Học sinh lớp 8 chú ý! Trường Toán học hàm thụ thông báo tuyển sinh

56

CHÚ Ý
HỌC SINH LỚP TÁM!
TRƯỜNG TOÁN HỌC HÀM THỤ
THÔNG BÁO TUYỂN HỌC SINH

Chỉ học sinh các lớp cuối cấp mới được nhận vào ZMSh. Học sinh sống ở Moskva, Leningrad và các vùng ngoại ô của hai thành phố này không được nhận vào ZMSh. Việc học ở trường sẽ bắt đầu từ ngày 1 tháng Chín.

ZMSh có hai khóa học. Việc học ở trường là miễn phí.

Trong số này của “Kvant” có các bài toán dùng làm bài kiểm tra đầu vào cho các trường toán học hàm thụ trực thuộc Đại học Moskva và Đại học Leningrad. Những ai muốn vào ZMSh phải gửi lời giải các bài toán này chậm nhất vào ngày 10 tháng Ba năm 1971. Sau khi bài làm được chấm (khoảng tháng Bảy năm 1971), bạn sẽ được thông báo có được nhận vào ZMSh hay không.

Mặc dù một số bài toán đầu vào có hình thức khác với các bài toán thông thường ở trường, để giải chúng không cần bất kỳ kiến thức toán học bổ sung nào.

Để được nhận vào trường, không nhất thiết phải giải tất cả các bài toán không trừ bài nào. Khi đánh giá bài làm, không chỉ số lượng bài toán đã giải mà cả chất lượng lời giải cũng được tính đến. Lời giải mỗi bài toán phải có chứng minh. Đáp số không kèm bất kỳ lời giải thích nào có thể không được tính. Nếu trong bài toán có thể có nhiều trường hợp, cần nêu tất cả các trường hợp đó.

Bài làm phải được viết bằng tiếng Nga trong vở học sinh ô vuông. Bài làm đầu vào không được gửi trả lại.

Khi gửi đi, xin đừng cuộn vở thành ống. Cùng với vở, cần cho vào phong bì một mảnh giấy kích thước 14×6 cm có ghi địa chỉ bưu điện của bạn (chúng tôi sẽ dán nó lên phong bì khi gửi trả lời).

Trên bìa vở, dán một tờ giấy ô vuông, kẻ và điền theo mẫu sau (nếu không bài làm sẽ không được chấm!):

Tỉnh:
Họ, tên, năm sinh:
Trường (tên đầy đủ):
Lớp:
Họ, tên, tên đệm của giáo viên toán:
Nghề nghiệp của cha mẹ:
Cha — lái xe,
mẹ — nội trợ
thành phố Tomma, phố Lenin,
nhà 3, căn hộ 8

KẾT QUẢ CHẤM
(do người chấm điền)

Học sinh sống tại các tỉnh Arkhangelsk, Kaliningrad, Leningrad, Murmansk, Novgorod, Pskov, các nước Cộng hòa Komi và Karelia thuộc Liên Xô, các nước Cộng hòa Belarus, Latvia, Litva và Estonia thuộc Liên Xô, phải gửi bài làm theo địa chỉ: Leningrad, P-228, phố Savushkin, 61, Trường nội trú đặc biệt trực thuộc Đại học Leningrad. Trường toán học hàm thụ. Dự thi.

Học sinh sống tại các tỉnh và nước cộng hòa khác của Liên Xô phải gửi bài làm theo địa chỉ: Moskva, V-234, Đại học Moskva, khoa cơ học, ZMSh. Dự thi.

57

1. Trong nửa đường tròn có đường kính 2 nội tiếp hai đường tròn tiếp xúc với nhau. Mỗi đường tròn tiếp xúc với đường kính và với đường tròn kia. Tìm đường kính của một trong chúng, nếu đường kính của đường tròn kia bằng 1.

2. Tìm ước chung lớn nhất của các số 987654321 và 123456789.

3. Các đáy của hình thang $ABCD$ bằng: $AB=a$, $CD=b$. O là giao điểm của các đường chéo. Xác định tỉ số diện tích tam giác $OAB$ với diện tích hình thang.

4. Biết rằng $x+\frac{1}{x}$ là một số nguyên.

Chứng minh rằng khi đó số $x^8+\frac{1}{x^8}$ cũng là một số nguyên.

