Chuyển động của các hành tinh

20

Bài này nói về một số tính chất của elip và về các quy luật khác nhau của chuyển động các hành tinh, trong đó quan trọng nhất được gọi là các định luật Kepler.

Lực hấp dẫn
Định luật quán tính hiện nay có vẻ là định luật sơ đẳng và tự nhiên nhất — việc học cơ học sẽ bắt đầu từ đó. Tuy nhiên, để hiểu nó, cần phải tách khỏi những gì diễn ra ngay trước mắt. Trong những điều kiện thông thường, chuyển động của vật trong mặt phẳng ngang bị cản trở bởi ma sát và sức cản không khí; khi chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng, vật chịu tác dụng của sức cản không khí và lực hấp dẫn. Cần phải thoát khỏi ảnh hưởng của chúng, ít nhất là trong tư duy. Việc này đã mất nhiều năm.

Chỉ sau khi định luật quán tính — định luật chuyển động của vật trong những điều kiện lý tưởng hóa — được hiểu rõ, mới có thể xét chuyển động của các vật dưới tác dụng của lực.

Định luật rơi của các vật trên Trái Đất được Galileo (1564—1642) thiết lập. Ông là người đầu tiên đặt ra cho mình nhiệm vụ tìm hiểu vận tốc của vật rơi thay đổi thế nào trong các khoảng thời gian liên tiếp. Nhờ đó, ông đã đưa gia tốc vào cơ học và xác lập rằng gia tốc của mọi vật rơi xuống đất là như nhau và không đổi. Nhưng việc nguyên nhân của gia tốc là lực hấp dẫn chỉ về sau mới được Newton hiểu rõ.

Gần một trăm năm sau khi công trình của Galileo được công bố, Newton đã phát hiện định luật vạn vật hấp dẫn (năm 1687), theo đó lực hấp dẫn không không đổi mà giảm khi khoảng cách giữa các vật tăng lên, theo bình phương của khoảng cách ấy.

Nếu vật lý phát triển về mặt lịch sử theo đúng trình tự mà nó được trình bày trong sách giáo khoa, thì chỉ sau phát hiện của Newton mới có thể chuyển sang nghiên cứu các định luật chuyển động của hành tinh. Nhưng sự phát triển của khoa học không tuân theo lôgic của sách giáo khoa. Sớm hơn Newton đáng kể, các định luật này đã được xác lập bởi người cùng thời với Galileo là Johann Kepler (1571—1630).

Kiến thức cơ học của Kepler, so với kiến thức của một học sinh hiện đại, hết sức ít ỏi. Ông không những không biết các định luật Newton (chúng khi ấy chưa được phát hiện), mà còn có một quan niệm rất mơ hồ về lực là gì. Tất cả những gì Kepler có trong tay là những ghi chép rất cẩn thận về sự quan sát chuyển động của các thiên thể, được thầy ông là Tycho Brahe *) tiến hành trong nhiều năm và chính ông tiếp tục tiến hành. Chỉ có sự cần cù phi thường và niềm tin vững chắc vào sự tồn tại của những định luật đơn giản chi phối chuyển động của các hành tinh mới cho phép ông phát hiện các định luật từ đó mang tên ông.

Các định luật Kepler đến nay vẫn chưa hẳn rõ ràng. Chủ yếu điều này liên quan đến việc các elip — những đường cong mà các hành tinh chuyển động theo — ít được người đọc thông thường biết đến. Nhưng thực ra, suy ra các định luật Kepler không quá khó. Muốn vậy, cần dùng hai định luật cơ học: định luật bảo toàn năng lượng (mà cả Kepler lẫn Newton đều chưa biết) và định luật bảo toàn mômen động lượng. Như ta sẽ thấy, định luật sau tương đương với định luật Kepler thứ hai: các diện tích do bán kính-vectơ của hành tinh quét được trong những khoảng thời gian bằng nhau là bằng nhau.

*) Tycho Brahe là một trong những nhà thiên văn cuối cùng quan sát chuyển động của các thiên thể bằng mắt thường.

