八年级学生注意了！函授数学学校公布招生情况

56

注意力
八年级学生！
函授数学学校
宣布录取学生

只有最高年级的学生才能被 ZMSH 录取。 ZMSH 不接受居住在莫斯科、列宁格勒及其郊区的学童。学校将于 9 月 1 日开始上课。

ZMSH 有两门课程。学校教育是免费的。

本期«Kvant»提供了作为莫斯科国立大学和列宁格勒国立大学函授数学学校入门测试的问题。想要进入 ZMSH 的人必须在 1971 年 3 月 10 日之前发送这些问题的解决方案。经过绩效审核（1971 年 7 月左右）后，您将收到是否已被 ZMSH 录取的通知。

尽管一些入门问题在外观上与普通学校的问题不同，但解决这些问题不需要额外的数学知识。

为了被学校录取，没有必要无一例外地解决所有问题。在评估工作时，不仅会考虑解决问题的数量，还会考虑解决方案的质量。每个问题的解决方案必须是合理的。没有进一步解释的答案可能不会被阅读。如果一个问题有多种可能的划分，那么必须全部指出。

作业必须在 Klatek 的学生记事本中用俄语完成。介绍性作品将不会发出。

我们要求您在发送时不要折叠 terradi。在与 terradi 一起的信封中，您需要放入一张 14x6 厘米的纸，上面写有您的邮政地址（当我们发送答案时，我们会将其粘贴在信封上）。

将一张格子纸粘贴到terradi的封面上，绘制并按照以下示例填写（您的作品不会被检查！）：

地区：
姓、名、出生年份：
学校（全名）：
班级：
数学老师的姓氏、名字、父名：
家长立场：
奥梅茨 - 司机，
母亲是家庭主妇
e.托马，圣。列宁，
3、贴切。 8

检查结果
（由检查员填写）

居住在阿尔汉格尔斯克、加里宁格勒、列宁格勒、摩尔曼斯克、诺夫哥罗德、普斯科夫地区、科米和卡拉洛苏联、白俄罗斯、拉脱维亚、立陶宛和爱沙尼亚苏联的学童必须将作业寄至以下地址：Leningrad, P-228, st. Savushkina，61 岁，列宁格勒国立大学专科学校。函授数学学校。去比赛。

居住在苏联其他地区和共和国的学童必须将作品发送至以下地址：Moscow, V-234, 莫斯科国立大学，机械师，ZMSh。去比赛。

57

1. 直径为 2 的半圆包含两个相互接触的圆。每一个都接触一个直径和一个不同的圆。如果其中一个的直径为 1，则求其中一个的直径。

2. 求数字 987654321 和 123456789 的最大公约数。

3. 梯形$ABCD$的底相等：$AB=a$、$CD=b$。 O 是对角线的交点。确定三角形$OAB$面积与梯形面积之比。

4. 已知$x+\frac{1}{x}$是整数。

那么证明数$x^8+\frac{1}{x^8}$也是整数。

5. 关于三角形$ABC$，有以下4种说法：

1. 三角形$ABC$是矩形；
2. $\Rightarrow A=30^\circ$;
3. $AB=2BC$;
4. $AC=2BC$.