5. Về tam giác $ABC$ đã có 4 khẳng định sau:

1. Tam giác $ABC$ vuông;
2. $\Rightarrow A=30^\circ$;
3. $AB=2BC$;
4. $AC=2BC$.

Biết rằng hai trong các khẳng định này đúng, còn hai khẳng định kia sai. Tìm chu vi tam giác $ABC$, nếu $BC=1$.

6. Biết rằng $a+\theta+c<0$ và phương trình $ax^2+\theta x+c=0$ không có nghiệm thực. Xác định số $c$ có dấu gì?

7. Về các điểm $A, B$ và $C$ biết điều sau:

với mọi điểm $M$ trên mặt phẳng, đoạn $AM$ nhỏ hơn ít nhất một trong hai đoạn $BM$ và $CM$. Chứng minh rằng điểm $A$ nằm trên đoạn $BC$.

8. Số 1971$^{1971}$ có bao nhiêu ước? (Tức là, có bao nhiêu số nguyên dương khác nhau mà số này chia hết cho chúng?)

9. Có thể gói một hình lập phương cạnh 1 trong một mảnh giấy hình vuông cạnh 3 không?

10. Có thể viết chín số 1, 2, 3 …, 9 theo một vòng tròn theo thứ tự sao cho tổng của bất kỳ hai số kề nhau nào cũng không chia hết cho 3, 5, hoặc 7 không?

11. Người dân thành phố Pravdin luôn nói thật, còn người dân thành phố Lgunov luôn nói dối. Tại một trong hai thành phố này diễn ra một trận bóng đá giữa các đội của hai thành phố. Sau trận đấu, gần sân vận động nơi trận đấu diễn ra, đã có cuộc đối thoại sau:

$A$ (nói với $B$ và $B$): Tôi không có mặt ở trận đấu. Hãy cho biết, ai đã thắng?

$B$: $\Gamma$ nói với tôi rằng đội của họ đã thua.

$B$: Đội của chúng tôi đã thắng.

$\Gamma$ (ngồi trên xe buýt đi đến thành phố khác và nói với $A$): Chúng ta đi cùng nhau, $A$, vì chúng ta từ cùng một thành phố.

$A$: Bạn nhầm rồi, $\Gamma$. Tôi sống ở đây. Chính $B$ là người từ thành phố của bạn.

Hãy xác định ai thuộc mỗi thành phố, trận đấu diễn ra ở đâu và đội nào đã thắng.

12. Trên đường cái, theo một hướng với vận tốc không đổi, cứ sau những khoảng thời gian bằng nhau lại có xe buýt chạy qua mà không dừng. Một người đã đi bộ dọc theo đường cái 4 km, và trong thời gian đó bị 6 xe buýt vượt qua. Lần khác anh ta đi bộ 7 km, và trong thời gian đó bị 8 xe buýt vượt qua. Lần thứ ba anh ta đi bộ 17 km. Khi đó có bao nhiêu xe buýt vượt qua anh ta? (Cả ba lần người ấy đi bộ với cùng một vận tốc).

13. Trên đáy $AB$ của tam giác cân $ABC$ lấy điểm $E$, và trong các tam giác $ACE$ và $ECB$ nội tiếp các đường tròn, chúng tiếp xúc với đoạn $CE$ tại các điểm $K$ và $H$. Tìm độ dài đoạn $KH$, nếu $AE=a, EB=b$.

58

Về bài «Chuyển động quay của các vật».

1. Tính bằng kilôgam nhân với mét vuông ($\kappa \cdot m^2$).
2. Thời gian lăn xuống của các hình trụ bằng nhau, vì mômen quán tính của chúng bằng nhau. (Chứng minh!)
3. Công của lực ma sát $A = M \cdot \varphi$ (trong đó $\varphi = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ rađian) phải bằng năng lượng của bánh xe trước khi hãm

