辅助圈

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辅助圈

许多几何问题的解决方案都从绘制辅助线开始，这些辅助线有助于在数据和图形的未知元素之间建立联系。回忆起一个成功的辅助阵型往往是很困难的。因此，你应该处理每个已解决的问题，并尝试找出为什么某些辅助线会导致目标。是否可以使用找到的示例来解决其他一些问题？

在数学界的下一次会议上，我们将考虑解决几何问题的一个有趣的例子，其中包括在绘图中引入辅助圆。

示例 1. 将高度 AP、BQ 和 CR 绘制为锐角三角形。证明$\angle ABQ = \angle APR$）。

解决了并且e。设 H 为三角形 ABC (图 1) 的高的交点。由于$\angle APB$和$\angle CRB$是直线，因此可以以BH为直径绕四边形BPHR描绘一个圆。构建完成后，我们将其替换为 $\angle ABQ = \angle APR$ （作为基于同一弧的内切角）。

*) 参见 «Kvant» No. 1, 1970, p. 1970 59.

图 1.

因此，构造辅助圆允许您使用内切角定理，从而在任务中指定的角度之间建立联系。

找出如果三角形 ABC 的 $\angle B$ 是钝角，结果会如何变化。

自己解决几个类似的问题。

1. 从直角三角形 ABC 的任意点 M ka-tega BC 开始，将垂直的 MN 放到斜边 AB 上。证明$\angle MAN = \angle MCN$。

2. 证明连接直角三角形的直角顶点与在斜边上外接的正方形中心的直线平分三角形的直角。

3. 从给定角度内的任意点 M，垂线 MP 和 MQ 落到该角度的两侧。从角 A 的顶点将垂直的 AK’ 落在线段 PQ 上。证明$\angle KAP = \angle MAQ$。

示例 2. 证明连接锐角三角形两个高的底边的线段会从该锐角三角形中切出与给定三角形相似的三角形。

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图 2.

解决了并且e。设 $AA_1$ 和 $BB_1$ 为锐角三角形 $ABC$ (图 2) 的高。 $\angle AA_1B$和$\angle AB_1B$是直的，因此以三角形的$AB$边为直径构造的圆将经过点$A_1$和$B_1$。此外，$\angle ABC = 180^\circ$ - $\angle AB_1A_1$、$\angle A_1B_1C = 180^\circ$ - $\angle AB_1A_1$，因此$\angle ABC = \angle A_1B_1C$，并且三角形$ABC$和$A_1B_1C$相似。

如果我们注意到三角形 $AA_1C$ 和 $BB_1C$ 相似并记下比例，则此问题无需辅助构造即可解决

$$\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}.$$

用变通方法解决以下两个问题。

4. 从平行四边形 $ABCD$ 的顶点 $A$ 绘制高度 $AM$ 和 $AN$。证明三角形$AMN$和$ABC$相似。

5. 从底边$H$开始，三角形$ABC$的高度$CH$降低到垂直于$HM$和$HN$的边$AC$和$BC$。证明三角形$CMN$与三角形$ABC$相似。

有时描述圆形和三角形是有利的。

示例 3. 证明三角形的平方二等分线等于其外接边的乘积与乘积之间的差

被二分线分成的第三条边的线段。

解决了并且e。我们围绕三角形$ABC$画一个圆，并延伸三角形的二切线$CD$，直到它与圆在点$E$（图3）处相交。让$BC = a$，$AC = b$，$AD = m$，$BD = n$，$CD = l$，$DE = x$。

根据条件，$\angle ACE = \angle BCE$，另外，$\angle AEC = \angle ABC$，就像基于同一圆弧的内切角。因此，三角形 $ACE$ 和 $BCD$ 相似，且等式 $$\frac{l + x}{b} = \frac{a}{l},$$ 成立，因此有 $l^2 = ab - lx$。和弦 $AB$ 和 $CE$ 相交于点 $D$。因此等式$lx = mn$成立。因此，$l^2 = ab - mn$。

示例 4. 从内部一个顶点绘制的三角形的高和中线不同，并且与从同一顶点引出的边形成相等的角度。证明三角形是直角。

解决了并且e。令三角形 $ABC$ 的高度 $CH$ 和中线 $CM$ 迫使边 $AC$ 和 $BC$ 形成相等的角 (图 4)。让我们围绕三角形 $ABC$ 画一个圆，并延伸中线 $CM$ 直到它在点 $D$ 处与圆相交。考虑三角形 $ACH$ 和 $BCD$。由于 $\angle ACH = \angle BCM$ 是有条件的，$\angle A = \angle D$，

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图 4.