22

Định luật bảo toàn năng lượng

Trên bề mặt Trái Đất, lực hấp dẫn bằng $mg$. Nếu đưa vào thế năng của vật trong trường hấp dẫn $U = mgh$ (h — khoảng cách từ vật đến Trái Đất), thì có thể khẳng định rằng khi vật chuyển động, tổng động năng và thế năng của nó $E = \frac{mv^2}{2} + mgh$ không thay đổi.

Tuy nhiên, biểu thức cho $U$ mà ta đã viết chỉ đúng ở những khoảng cách nhỏ từ vật đến Trái Đất, khi $h$ nhỏ so với bán kính Trái Đất và có thể coi lực hấp dẫn là không đổi. Nếu độ cao lớn hơn, thì lực hấp dẫn giảm theo khoảng cách. Theo định luật Newton

$$|F| = \gamma \frac{mM}{R^2},$$

trong đó $\gamma$ là hằng số hấp dẫn, $M$ là khối lượng Trái Đất và $R$ là khoảng cách từ vật đến tâm Trái Đất.

Nếu dùng biểu thức chính xác cho lực hấp dẫn, thì thế năng phải được thay bằng $U = -\gamma \frac{mM}{R}$. Hãy kiểm tra điều này. Nhớ rằng công mà vật thực hiện khi chuyển động bằng độ giảm.

Hình 2.

Hình 3.

của thế năng của nó. Ta tính công do vật rơi từ độ cao $R_2$ xuống độ cao $R_1$ tính từ tâm Trái Đất thực hiện (hình 2). Để làm điều đó cần tính hiệu các thế năng của vật:

$$\text{công} = U_2 - U_1 =$$

$$= \gamma m M \left( -\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_1} \right) =$$

$$= \gamma m M \left( \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2} \right).$$

Nếu $R_2 - R_1 \ll R_1$ ($R_2 \approx R_1$), thì tích $R_1 R_2$ có thể thay bằng $R^2$ — bình phương trung bình nhân của $R_1$ và $R_2$ (khi $R_2 \approx R_1$: $R \approx R_2 \approx R_1$), còn $R_2 - R_1$ thay bằng $l$ — quãng đường vật đã đi. Khi đó công thức cuối cùng có dạng

$$\text{công} = \text{lực} \times \text{quãng đường} = \gamma \frac{mM}{R^2} l.$$

lực quãng đường trọng lực

Điều đó có nghĩa là biểu thức của $U$, mà chúng ta đã viết ở trên, là thế năng thực sự của vật.

Bây giờ ta cần viết công thức cho toàn năng lượng của vật theo cách khác:

$$E = \frac{mv^2}{2} - \gamma \frac{mM}{R} = m \left( \frac{v^2}{2} - \gamma \frac{M}{R} \right).$$

Elip

Hãy bắt đầu bằng định nghĩa thông thường về elip (hình 3). Elip là quỹ tích những điểm mà tổng khoảng cách từ chúng đến hai điểm (các tiêu điểm của elip) là không đổi.

23

Hình 4.

Từ định nghĩa này có thể suy ra một tính chất “quang học” thú vị của elip: nếu đặt một nguồn sáng tại một trong các tiêu điểm của elip phản xạ *), thì mọi tia phát ra từ đó sẽ hội tụ tại tiêu điểm kia của elip **). Điều này có nghĩa là các góc giữa các đường thẳng đi từ các tiêu điểm của elip đến một điểm trên elip và tiếp tuyến với elip bằng nhau (hình 4).

Chúng ta sẽ chứng minh rằng elip còn có một tính chất nữa, thậm chí thuận tiện để lấy làm định nghĩa của elip. Để làm điều đó, kẻ tiếp tuyến $t$ với elip tại điểm $A$ và hạ các đường vuông góc từ cả hai tiêu điểm của elip xuống tiếp tuyến này (hình 5). Kéo dài một trong các đường vuông góc đó qua đường thẳng $t$ một đoạn $F'_2 N_2$, bằng $N_2 F_2$. Bây giờ nối các điểm $F'_2$ và $F_1$ với điểm $A$. Chúng ta sẽ chứng minh rằng $F'_2 AF_1$ là một đường thẳng.