$$M\varphi = \frac{I\omega_0^2}{2}.$$

Suy ra $M = \frac{I\omega_0^2}{2\varphi} \approx 0,05 \text{ nm}.$

4. Trước hết, hãy tìm xem Trái Đất sẽ có vận tốc góc nào sau 100 năm. Vì thời gian cần thiết cho một vòng quay liên hệ với vận tốc góc bởi công thức $\tau = \frac{2\pi}{\omega}$, nên $\Delta\tau = \frac{2\pi}{\omega_2} - \frac{2\pi}{\omega_1}$, trong đó $\omega_1$ – vận tốc góc của Trái Đất hiện nay ($\omega_1 = \frac{2\pi}{24\cdot 3600} \text{ rad/s} = 7,3 \cdot 10^{-5} \text{ rad/s}$), $\omega_2$ – vận tốc góc của nó sau 100 năm và $\Delta\tau = 1$ s.
   Bây giờ hãy viết phương trình chuyển động của Trái Đất. $M_{\text{Tp}} = I \alpha$. I – mômen quán tính của Trái Đất. Nó bằng

$$\frac{2}{5} \cdot 5,9 \cdot 10^{24} \kappa \cdot 4 \cdot 10^{13} m^2 = 9,4 \cdot 10^{37} \kappa \cdot m^2.$$

Thay vào phương trình chuyển động của Trái Đất biểu thức của $\alpha$ qua $\omega_1$ và $\omega_2$, ta được $M_{\text{Tp}} = I \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = 2,6 \cdot 10^{19} \text{ nm}.$

5. Công cần thực hiện trong thời gian $t = 10$ giờ=3,6·10⁴ s, bằng độ biến thiên động năng của bộ ổn định

$$\Delta K = \frac{I\omega^2}{2}.$$

Do đó

$$N = \frac{I\omega^2}{2t} = \frac{Mr^2\omega^2}{2t} = 4,5 \cdot 10^4 \text{ em}.$$

6. Lực ma sát tác dụng lên quả cầu $F_{\text{Tp}} = kmg$ làm chậm chuyển động tịnh tiến của tâm khối của nó và tăng tốc độ quay của nó. Do đó

$$F_{\text{Tp}} = ma \text{ và } F_{\text{Tp}} \cdot r = I\alpha,$$

trong đó $a$ – gia tốc chuyển động tịnh tiến của quả cầu, $\alpha$ – gia tốc quay của quả cầu, $n$ – môđun (n-1) - 1.

Chuyển động và $I = \frac{2}{5}mr^2$ – mômen quán tính của quả cầu.

Đến thời điểm $t$, quả cầu sẽ có tốc độ chuyển động tịnh tiến $v = v_0 - at = v_0 - \frac{F_{\text{Tp}}}{m}t = v_0 - kgt$ và tốc độ góc quay

$$\omega = \alpha t = \frac{F_{\text{Tp}}r}{I} t = \frac{kmgr}{2\frac{5}{mr^2}} t = \frac{5}{2} \frac{kgt}{r}.$$

Nếu tại thời điểm này sự trượt chấm dứt, thì $\omega = \frac{v}{r}$, hay

$$\frac{5}{2} \frac{kgt}{r} = \frac{v_0 - kgt}{r}.$$

Suy ra $t = \frac{2}{7} \frac{v_0}{kg}.$

Tại thời điểm $t$, tốc độ chuyển động tịnh tiến của quả cầu bằng $v_0 - kg \frac{2v_0}{7kg} = \frac{5}{7} v_0.$

Quãng đường quả cầu đi được trong thời gian $t$ bằng $v_0 t - \frac{at^2}{2} = \frac{12}{49} \frac{v_0^2}{kg}.$

7. Viết định luật bảo toàn mômen động lượng

$$I\omega = mR^2\omega_1,$$

trong đó $\omega$ – vận tốc góc của con tàu, còn $\omega_1$ – vận tốc góc của nhà du hành vũ trụ và $I = \frac{2}{3} MR^2$ – mômen quán tính của con tàu.