我们知道其中两个陈述是正确的，另外两个是错误的。如果$BC=1$，求三角形$ABC$的周长。

6. 已知$a+\theta+c<0$和方程$ax^2+\theta x+c=0$没有实根。确定数字 $c$ 有什么符号？

7. 关于点$A, B$和$C$已知如下：

对于平面上的任意点$M$，线段$AM$至少小于线段$BM$和$CM$之一。证明点$A$位于线段$BC$上。

8. 数字 1971$^{1971}$ 的约数是多少？ （也就是说，有多少个不同的正整数可以被这个数字整除？）

9. 是否可以将边为 1 的正方体包裹在边为 3 的正方形纸中？

10. 是否可以将 9 个数字 1、2、3…、9 按顺序写在一个圆圈中，使得任意两个相邻数字的和不能被 3、5 或 7 整除？

11. 普拉夫丁市的居民总是说真话，而说谎者市的居民总是撒谎。在其中一个城市，这些城市的球队之间会安排一场足球比赛。赛后，在他失踪的球场旁边，发生了以下对话：

$A$（对$B$和$B$）：我没有参加比赛。告诉我谁赢了？

$B$：$\Gamma$告诉我他们队输了。

$B$：我们队赢了。

$\Gamma$（上车，去另一个城市，转向$A$）：我们一起服务，$A$，因为我们来自同一个城市。

$A$：你错了，$\Gamma$。我住在这里。距您所在城市 $B$。

确定每个城市的参赛者、比赛的地点以及哪支球队获胜。

12. 卡车沿高速公路沿一个方向匀速行驶，每隔一段时间不停车。然而，该男子沿着高速公路走了4公里，期间被6辆卡车追上。还有一次他走了7公里，期间被8辆汽车运输车超越。第三次他走了17公里。他超了多少辆车？ （该人以相同的速度行走了三次）。

13. 在等边三角形$ABC$的底$AB$上，取点$E$，并在内接于三角形$ACE$和$ECB$内接圆，并在点$K$和$H$处与线段$CE$相切。如果$AE=a, EB=b$，求线段$KH$的长度。

58

参见“物体的旋转运动”一文。

1. 以千克乘以平方米 ($\kappa \cdot m^2$) 为单位。
2. 圆柱体的滚动时间相同，因为它们的转动惯量相等。 （证明一下！）
3. 摩擦力$A = M \cdot \varphi$（其中$\varphi = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$弧度）所做的功必须等于制动前车轮的能量

$$M\varphi = \frac{I\omega_0^2}{2}.$$

因此$M = \frac{I\omega_0^2}{2\varphi} \approx 0,05 \text{ nm}.$

4. 让我们首先求出 100 lem 后地球的角速度是多少。由于旋转一圈所需的时间与角速度的关系为$\tau = \frac{2\pi}{\omega}$，即$\Delta\tau = \frac{2\pi}{\omega_2} - \frac{2\pi}{\omega_1}$，其中$\omega_1$是地球现在的角速度（$\omega_1 = \frac{2\pi}{24\cdot 3600} \text{ рад/c} = 7,3 \cdot 10^{-5} \text{ рад/c}$），$\omega_2$是100年后的角速度和$\Delta\tau = 1$秒。
   现在让我们写出地球的运动方程。 $M_{\text{Tp}} = I \alpha$。 I 是地球的转动惯量。是平等的

$$\frac{2}{5} \cdot 5,9 \cdot 10^{24} \kappa \cdot 4 \cdot 10^{13} m^2 = 9,4 \cdot 10^{37} \kappa \cdot m^2.$$

将$\alpha$连同$\omega_1$和$\omega_2$的表达式代入地球运动方程，可得$M_{\text{Tp}} = I \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = 2,6 \cdot 10^{19} \text{ nm}.$

5. 在$t = 10$小时=3.6·10⁴s时间内需要做的功等于稳定器动能的变化

$$\Delta K = \frac{I\omega^2}{2}.$$

波兹尼

$$N = \frac{I\omega^2}{2t} = \frac{Mr^2\omega^2}{2t} = 4,5 \cdot 10^4 \text{ em}.$$

6. 作用在球上的摩擦力$F_{\text{Tp}} = kmg$代替了其质心的平移运动并增加了其旋转速度。波兹尼

$$F_{\text{Tp}} = ma \text{ и } F_{\text{Tp}} \cdot r = I\alpha,$$

其中$a$是球平移运动的加速度，$\alpha$是旋转球的加速度，$n$是模数(n-1) - 1。

运动和 $I = \frac{2}{5}mr^2$ – 球的惯性矩。

到$t$时刻，球将具有平移速度$v = v_0 - at = v_0 - \frac{F_{\text{Tp}}}{m}t = v_0 - kgt$和旋转角速度

$$\omega = \alpha t = \frac{F_{\text{Tp}}r}{I} t = \frac{kmgr}{2\frac{5}{mr^2}} t = \frac{5}{2} \frac{kgt}{r}.$$

