学”（“物理和数学学校图书馆”系列）。

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图 2.

F68。气体所在容器的玻璃温度为 $T$。气体温度$T_1$。在哪种情况下，容器壁上的气压更大：当容器壁比气体冷时 ($T < T_1$) 或当容器壁比气体更热时 ($T > T_1$)？
G.雅. Myaktsiev，第 31 届学校体能奥林匹克运动会，莫斯科国立大学，1970 年

F69。将铅球浸入盛有水的容器中。由于球产生的附加引力场，水表面会朝什么方向弯曲到容器中？

F70。骑车人可以轻松地利用 10 公斤的牵引重量进行训练。摩擦力不超过5公斤。骑自行车的人似乎可以在几个小时内达到逃逸速度。然而，目前还没有人成功做到这一点。为什么？
物理和数学奥林匹克 MIEM，1969

F71。有一个均匀带电的段$AB$。该线段在点 $C$ 处产生的电场方向是什么：沿着三角形 $ABC$ 的中线？通过他的平分线？身高？这些行都不行吗？
MIPT 物理和数学奥林匹克竞赛，1970 年

帮助艺术家！

艺术家应该在图上画一条细线。当然，您可以只测试白色背景上的黑线，但我们的艺术家喜欢各种明亮的颜色。

让我们就显色性的排版可能性提出以下建议（参见杂志封面上的图）。除了白色之外，还有四种原色：粉色 ($P$)、黄色 ($Ж$)、蓝色 ($Г$) 和黑色 ($Ч$) - 以及四种偏移颜色：红色 ($P+Ж$)、淡紫色 ($P+Г$)、绿色 ($Ж+Г$) 和棕色 ($Ж+P+Г$)。黑色与任何颜色混合会再次产生黑色。为简单起见，我们假设“半色调”不存在。

问题是，有多少种方法可以在彩色背景上绘制彩色线条（线条和背景都可以是任何颜色，但当然可以是不同的颜色；也可以使用白色）？答案很明确：72 = 9x8。对于背景，您可以选择 9 种颜色中的任意一种，然后对于线条，可以选择其余 8 种颜色中的任意一种（已为背景选择的颜色除外）。

但还需要考虑一种情况：由于红色墨水在打印过程中不是同时施加的，而是按顺序施加的，因此它们之间可能会发生一定程度的相对移动。因此，比如说，与粉红色背景上的绿线一起，您可以得到一个白色的过程，旁边有一条棕色（甚至单独的红色和淡紫色）线。这并没有消除我们。即使颜色发生变化，线条仍然应该是一条！计算一个艺术家有多少种方法可以满足这个要求。