Điều này bằng mômen đã được giới thiệu $(MR^2 + 2mR^2)\omega = [MR^2 + 2m(R + l)^2]\omega.$

Vì $\omega_1 = \frac{1}{n} \omega$, nên sau các biến đổi đơn giản từ phương trình này ta tìm được rằng

$$l = R \left( \sqrt{n + \frac{M}{2m}} (n - 1) - 1 \right).$$

59

Về bài “Tổ hợp”

1. Số $p_k$ có thể đi vào ước số $q$ với số mũ $0, 1, \dots, \alpha_k$ theo tất cả $\alpha_k+1$ cách. Theo quy tắc nhân, số ước bằng
   $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\dots(\alpha_k+1)$.
2. Trong các hoán vị mà 4 chữ cái $e$ đứng liền nhau, có thể gộp chúng lại và coi là một chữ cái. Số hoán vị như vậy bằng 5!, còn lại $P(4, 1, 1, 1, 1) - 5! = 1560$.
3. Viết các nguyên âm theo thứ tự đã cho. Khi đó, đối với chữ cái $k$ có 5 chỗ; sau khi đã điền nó, đối với chữ cái $m - 6$ chỗ, đối với $n - 7$ chỗ. Tổng cộng có $5\cdot 6\cdot 7 = 210$ cách.
4. Tương tự bài $2P(3, 1, 1, 1) - 4! = 96$.
5. Mỗi chữ số ở mỗi hàng xuất hiện $4^2=16$ lần. Vì vậy tổng các chữ số ở hàng thứ nhất bằng 16 $(1+2+3+4)=160$, ở hàng thứ hai — 1600 và ở hàng thứ ba — 16 000. Tổng cộng được 17 760.
6. Mỗi chữ số ở mỗi hàng xuất hiện $P_4/4=6$ lần. Như trong bài 5, được 66 660.
7. Ở đây tổng số hoán vị bằng 12, trong đó các chữ số 1 và 5 xuất hiện ở mỗi hàng 3 lần, còn chữ số 2—6 lần. Tổng các chữ số ở mỗi hàng bằng $3\cdot 1+3\cdot 5+6\cdot 2=30$. Tổng chung bằng 33 300.
8. a) Đây là số tất cả các tập con của một tập gồm $n$ phần tử. Mỗi phần tử hoặc thuộc tập con, hoặc không thuộc (2 cách). Theo quy tắc nhân, ta được đẳng thức cần tìm.

6. Ở đây viết số cách chọn trong một tập gồm $n$ phần tử hai tập con: một tập gồm $k$ phần tử, tập kia gồm $m - k$. Có thể trước hết chọn tập con $k$, rồi từ các phần tử còn lại — tập con $(m - k)$, hoặc trước hết chọn tập con $m$, rồi chọn trong nó tập con $k$.

Về bài «Chuyển động của các hành tinh»
Bài toán quang học
Nếu nguồn nằm tại tiêu điểm $F_1$ (hình 1), thì với mọi điểm $A$ trên ellipsoid mà tia đi từ $F_1$ tới, khoảng cách $F_2F_1'$ giữa tiêu điểm $F_2$ và ảnh $F_1'$ của nguồn bằng $2a$ ($F_1' - \text{ảnh phản xạ của } F_1$ đối với tiếp tuyến $t$). Việc $F_1'AF_2$ là một đường thẳng đã được chứng minh trong bài. Do đó ảnh của nguồn $F_1$ sẽ là một mặt cầu bán kính $2a$ có tâm tại tiêu điểm $F_2$.

Bài toán hình học
Gọi đường tròn lớn trên hình 1 là «đường chuẩn», còn đường tròn nhỏ đi qua tiêu điểm $F_1$ và tiếp xúc với đường tròn lớn tại $A_1$—

60

3. Vẽ đường tròn qua các điểm A, P, M, Q và viết lại cho bạn điều kiện $\angle APM = \angle AQM$ (việc chúng bằng 90° thậm chí không được sử dụng, chỉ cần các điểm A, P, M, Q nằm trên một đường tròn).

4. Vẽ đường tròn qua các điểm A, M, C. Các tam giác đồng dạng theo hai góc; chắn các cung AM và AN.

5. Vẽ đường tròn qua các điểm C, M, N, H. Hãy sử dụng việc CH là đường kính, và chứng minh rằng $\angle BAC = \angle CNM$.

6. a) $90^\circ; 60^\circ; 30^\circ$.

6. $90^\circ; 22^\circ; 5; 67^\circ, 5$.

7. Tam giác được xác định chính xác đến đồng dạng. Lấy một điểm bất kỳ trên đường phân giác, coi đó là điểm giao của đường phân giác với đường tròn ngoại tiếp. Đường vuông góc hạ từ điểm này xuống cạnh của tam giác (nó song song với đường cao) đi qua chân đường trung tuyến và đi qua tâm đường tròn. Điểm thứ ba trên đường tròn nhận được bằng phép đối xứng qua đường vuông góc này. Đừng quên tiến hành phân tích khả năng dựng hình và xét tất cả các trường hợp có thể.