如果此时滑点停止，则$\omega = \frac{v}{r}$，或者

$$\frac{5}{2} \frac{kgt}{r} = \frac{v_0 - kgt}{r}.$$

因此$t = \frac{2}{7} \frac{v_0}{kg}.$

在$t$时刻，球的平移运动速度等于$v_0 - kg \frac{2v_0}{7kg} = \frac{5}{7} v_0.$

设小球在时间 $t$ 内移动的距离等于 $v_0 t - \frac{at^2}{2} = \frac{12}{49} \frac{v_0^2}{kg}.$

7. 让我们写下角动量守恒定律

$$I\omega = mR^2\omega_1,$$

其中$\omega$是飞船的角速度，$\omega_1$是宇航员的角速度，$I = \frac{2}{3} MR^2$是飞船的转动惯量。

这等于熟悉的时刻$(MR^2 + 2mR^2)\omega = [MR^2 + 2m(R + l)^2]\omega.$

由于$\omega_1 = \frac{1}{n} \omega$，那么对这个方程进行简单变换后我们发现

$$l = R \left( \sqrt{n + \frac{M}{2m}} (n - 1) - 1 \right).$$

59

顺便说一句，“组合学”

1. 数字$p_k$只能以$\alpha_k+1$的方式进入指数$0, 1, \dots, \alpha_k$的除数$q$。根据乘积规则，约数的个数等于
   $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\dots(\alpha_k+1)$.
2. 在 4 个字母 $e$ 排成一行的排列中，它们可以组合起来算作一个字母。这种排列的数量是 5！，剩下 $P(4, 1, 1, 1, 1) - 5! = 1560$。
3. 让我们按这个顺序写出元音。那么对于字母 $k$ 我们有 5 个位置；输入后，对于字母$m - 6$位，对于$n - 7$位。总共有$5\cdot 6\cdot 7 = 210$种方式。
4. 与问题$2P(3, 1, 1, 1) - 4! = 96$类似。
5. 每个数字中的每个数字出现$4^2=16$次。因此，第一位数字的数字之和为 16 $(1+2+3+4)=160$，第二位为 1600，第三位为 16,000。我们总共得到 17,760 个。
6. 每个数字中每个数字出现 $P_4/4=6$ 次。与问题 5 一样，我们得到 66,660。
7. 这里的排列总数为12，其中数字1和5在每个数字中出现3次，数字2-6次。每位数字的数字之和为$3\cdot 1+3\cdot 5+6\cdot 2=30$。总金额为33,300。
8. a) 这是由 $n$ 元素组成的集合的所有子集的数量。每个元素要么包含在子集中，要么不包含在子集中（两种方式）。使用乘积规则，我们获得了所需的等式。

6. 这里我们写出从$n$元素组成的集合中选择两个子集的方法的数量：一个从$k$元素中选择，另一个从$m - k$元素中选择。您可以首先选择一个$k$子集，然后从其余元素中选择一个$(m - k)$子集，或者首先选择一个$m$子集，然后在其中选择一个$k$子集。

顺便说一句，“行星运动”
光学问题
如果光源位于焦点 $F_1$ (图 1)，则对于来自 $F_1$ 的光线照射到的椭圆体上的任何点 $A$，焦点 $F_2$ 与光源图像 $F_1'$ 之间的距离 $F_2F_1'$ 为 $2a$（$F_1' - \text{отражение } F_1$ 相对于切线） $t$）。统计证明了$F_1'AF_2$是直的。因此，源$F_1$的图像将是一个以焦点$F_2$为中心、半径为$2a$的球体。

几何问题
让图1处的大圆圈作为“引导”，小圆圈穿过焦点$F_1$并触及较大的圆圈$A_1$—

60

3. 通过 A、P、M、Q 点画一个圆，并为每个点重写条件 $\angle APM = \angle AQM$（甚至不使用它们等于 90° 的事实，只要 A、P、M、Q 点位于同一个圆上）。

4. 通过A、M、C点画圆。三角形有两个角相似；基于弧AM和AN。

5. 通过点 C、M、N、H 画一个圆。利用 CH 是直径的事实并证明 $\angle BAC = \angle CNM$。

6. a) $90^\circ; 60^\circ; 30^\circ$.

