NSU物理笔试

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笔试
NSU 物理学专业

G.V.梅莱丁

我们在本期杂志上发布的三种问题是为今年进入新西伯利亚州立大学物理系的学生准备的。每个任务的条件后面都有清晰的数字。第一个是解决了这个问题的人在进入的人中所占的百分比，第二个是没有进入的人，第三个是占申请者总数的百分比。括号内表示正确解决问题的分数。

为了获得满意的成绩，需要获得5-9分。如果算法得分至少为 17 分，则给出优秀分数。

选项1

1. 运动锤是一个挂在缆绳上的炮弹，它可以以足够的速度围绕自身旋转。如果运动员投掷前的握力为$n$乘以链球重量，求链球能飞出的最大距离。沿电缆从旋转轴到芯的距离为$l$。体育的影响力和体育的成长是有需求的。 90、53、66 (5)。

2. 固定一个矩形线框，其长度为$a$和$b$的边上有电流，使其可以绕水平边$a$（图1）自由旋转。边$a$的权重为$P_1$，边$b—P_2$。框架处于垂直均匀磁场中，感应强度为$B$。如果框架与地平线的倾斜角为 $\alpha$，求框架中电流的大小。

3. 宇宙体在重力的影响下向月球移动。在很远的距离上，军团相对于月球的速度为零。月球表面的重力加速度比地球上的重力加速度小$n=6$倍（$g_{\pi} = \frac{g}{6}$）。月球的半径$R$约为1700公里。如果我们假设发动机产生五倍过载（5$g$），那么在什么高度$h$应该打开制动发动机以实现软着陆？可以考虑制动过程中由于燃料排出而引起的船体质量变化以及月球引力对制动阶段距离的依赖性（$h$远小于$R$）。 83、14、39 (7)。

4. 在质量为 $M$ 且仅水平滑动的光滑楔子上，落下

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质量球$m$ (图 3)。球弹性击中与地平线形成 $\alpha$ 角的面。击球前球的速度为 $v$，且垂直向下。求击球后楔块的速度。 Trenium可以忽略不计。 7, 2, 4 (7)。

解决方案

1. 当炮弹的发射角为 $45^\circ$ 时，其飞行范围最大。而且，那个$n \gg 1$。然后我们可以假设，当核展开时，线的张力赋予它向心加速度。在投掷$\frac{mv^2}{l} = nmg$的那一刻。这意味着运动员投掷时传给核心的速度等于 $v = \sqrt{lng}$。

现在不难发现炮弹的射程了。让我们写出其运动的运动学方程：

垂直$y = v_{\text{верт}} \cdot t - \frac{gt^2}{2}$，水平$x = v_{\text{гор}} \cdot t$。

倒地的瞬间$y=0$。将这个值代入第一个方程，我们就得到了原子核的飞行时间$t = \frac{2v_{\text{верт}}}{g} = \frac{v\sqrt{2}}{g}$。 （根$t=0$对应于投掷的时刻）。

在此期间，炮弹会飞行一段水平距离

$$x = v_{\text{гор}} \frac{v\sqrt{2}}{g} = \frac{v^2}{g} = nl.$$

2. 让我们写出作用在框架上的力矩总和等于零的条件，考虑到作用在框架两侧的磁场中的力矩彼此平衡（因为通过它们感应的电流是相反的）。 $P_1b \cos \alpha + 2P_2 \frac{b}{2} \cos \alpha - BIa \sin \alpha = 0$。

因此$I = (P_1 + P_2) \frac{\text{ctg} \alpha}{a}$。

3. 让我们写下飞船接近月球阶段的能量守恒定律。通过引力场与电场的类比，我们可以得出这样的结论：如果物体的势能被无限期地视为零，那么在距月球中心$H$的距离处，势能等于$-\gamma \frac{Mm}{H}$，其中$\gamma$是引力常数，$M$是月球的质量，$m$是质量身体的。如果月球表面没有势能，则$\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{H}$。

在远离月球的地方，飞船只有势能$G \frac{Mm}{R}$，而在距离月球表面高度$h$的地方，它有动能$\frac{mv^2}{2}$和势能$\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R+h}$。

因此$\gamma \frac{Mm}{R} = \frac{mv^2}{2} + \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R+h}$。

考虑到月球表面有 $\gamma \frac{Mm}{R^2} = mg_\pi$，因此有 $\gamma M = R^2g_\pi = \frac{1}{6} R^2g$，我们可以写成

$$\frac{v^2}{2} = \frac{1}{6} g \frac{R^2}{R+h}.$$

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船舶制动时能量的变化等于发动机的功。由于发动机运行过程中会产生五倍的过载，因此其牵引力应等于5毫克。因为

$$5mgh = \frac{mv^2}{2} + mg_\pi h = \frac{mv^2}{2} + \frac{1}{6} mgh$$

（先$h \ll R$，然​​后$\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R+h} = \gamma \frac{Mmh}{(R+h)R} \approx \gamma \frac{Mm}{R^2} h = mg_\pi h$）。

因此$\frac{v^2}{2} = \frac{29}{6} gh$。

将$\frac{v^2}{2}$的表达式代入方程（1），我们得到$h \approx \frac{R}{29} \approx 59$公里。

4. 利用能量守恒定律以及系统水平方向和沿楔形动量分量守恒的条件，我们可以写出：

$$v_0^2 = v_x^2 + v_y^2, \quad mv_x = Mn,$$

$$v_0 \sin \alpha = v_x \cos \alpha - v_y \sin \alpha.$$

因此$u = -\frac{v_0 \sin 2\alpha}{M/m} + \sin^2 \alpha$。

选项2

1. 飞机从城市 $M$ 直线飞行到城市 $H$，然后返回。求当风从$M$吹到$H$时，其速度等于$u$，与当风以相同速度垂直于$M-H$线吹时，总飞行时间之比。

