Kỳ thi viết môn vật lý tại ĐH Novosibirsk

51

KỲ THI VIẾT
MÔN VẬT LÝ TẠI ĐHNN

G. V. Meledin

Ba phương án bài toán mà chúng tôi in trong số tạp chí này, năm nay dành cho những người dự thi vào khoa vật lý của Đại học Quốc gia Novosibirsk. Sau đề bài của mỗi bài toán là ba con số. Số thứ nhất là phần trăm những người giải được bài toán này trong số những người trúng tuyển, số thứ hai — trong số những người không trúng tuyển, số thứ ba — trong tổng số những người dự thi. Trong ngoặc ghi số điểm được chấm cho lời giải đúng của bài toán.

Để nhận được điểm đạt yêu cầu, cần đạt 5—9 điểm. Điểm xuất sắc được cho nếu thí sinh đạt không dưới 17 điểm.

Phương án 1

1. Búa thể thao là một quả cầu gắn vào dây cáp, được ném đi sau khi quay quanh người với vận tốc đủ lớn. Tìm khoảng cách lớn nhất mà búa có thể bay, nếu lực giữ của vận động viên trước khi ném quả cầu lớn hơn trọng lượng của búa $n$ lần. Khoảng cách từ trục quay đến quả cầu dọc theo dây cáp bằng $l$. Bỏ qua sức cản không khí và chiều cao của vận động viên. 90, 53, 66 (5).

2. Một khung dây hình chữ nhật có dòng điện, với các cạnh dài $a$ và $b$, được cố định sao cho có thể tự do quay quanh cạnh $a$ nằm ngang (hình 1). Trọng lượng của cạnh $a$ bằng $P_1$, còn của cạnh $b—P_2$. Khung nằm trong từ trường đều thẳng đứng có cảm ứng từ $B$. Tìm cường độ dòng điện trong khung, nếu góc nghiêng của khung so với phương ngang bằng $\alpha$.

3. Tàu vũ trụ chuyển động về phía Mặt Trăng dưới tác dụng lực hút của nó. Ở rất xa, vận tốc của tàu so với Mặt Trăng bằng không. Gia tốc trọng trường trên bề mặt Mặt Trăng nhỏ hơn $n=6$ lần so với trên Trái Đất ($g_{\pi} = \frac{g}{6}$). Bán kính Mặt Trăng $R$ khoảng 1700 km. Động cơ hãm phải được bật ở độ cao $h$ nào để thực hiện hạ cánh mềm, nếu coi động cơ tạo ra quá tải năm lần (5 $g$)? Có thể bỏ qua sự thay đổi khối lượng của tàu khi hãm do đốt nhiên liệu và sự phụ thuộc của lực hút Mặt Trăng vào khoảng cách ở giai đoạn hãm ($h$ nhỏ hơn nhiều so với $R$). 83, 14, 39 (7).

4. Lên một cái nêm nhẵn khối lượng $M$, chỉ có thể trượt theo phương ngang, rơi

52

một viên bi khối lượng $m$ (hình 3). Viên bi va chạm đàn hồi với mặt tạo góc $\alpha$ với phương ngang. Vận tốc của viên bi ngay trước va chạm bằng $v$ và hướng thẳng đứng xuống dưới. Tìm vận tốc của nêm sau va chạm. Có thể bỏ qua ma sát. 7, 2, 4 (7).

Lời giải

1. Tầm bay của quả tạ là lớn nhất nếu góc phóng của nó bằng $45^\circ$. Hơn nữa, $n \gg 1$. Khi đó có thể coi rằng khi quay quả tạ, gia tốc hướng tâm được truyền cho nó bởi lực căng của sợi dây. Tại thời điểm ném $\frac{mv^2}{l} = nmg$. Điều này có nghĩa là vận tốc mà vận động viên truyền cho quả tạ khi ném bằng $v = \sqrt{lng}$.

Bây giờ không khó để tìm tầm bay của quả tạ. Viết các phương trình động học chuyển động của nó:

theo phương thẳng đứng $y = v_{\text{верт}} \cdot t - \frac{gt^2}{2}$, theo phương ngang $x = v_{\text{гор}} \cdot t$.

Tại thời điểm chạm đất $y=0$. Thay giá trị này vào phương trình thứ nhất, ta tìm được thời gian bay của viên đạn $t = \frac{2v_{\text{верт}}}{g} = \frac{v\sqrt{2}}{g}$. (nghiệm $t=0$ ứng với thời điểm ném).

Trong thời gian này, viên đạn bay theo phương ngang một quãng đường

$$x = v_{\text{гор}} \frac{v\sqrt{2}}{g} = \frac{v^2}{g} = nl.$$

2. Viết điều kiện tổng mômen của các lực tác dụng lên khung bằng không, có xét rằng các mômen của lực tác dụng trong từ trường lên các cạnh bên của khung cân bằng lẫn nhau (vì các dòng điện cảm ứng trong chúng ngược chiều nhau). $P_1b \cos \alpha + 2P_2 \frac{b}{2} \cos \alpha - BIa \sin \alpha = 0$.