6. $90^\circ; 22^\circ; 5; 67^\circ, 5$.

7. 根据相似度确定三角形。在平分线上取任意一点，将其视为平分线与外接圆的交点。从该点到三角形边（与高度平行）的垂直线击中麦地那的底部并穿过圆心。圆上的第三个点将反映在该垂线上。请务必进行可行性分析并考虑所有可能的情况。

8. 解决这个问题的关键是由等边三角形外切并相交于一点的辅助圆给出，所有三条直线$AA_1, BB_1$和$CC_1$都经过该辅助圆。

9. 以三角形ABC的边AB为直径作圆。证明如果C是钝角，则其顶点位于圆内。

现在考虑如何构建一个圆来解决问题 9。

10. 通过A、B、C画的圆必须与C点的角的边相切。证明$\angle SCA = \angle SBC$。三角形SAC和SBC相似。要确定 SC，可以通过 A 点和 B 点画任意圆，并确定从 S 点绘制的、从 S 到切点的切线段的长度。这将是SC。

11. 解决此问题时，您可以应用一个公式，通过外接圆的直径和对角来表示三角形的边。

转至“以列宁命名的莫斯科国立师范学院数学入学考试”一文

选项一

$$V = \frac{p^9 \cos^2 \alpha tg^2 \frac{\alpha}{2} tg \beta}{12 \cos^4 \frac{\alpha}{2}}.$$

2. 写一个方程

$$v_1^2 - \frac{2\pi R}{a} v_1 - \frac{(2\pi R)^2}{at} = 0;$$

他的解决方案：$v_1 = \frac{\pi R}{a} \left( \sqrt{1 + \frac{4a}{t}} + 1 \right) -$

第一辆车的速度，第二辆车的$v_2 = \frac{\pi R}{a} \times \left( \sqrt{1 + \frac{4a}{t}} - 1 \right) -$速度。第二个根不满足问题的条件。

3. 若$a = 0$，则$x = 0$；如果$a > 1$，则$x = \frac{-1 + \sqrt{4a - 3}}{2}$；如果$0 < a < 1$，则无根。

4. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$; $x = 2\pi k$;

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$

$(k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)$

选项2

$$V = \frac{h^3}{\sqrt{2} \sin 2\alpha \cos \frac{\alpha}{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)}$$

2. 写一个方程

$$\frac{a(m - x) + bx}{m} = \frac{b(n - x) + ax}{n},$$

其中$a, b$为第1块和第2块对应的1千克中的铜含量。

从方程中消除$a$和$b$后，我们得到$(m + n)(b - a)x = (b - a)mn, b > a,$

$$x = \frac{mn}{m + n}.$$

3. $1 < x \leq \sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}} \leq x < \frac{1}{5\sqrt{4}}.$

4. $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$ $(k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)$.

转至“NSU 物理学研究考试”一文

选项3

1. 由于电压表具有较高的值，因此可以变换通过它的点，并且可以确定点 $c$ 和 $d$，就好像电压表根本不存在一样。因此，假设点$a$的势为零，我们可以写成

$$\varphi_c - \varphi_d = \Delta U = \frac{UR_1}{R_1 + R_2} - \frac{UR_3}{R_3 + R_4} = U \frac{R_1 R_4 - R_2 R_3}{(R_1 + R_2)(R_3 + R_4)}$$

2. 找到物体的重心位置后，考虑到水不会接近其下边界，我们写出作用在物体上的水压力和重力的力矩相等。我们选择下边界的边作为轴