[Bài toán M61—M65; F72—F76]

38

Mục này của tạp chí được chúng tôi duy trì từ số này sang số khác. Trong đó đăng các bài toán vật lý và toán học, một số trong đó khá khó. Ngay cả các nhà vật lý và toán học chuyên nghiệp cũng không dễ giải chúng. Vì vậy, đừng nản lòng nếu bạn không thể giải được bài toán này hay bài toán khác. Hãy thử sau một thời gian quay lại với nó.

Giải một bài toán có nghĩa là hiểu cần sử dụng bộ máy toán học nào, những phương trình (hoặc định lý) nào, cần tính đến những yếu tố nào, còn những yếu tố nào — bỏ qua; cũng có nghĩa là cố gắng xác định những hiện tượng được nêu trong bài toán được áp dụng trong thực tế ở đâu và như thế nào. Nhưng rồi lời giải đã được tìm ra. Bạn hài lòng. Tuy nhiên, không nên dừng lại ở đó. Hãy suy nghĩ xem có thể khái quát hóa bài toán như thế nào.

Trong phần thứ hai của mục (khoảng nửa năm sau khi bắt đầu đăng các bài toán) chúng tôi sẽ đăng lời giải của chúng có tính đến các thư do độc giả gửi đến. Chúng tôi cần khoảng thời gian như vậy vì việc chuẩn bị để in số tiếp theo mất hơn bốn tháng.

Những học sinh thường xuyên gửi các lời giải đặc biệt độc đáo và thành công sẽ được quyền tham gia các kỳ Olympic toàn liên bang của học sinh ngang hàng với những người chiến thắng Olympic toàn liên bang qua thư. Ngoài ra, ban biên tập tạp chí đã lập một số giải thưởng đặc biệt cho các tác giả của những lời giải thú vị nhất.

Và cuối cùng. Nghĩ ra một bài toán thường khó hơn giải nó. Khó hơn, nhưng cũng thú vị hơn. Hãy thử nghĩ ra các bài toán và gửi cho chúng tôi. Những bài hay nhất trong số đó sẽ được đăng trong “Tuyển tập bài toán Kvant”.

Hãy gửi lời giải và các bài toán mới theo địa chỉ: Moskva, V-71, đại lộ Lenin, 15, tòa soạn tạp chí “Kvant”, “Tuyển tập bài toán «Kvant»”, toán học (vật lý). Lời giải của mỗi bài toán (nếu bạn gửi ngay vài lời giải thử) hãy viết trên một tờ riêng (các tờ riêng), chỉ một mặt. Cuối thư hãy ghi họ, tên, tên cha, cũng như lớp và trường của bạn. Lời giải chỉ được xét nếu nhận được không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi số tạp chí tương ứng phát hành.

39

Hình 1.

M61. Hai nhà hiền triết chơi một trò chơi mới gồm những điều sau đây. Các số 0, 1, 2,…, 1024 được viết ra. Nhà hiền triết thứ nhất tùy ý gạch bỏ 512 số, nhà hiền triết thứ hai gạch bỏ 256 số trong các số còn lại, rồi nhà hiền triết thứ nhất lại gạch bỏ thêm 128 số, sau đó nhà hiền triết thứ hai — thêm 64 số, v.v. Ở nước đi thứ năm cuối cùng của mình, nhà hiền triết thứ hai gạch bỏ một số. Còn lại hai số, và người thứ hai trả cho người thứ nhất hiệu giữa hai số đó. Người thứ nhất phải chơi thế nào để nhận được nhiều nhất? Người thứ hai phải chơi thế nào để thua ít nhất? Người thứ hai sẽ trả cho người thứ nhất bao nhiêu, nếu họ chơi theo cách tốt nhất?

Olympic Toán học Moskva lần thứ XXXII

M62. Chứng minh rằng với mọi số lẻ $a$ đều tìm được một số tự nhiên $b$ sao cho $2^b - 1$ chia hết cho $a$.

M63. Có thể dùng 18 viên gạch kích thước $1 \times 2$ lát thành một hình vuông sao cho,

Hình 2.

đồng thời không có một “đường mạch” thẳng nào nối các cạnh đối diện của hình vuông và đi theo các mép gạch? (Chẳng hạn, cách sắp xếp gạch như ở hình 1 không được, vì ở đây có “đường mạch” $AB$).

A. A. Kirillov

M64. Trên mặt phẳng cho đường thẳng $l$ và hai điểm $P$ và $Q$ nằm cùng một phía đối với nó. Tìm trên đường thẳng $l$ điểm $M$ sao cho khoảng cách giữa chân các đường cao của tam giác $PQM$, hạ xuống các cạnh $PM$ và $QM$, là nhỏ nhất.

G. A. Palatnik

M65. a) Cho $E, F, G$ là các điểm trên các cạnh $AB, BC$ và $CA$ của tam giác $ABC$, sao cho $\frac{AE}{EB} = \frac{BF}{FC} = \frac{CG}{GA} = k$, trong đó $0 < k < 1$. Hãy tìm tỉ số diện tích tam giác được tạo bởi các đường thẳng $AF, BG$ và $CE$ với diện tích tam giác $ABC$ (hình 2).

b) Hãy cắt tam giác bằng sáu đường thẳng thành những phần có thể ghép lại thành bảy tam giác bằng nhau.

A. L. Soifer

⟦trang 40⟧

F72. Vì sao vào tháng Ba độ dài ngày thay đổi nhanh hơn vào tháng Mười Hai?

G. L. Komkin

F73. Đổ dung dịch đường vào trong một ống thủy tinh. Đầu dưới của ống được bịt bằng một màng thấm được nước, nhưng không thấm được các phân tử đường. Người ta nhúng ống vào nước tinh khiết đến ngang mức dung dịch đường và cố định ở vị trí đó. Mức chất lỏng trong ống bắt đầu dâng lên và sau một khoảng thời gian đủ dài được xác lập ở một độ cao nào đó trên mức nước (hình 3).

Điều gì giải thích sự hút nước vào bên trong ống? Năng lượng để nâng chất lỏng lấy từ đâu?

F74. Hai tụ điện được mắc nối tiếp. Tụ thứ nhất có điện dung $C_1$ và được tính cho điện áp cực đại $U_1$, tụ thứ hai có điện dung $C_2$ và được tính cho điện áp $U_2$. Có thể nối bộ tụ điện này với điện

áp cực đại bằng bao nhiêu?

A. R. Zilberman

Ф75. Một pít-tông có diện tích $S$ được nối bản lề với vòng đệm $C$, trượt không ma sát trên đòn bẩy $AB$. Độ dài đòn bẩy là $L$. Cần tác dụng lực nhỏ nhất nào lên đòn bẩy $AB$ để tăng áp suất trong chất lỏng thêm $\Delta p$ (hình 4)?

B. B. Bukhốpsev, olympiad vật lí Đại học Quốc gia Moskva, năm 1970.

Ф76. Một vành nặng với các nan không trọng lượng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng và có thể quay quanh một trục nằm ngang đi qua tâm. Trong bề dày của vành có gắn một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của chính vành. Chu kì dao động của vành quanh trục sẽ bằng bao nhiêu? Nó thay đổi thế nào nếu: a) đưa con lắc lên Mặt Trăng, b) đặt nó vào một chất lỏng, trong đó nó sẽ chuyển động không ma sát?