8. Chìa khóa để giải bài toán này là các đường tròn phụ, ngoại tiếp các tam giác đều và cắt nhau tại một điểm, mà cả ba đường thẳng $AA_1, BB_1$ và $CC_1$ cũng đi qua điểm đó.

9. Giả sử trên cạnh AB của tam giác ABC dựng một đường tròn có AB làm đường kính. Chứng minh rằng nếu góc C tù, thì đỉnh của nó nằm bên trong đường tròn.

Bây giờ hãy suy nghĩ xem cần dựng đường tròn như thế nào để giải bài toán 9.

10. Đường tròn đi qua A, B, C phải tiếp xúc với cạnh của góc tại điểm C. Chứng minh rằng $\angle SCA = \angle SBC$. Các tam giác SAC và SBC đồng dạng. Để xác định SC, có thể vẽ một đường tròn bất kỳ qua các điểm A và B và xác định độ dài đoạn tiếp tuyến kẻ từ điểm S, từ S đến tiếp điểm. Đó chính là SC.

11. Khi giải bài toán này có thể áp dụng công thức biểu diễn cạnh của tam giác qua đường kính đường tròn ngoại tiếp và góc đối diện.

Về bài «Kỳ thi tuyển sinh môn toán tại MGPI mang tên V. I. Lenin»

Phương án I

$$V = \frac{p^9 \cos^2 \alpha tg^2 \frac{\alpha}{2} tg \beta}{12 \cos^4 \frac{\alpha}{2}}.$$

2. Lập phương trình

$$v_1^2 - \frac{2\pi R}{a} v_1 - \frac{(2\pi R)^2}{at} = 0;$$

nghiệm của nó: $v_1 = \frac{\pi R}{a} \left( \sqrt{1 + \frac{4a}{t}} + 1 \right) -$

vận tốc của ô tô thứ nhất, $v_2 = \frac{\pi R}{a} \times \left( \sqrt{1 + \frac{4a}{t}} - 1 \right) -$ vận tốc của ô tô thứ hai. Nghiệm thứ hai không thỏa mãn điều kiện của bài toán.

3. Nếu $a = 0$, thì $x = 0$; nếu $a > 1$, thì $x = \frac{-1 + \sqrt{4a - 3}}{2}$; nếu $0 < a < 1$, thì không có nghiệm.

4. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$; $x = 2\pi k$;

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$

$(k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)$

Phương án 2

$$V = \frac{h^3}{\sqrt{2} \sin 2\alpha \cos \frac{\alpha}{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)}$$

2. Lập phương trình

$$\frac{a(m - x) + bx}{m} = \frac{b(n - x) + ax}{n},$$

trong đó $a, b$ — lượng đồng trong 1 kg tương ứng của miếng thứ nhất và thứ hai.

Sau khi khử $a$ và $b$ khỏi phương trình, ta được $(m + n)(b - a)x = (b - a)mn, b > a,$

$$x = \frac{mn}{m + n}.$$

3. $1 < x \leq \sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}} \leq x < \frac{1}{5\sqrt{4}}.$

4. $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$ $(k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)$.

Cho bài «Các kỳ thi nghiên cứu về vật lý tại ĐHTQ Novosibirsk»

Phương án 3

1. Vì vôn kế có điện trở lớn, có thể bỏ qua dòng điện qua nó, và thế điện tại các điểm $c$ và $d$ có thể xác định như thể hoàn toàn không có vôn kế. Vì vậy, lấy thế điện tại điểm $a$ bằng không, ta có thể viết rằng

$$\varphi_c - \varphi_d = \Delta U = \frac{UR_1}{R_1 + R_2} - \frac{UR_3}{R_3 + R_4} = U \frac{R_1 R_4 - R_2 R_3}{(R_1 + R_2)(R_3 + R_4)}$$

2. Sau khi tìm vị trí trọng tâm của vật, ta viết đẳng thức mômen của lực áp suất nước và trọng lực tác dụng lên vật, có tính đến việc nước không chảy xuống dưới mặt đáy của nó. Chọn cạnh của mặt đáy làm trục