Điều này thấy ngay từ $\alpha_1 = \alpha_2$ (theo cách dựng) và $\alpha_1 = \alpha_3$ (theo tính chất quang học của elip). Do đó, $\alpha_2 = \alpha_3$, và vì vậy $F'_2 AF_1$ là một đường thẳng.

*) Ellipsoid được gọi là quỹ tích những điểm mà tổng khoảng cách từ chúng đến hai điểm cố định là không đổi. Mặt này thu được khi quay elip quanh trục của nó.

**) Chứng minh tính chất này của elip dễ nhất bằng cách sử dụng nguyên lý Fermat (xem “Kvant” số 11, 1970).

Hình 5.

Tiếp theo, vì $AF'_2 = AF_2$, nên $F_1 F'_2 = F_1 A + AF'_2 = F_1 A + AF_2$, tức là đoạn $F_1 F'_2$ bằng tổng các khoảng cách từ một điểm của elip đến các tiêu điểm. Ký hiệu tổng này là $2a$. Bây giờ hạ đường vuông góc $F_1 B$ xuống đường thẳng $F'_2 F'_2$, tính độ dài cạnh góc vuông $F_1 B$ từ hai tam giác vuông — màu nâu và màu vàng — rồi cho hai biểu thức của $F_1 B$ bằng nhau:

$(2a)^2 - (\rho_1 + \rho_2)^2 = (2c)^2 - (\rho_2 - \rho_1)^2$.

Khai triển các dấu ngoặc, ta được

$\rho_1 \rho_2 = a^2 - c^2$.

Vậy tích $\rho_1 \rho_2$ không phụ thuộc vào điểm mà tiếp tuyến được kẻ qua. Hãy kẻ nó tại đầu mút của bán trục nhỏ (hình 6). Trong trường hợp này $a^2 - b^2 = c^2$. Do đó $\rho_1 \rho_2 = b^2$.

Như vậy, ta đã thu được định lý cơ bản:

Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm đến bất kỳ tiếp tuyến nào của elip là một đại lượng không đổi, bằng bình phương bán trục nhỏ.

24

Định luật thứ nhất của Kepler

Bây giờ ta có thể xét chuyển động của hành tinh. Để đơn giản, ta sẽ không chứng minh rằng quỹ đạo của hành tinh là một elip, mà giả sử điều đó và sử dụng các định luật bảo toàn mômen động lượng và năng lượng, sẽ tìm được kết quả của nó và thấy rằng chuyển động theo các elip trong trường trọng lực không mâu thuẫn với các định luật bảo toàn.

Xét hai vị trí của hành tinh $A$ và $A'$, đối xứng qua tâm elip (hình 7). Cũng có thể nói khác: điểm $A$ là vị trí thực của hành tinh tại một thời điểm nào đó, còn $A'$ nhận được từ điểm thứ nhất bằng cách chuyển Mặt Trời sang tiêu điểm kia, trong khi hành tinh vẫn ở nguyên chỗ cũ.

Viết định luật bảo toàn năng lượng. Ký hiệu các đại lượng bằng chỉ số 1 cho điểm $A$ và chỉ số 2 cho điểm $A'$, ta được $(E_1 = E_2 = E)^*$.

$$-E = \frac{mv_1^2}{2} - \gamma \frac{mM}{r_1} = \frac{mv_2^2}{2} - \gamma \frac{mM}{r_2}.$$

Mômen động lượng của hành tinh bằng tích của động lượng $mv_1$ (hoặc $mv_2$) với “cánh tay đòn” — tham số va chạm $\rho_1$ (hoặc $\rho_2$), trong khi toàn năng lượng $T + U = -E < 0$.