在这两种情况下飞机相对于空气的速度都等于$c$。 89、74、90 (5)。

2. 固定球的顶点放置在风从$M$吹到$H$、风速等于$u$的情况下；玩具的重心（点 $A$）位于半球半径的折线上。叉架会从球上掉下来吗？没有滑点。 83、22、44 (6)。

3. 图 5 所示电路连接至幅值为 220 V、周期为 $1/50$ s 的交流电压源。求电阻$R$两端的最大电压值，且在此期间电路中的电流不为零。绘制电阻 $R$ 两端的电压与时间的关系图。

假设流过二极管的电流与施加在其上的电压的关系具有如 图 6. 83, 14, 39 (7) 所示的形式。

4. 当拍摄很远的物体时，将一把宽度$D$的细尺放在物镜前面，距离等于焦距。尺子的平面垂直于物体的光轴。镜片直径较细$d$ ($d < D$)。确定胶片上阴影的宽度（来自拍摄对象的所有光线将被尺子遮挡的区域的宽度）。 29、5、14、(8)。

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解决方案

1. 时间比为
   $$\frac{L}{c+u} + \frac{L}{c-u} = \frac{c}{\sqrt{c^2-u^2}}$$
   （$L$ — 城市之间的距离）。如果风垂直于线 $M-H$ 吹，则飞机相对于空气的速度 $c$ 必须定向，使其与风速 $u$ 的总和沿着线 $M-H$ 定向。

2. 我们把玩具倾斜一个小角度$\alpha$，看看玩具的重心会发生什么变化。如果往下，平衡位置不稳定，玩具就会掉落；如果上升，则平衡位置稳定。

在我们的绘图（图 7）中，线$O'B$和$A'C$是垂直的，线段$O'C$是水平的。 $O'B=2R\cos \alpha, <A'O'D=\alpha, a <DO'C=90^\circ-\alpha$。因此 $<A'O'C=\alpha-(90^\circ-\alpha)=2\alpha-90^\circ$ 和
$$A'C = A'O'\sin(2\alpha-90^\circ) = -\frac{1}{2}R\cos 2\alpha.$$

我们来求一下重心的位移。
$$\Delta h = AD - O'B + A'C = \frac{3}{2}R - 2R\cos \alpha + \frac{R}{2}\cos 2\alpha = R(1-\cos \alpha)^2 > 0.$$

因此，我们看到玩具的重心下降了。 Vanka 插入物将从半球掉落。

3. 通过二极管的电流与电压的关系图可以简单地解读：在施加到二极管上的电压达到 +10 $\theta$ 之前，没有电流流过二极管。随着电压进一步增加，二极管相当于10$\omega$的电阻。

令交流电压随时间按规律$u(t) = 220\cos \frac{2\pi t}{T}$变化。如果我们考虑 e.m.c.电池，那么很明显，二极管在$u(t_1) = 210\theta$时打开，在电压再次下降到$u(t_2) = 210\theta$时关闭。也就是说，营业到$\cos \frac{2\pi t}{T} \geq \frac{210}{220}$。

一般来说，二极管开路的时间比例等于$\frac{t}{T} = \frac{1}{2\pi}\arccos \frac{21}{22}$。

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电阻$R$两端的最大电压为5$\theta$（10$\theta$在二极管和电阻$R$之间均分）。电阻 $R$ 两端的电压与时间的定性图如 图 8 所示。

4. 让我们构建一个阴影图像，考虑到相机中的胶片位于焦平面 (图 9)。由于正在拍摄远处的物体，镜头会在焦点处收集平行光束。

从结构中可以清楚地看出$x = \frac{D - d}{3}$。

现在尝试自己解决选项 3 的问题。

选项3

1. 恒压源$U$在$a$和$b$点连接到电阻$R_1, R_2, R_3$和$R_4$（图10）电路，在$c$和$d$点连接高分辨率电压表。电压表将显示多少电位差？ 94、55、70 (3)。

2. 在比重为$d$的盛有液体的容器底部，有一个$\Gamma$形体，其尺寸如图11所示。液体不会从该体的下边缘下方泄漏。具体体重$d_0 = 2d$。容器中的液位高度$h$是多少时会破坏身体的平衡？ 78、22、40 (6)。

3. 当电容器始终$P$悬挂在外部时，其长度增加$l$。如果电子束平行于极板进入该电容器，弹簧的长度会发生多少变化？束流$I$，粒子速度$v$。通过电容器后，光束改变方向 $\alpha$ 角度。

电子电荷$e$，质量$m$。 87、29、51 (7)。

4. 重量为$P$的铅板以$\varphi$的俯仰角放置在屋顶上。铅在屋顶上的摩擦系数为$k > tg \varphi$。铅线膨胀系数$\alpha$。假设白天温度升高，达到最大值$t_1^0$ C，然后下降到$t_2^0$ C，则分别确定白天加热和离开片材时静止点的位置，如果片材在最低温度$t_1^0$ C下的长度等于$l$。根据天气情况，求$N$天内叶子会滑动多远。 42、4、19 (9)。