作为基于同一弧的内切角，则 $\angle AHC = \angle CBD = 90^\circ$。因此，$CD$是圆的直径。

圆的中心位于直径 $CD$ 上，并且在中点 $M$ 与边 $AB$ 垂直的 $m$ 上。由于中线$CM$不是高度，因此线$CD$和$m$只有一个公共点$M$，即外接圆的圆心。因此，$AB$是圆的直径，$\angle ACB = 90^\circ$。

使用结果解决接下来的两个问题。

6. 确定三角形的内角
   a) 从一个顶点引出的中线和高度将角分成三等份；
   b) 从一个顶点引出的中线、平分线和高将该顶点处的角分成四等份。
7. 构造一个三角形，已知由一个顶点的中线、平分线和高形成的角度。
   例 5. 构造一个等距三角形，使其顶点分别位于给定的三条平行线上。

图 5.

对于这个有趣的问题，有几种已知的解决方案，使用围绕点的表达式、相似性和代数方法。通过构建辅助圆可以获得非常短的解决方案。

解决方案。设$ABC$为原始等距三角形，其顶点分别位于平行线$a, b$和$c$（图5）上。它的外接圆与线 $c$ 相交，此外还与点 $C$ 相交，并在某个点 $D$ 处相交。那么，根据内切角的性质，我们有$\angle ADC = \angle ABC = 60^\circ$。

以下构造由此而来。从线 $c$ 的任意点 $D$ 出发，我们绘制与线 $c$ 形成角度 $60^\circ$ 和 $120^\circ$ 的射线。让其中一条射线与直线$a$相交于点$A$，与直线$b$相交于点$B_1$，另一条射线与直线$b$相交于点$B$。那么线段 $AB$ 将是三角形 $ABC$ 的边。

让我们在线段$c$上绘制与线段$AB_1$相等的线段$DC$，使得点$C$和$A$位于线$BD$的同一侧。那么点$C$是三角形$ABC$的三角形，因为三角形$ABB_1$和$BCD$相等，这意味着$AB = BC$和$\angle ABC = 60^\circ$。

因此，施工工艺

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图 6.

在解决一些施工问题时，建议使用辅助圆的施工。

让我们考虑另一个难题，其中最难解决的问题是猜测如何描述围绕正方形的圆。

例6 在三角形ABC的边AC和BC上，在其外侧构造正方形ACA 1 A 2 和BCB 1 B 2 。证明直线 AB1、A1B 和 A2B2 相交于一点，并确定这些直线之间的角度。

解决方案。如果∠ACB = 90°，则该定理的有效性是显而易见的。重新定义线 AB1 和 A1B，它们均与线 A2B2 以 45° 角 (图 6) 相交于点 C。

如果 ∠ACB ≠ 90°，则正方形的外切圆除了 C 点外，还有另一个公共点 C₁，即直线 AB₁、A₁B 和 A2B2 的交点（图 7）。事实上，∠A2C₁C = 90°，就像悬挂在半圆上的一个。类似地，∠CC₁B2 = 90°。因此，∠A2C₁C + ∠CC₁B2 = 180°，即射线C₁A2和C₁B2形成一条直线。

同理，证明点C1位于直线AB1和A1B上。

考虑到所获得的内接角，我们发现直线AB 1 和A 1 B 相互重新定义，并且这些直线中的每一条都与直线A 2 B 2 成45°角。

图 7.

下一个任务与上一个任务有很多共同点。

8. 在任意三角形ABC的边AB、BC和CA上，在其外侧构造等边三角形ABC₁、BCA₁和CAB₁。证明直线 AA₁、BB₁、CC₁ 相交于一点，并且每条线都与另一条线形成 60° 角。

9. 证明如果四边形的两个对角都是钝角，则连接这些角的顶点的对角线比第二条对角线短。

让我们再提出两个涉及最大值和最小值的问题，为了解决这两个问题，建议以某种方式构造一个辅助圆。

10. 在以点 S 为顶点的角度的一侧是给定的点 A 和 B。在另一侧找到点 C，从该点可以以最大角度看到线段 AB。

11. 从位于三角形 ABC 的边 AB（或其延长线上）上的任意点 M，向边 AC 和 BC 绘制垂线 MP 和 MQ。什么情况下PQ段最长？

因此，使用相同的技术可以解决各种几何问题。辅助圆的构造允许您增加解决问题时可以使用的定理数量，并且由于这一点，您可以找到图形元素之间的依赖关系。