Vì mômen động lượng đối với cả hai vị trí của hành tinh là như nhau:
$$L = mv_1\rho_1 = mv_2\rho_2.$$
Ta tính tích các động năng của hành tinh tại các điểm $A$ và $A'$:
$$T_1T_2 = \frac{mv_1^2}{2} \cdot \frac{mv_2^2}{2} = \left(-E + \frac{\alpha}{r_1}\right) \times \left(-E + \frac{\alpha}{r_2}\right).$$
(Ở đây $\alpha = \gamma Mm$.)
Thay trong phương trình này các vận tốc bằng biểu thức của chúng qua mômen động lượng, sau các biến đổi đơn giản ta được:
$$\frac{1}{4} \frac{L^4}{m^2\rho_1^2\rho_2^2} - E^2 = \frac{-\alpha(r_1 + r_2)E + \alpha^2}{r_1r_2}.$$

Không khó thấy rằng đẳng thức này được thỏa mãn nếu quỹ đạo của hành tinh là elip. Thật vậy, cần đặt
$$r_1 + r_2 = \frac{\alpha}{E} = 2a$$
và
$$\rho_1\rho_2 = \frac{L^2}{2mE} = b^2.$$

Cả hai đẳng thức này chính là hai định nghĩa của elip đã nêu ở trên.

Như vậy, quỹ đạo của chúng ta là một elip có các bán trục: bán trục lớn
$$a = \gamma \frac{mM}{2E} \text{ và bán trục nhỏ } b = \frac{L}{\sqrt{2mE}}.$$

26

Hình 8.

Khi đó vận tốc của hành tinh sẽ không thứ nguyên. Vận tốc là số cho biết $v_0$ chứa bao nhiêu lần trong vận tốc của hành tinh:

$$\beta_1 = \frac{v_1}{v_0} \quad \text{và} \quad \beta_2 = \frac{v_2}{v_0}.$$

Theo điều đã nói ở trên, các vận tốc $\beta_1$ và $\beta_2$ liên hệ với nhau bởi hệ thức

$$\beta_1 = \frac{1}{\beta_2}.$$

Điều đó có nghĩa gì? Nếu hạt chuyển động tại một điểm nào đó của quỹ đạo với vận tốc $\beta$, thì tại điểm đối xứng qua tâm quỹ đạo, vận tốc của nó sẽ bằng $\frac{1}{\beta}$

Chúng ta đã mô tả quỹ đạo của hành tinh bằng cách cho vị trí (tọa độ) của nó tại mỗi thời điểm. Cũng có thể làm theo cách khác — cho các vận tốc của hành tinh. Đường cong thu được khi đó gọi là đồ thị vận tốc (có thể nói rằng đó là quỹ đạo trong không gian vận tốc). Vì tích các đoạn $\beta_1$ và $\beta_2$ là không đổi, nên đồ thị vận tốc của hành tinh là một đường tròn (hình 8) (hãy nhớ định lý: “Một điểm nằm bên trong đường tròn. Khi đó đối với mọi dây cung đi qua điểm này, tích độ dài các đoạn mà điểm này chia dây cung là như nhau”).

Nếu thay vận tốc $\beta$ bằng $\frac{1}{\beta}$ tại mỗi điểm của đồ thị, thì đồ thị không thay đổi, mà vận tốc chỉ quay đi $180^\circ$. Tính chất này được gọi là tính bất biến của chuyển động đối với mặt.

Nếu quỹ đạo của hành tinh là đường tròn, thì $\beta = 1$ (hãy chứng minh!). Trong trường hợp này, đồ thị là một đường tròn có tâm tại gốc tọa độ.

Chu kỳ quay

Để tính chu kỳ quay — thời gian một vòng quay đầy đủ của hành tinh quanh Mặt Trời hoặc của vệ tinh nhân tạo quanh Trái Đất, cần tính thời gian đi qua từng đoạn của quỹ đạo (riêng rẽ, vì vận tốc luôn thay đổi) rồi cộng lại theo tất cả các đoạn. Dĩ nhiên không thể làm điều đó một cách sơ cấp, nhưng có thể vượt qua mọi khó khăn.

Từ định luật Kepler thứ hai, ta biết rằng trong thời gian $\Delta t$ vectơ bán kính của hành tinh “quét” một diện tích bằng $\frac{L}{2m} \Delta t$ (nhắc lại rằng $L = \text{const}$). Vậy chu kỳ quay có thể tính được bằng cách chia diện tích elip cho tốc độ “quét” không đổi

$$T = \frac{S_{\text{эллипса}}}{L/2m}.$$

Vì elip được tạo thành từ đường tròn, bị nén theo một hướng $\frac{b}{a}$ lần$^*$), nên diện tích elip bằng

$$S_{\text{эллипса}} = S_{\text{крута}} \cdot \frac{b}{a} = \pi a^2 \frac{b}{a} = \pi ab.$$

Từ các công thức này ta được

$$T = \frac{2\pi ab}{L}.$$

Nhưng $b = \frac{L}{\sqrt{2Em}}$, do đó

$$T = \pi a \sqrt{\frac{2m}{E}}$$

$^*$) Xem bài báo của I. N. Bronshtein “Elip” (“Kvant” số 9, 1970).

27

hoặc, thay vào đây các biểu thức của $a \left( a = \gamma \frac{Mm}{2E} \right)$ và thay $\left( \frac{2E}{m} \right)^{3/2}$ bằng $v_0^3$, ta được
$$T = 2\gamma M \frac{m}{2E} \sqrt{\frac{m}{2E}} = 2 \frac{\pi \gamma M}{v_0^3}.$$
Từ công thức này thấy rằng chu kỳ chuyển động chỉ phụ thuộc vào giá trị $v_0$. Nếu từ cùng một điểm trên bề mặt Trái Đất phóng vài vệ tinh giống nhau theo các hướng khác nhau, nhưng với cùng một vận tốc $v_0$, thì tất cả chúng sẽ đồng thời (sau thời gian $T$) tập hợp tại chính điểm ấy.

Định luật Kepler thứ ba
Nếu bây giờ trong công thức (*) về chu kì quay của hành tinh, cùng với năng lượng $E$ thay biểu thức của nó qua bán trục lớn $\left( E = \gamma \frac{mM}{2a} \right)$, thì ta được
$$T = 2\pi a^{3/2} \frac{1}{\sqrt{\gamma M}}.$$
Do đó, $T^2$ tỉ lệ với $a^3$, nghĩa là bình phương chu kì quay của hành tinh tỉ lệ với lập phương bán trục lớn của elip. Đó chính là định luật Kepler thứ ba.

Hình 9.
Elip là quỹ tích các tâm của những đường tròn đi qua tiêu điểm và tiếp xúc với một đường tròn cho trước (đường tròn chỉ hướng).

Trong bài báo này chúng tôi đã nói đôi chút về hình học, quang học và cơ học. Bây giờ hãy giải các bài toán.

Bài toán quang học
Tại một trong các tiêu điểm của ellipsoid, có mặt trong phản chiếu như gương, có một nguồn sáng điểm. Hãy dựng ảnh của nguồn này đối với người quan sát ở tiêu điểm thứ hai của ellipsoid.

Bài toán hình học
Chứng minh rằng elip là quỹ tích các tâm của những đường tròn đi qua tiêu điểm và tiếp xúc với một đường tròn cho trước (đường tròn chỉ hướng) (hình 9).

Trên hình vẽ thấy rằng chân các đường vuông góc $\rho_1$ và $\rho_2$ nằm trên “đường tròn chính”. Điều này có phải ngẫu nhiên không?

Bài toán vũ trụ
Quỹ đạo của vệ tinh Trái Đất có các tham số: khoảng cách lớn nhất $R$, khoảng cách nhỏ nhất $r$. Hãy tính toàn năng lượng và mômen động lượng của vệ tinh. Tìm vận tốc của vệ tinh tại các đầu mút của trục lớn và trục nhỏ.

Cách dựng đẹp
Hình vẽ trên bìa tạp chí được dựng như sau: bên trong một đường tròn chọn một điểm, rồi từ điểm đó, lấy làm tâm, vẽ một đường tròn nhỏ hơn nó. Từ tâm của đường tròn thứ hai này kẻ các tia cho đến khi gặp đường tròn lớn. Qua điểm trên mỗi tia nằm chính giữa hai đường tròn, kẻ một dây cung vuông góc với tia đó. Miền bên trong có dạng elip.