Suy ra $I = (P_1 + P_2) \frac{\text{ctg} \alpha}{a}$.

3. Viết định luật bảo toàn năng lượng cho giai đoạn con tàu tiến đến gần Mặt Trăng. Từ sự tương tự giữa trường hấp dẫn và trường tĩnh điện có thể kết luận rằng nếu coi thế năng của vật bằng không ở vô cùng xa Mặt Trăng, thì ở khoảng cách $H$ từ tâm của nó, thế năng bằng $-\gamma \frac{Mm}{H}$, trong đó $\gamma$ — hằng số hấp dẫn, $M$ — khối lượng Mặt Trăng và $m$ — khối lượng vật. Nếu lấy thế năng bằng không tại bề mặt Mặt Trăng, thì $\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{H}$.

Ở xa Mặt Trăng, con tàu chỉ có thế năng $G \frac{Mm}{R}$, còn ở độ cao $h$ so với bề mặt Mặt Trăng, nó có động năng $\frac{mv^2}{2}$ và thế năng $\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R+h}$.

Do đó $\gamma \frac{Mm}{R} = \frac{mv^2}{2} + \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R+h}$.

Xét rằng trên bề mặt Mặt Trăng $\gamma \frac{Mm}{R^2} = mg_\pi$ và vì thế $\gamma M = R^2g_\pi = \frac{1}{6} R^2g$, ta có thể viết rằng

$$\frac{v^2}{2} = \frac{1}{6} g \frac{R^2}{R+h}.$$

53

Độ biến thiên năng lượng của con tàu khi hãm bằng công của động cơ. Vì khi động cơ hoạt động tạo ra quá tải gấp năm lần, lực đẩy của nó phải bằng 5 mg. Do đó

$$5mgh = \frac{mv^2}{2} + mg_\pi h = \frac{mv^2}{2} + \frac{1}{6} mgh$$

(vì $h \ll R$, nên $\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R+h} = \gamma \frac{Mmh}{(R+h)R} \approx \gamma \frac{Mm}{R^2} h = mg_\pi h$).

Từ đó $\frac{v^2}{2} = \frac{29}{6} gh$.

Thay biểu thức này của $\frac{v^2}{2}$ vào phương trình (1), ta tìm được $h \approx \frac{R}{29} \approx 59$ km.

4. Dùng định luật bảo toàn năng lượng và các điều kiện bảo toàn các thành phần xung lượng của hệ theo phương ngang và dọc theo nêm, có thể viết:

$$v_0^2 = v_x^2 + v_y^2, \quad mv_x = Mn,$$

$$v_0 \sin \alpha = v_x \cos \alpha - v_y \sin \alpha.$$

Suy ra $u = -\frac{v_0 \sin 2\alpha}{M/m} + \sin^2 \alpha$.

Phương án 2

1. Máy bay bay theo đường thẳng từ thành phố $M$ đến thành phố $H$ rồi quay lại. Tìm tỉ số của toàn bộ thời gian bay trong trường hợp gió thổi từ $M$ đến $H$ với tốc độ bằng $u$, và trong trường hợp gió có cùng tốc độ thổi vuông góc với đường $M-H$.

Tốc độ của máy bay đối với không khí trong cả hai trường hợp bằng $c$. 89, 74, 90 (5).

2. Trên điểm trên cùng của quả cầu được cố định, đặt trong trường hợp gió thổi từ $M$ đến $H$ với tốc độ bằng $u$, và của quả cầu được cố định; trọng tâm của đồ chơi — điểm $A$ — nằm ở nửa bán kính của bán cầu. Con lật đật có rơi khỏi quả cầu không? Không có trượt. 83, 22, 44 (6).

3. Mạch điện vẽ ở hình 5 được nối với một nguồn điện áp xoay chiều có biên độ 220 V và chu kỳ $1/50$ s. Tìm giá trị cực đại của điện áp trên điện trở $R$ và phần chu kỳ trong đó dòng điện trong mạch khác không. Vẽ đồ thị sự phụ thuộc của điện áp trên điện trở $R$ theo thời gian.

Coi rằng sự phụ thuộc của dòng điện qua điốt vào điện áp đặt lên nó có dạng như trên hình 6. 83, 14, 39 (7).

4. Khi chụp ảnh một vật ở rất xa, trước vật kính của máy ảnh, ở khoảng cách bằng tiêu cự, người ta đặt một thước mỏng có bề rộng $D$. Mặt phẳng của thước vuông góc với trục quang học của vật kính. Vật kính là một thấu kính mỏng có đường kính $d$ ($d < D$). Xác định bề rộng của bóng trên phim (bề rộng của vùng mà trong đó thước sẽ che khuất mọi tia đi từ vật được chụp). 29, 5, 14, (8).

54

Lời giải

1. Tổng thời gian bằng
   $$\frac{L}{c+u} + \frac{L}{c-u} = \frac{c}{\sqrt{c^2-u^2}}$$
   ($L$ — khoảng cách giữa các thành phố). Nếu gió thổi vuông góc với đường $M-H$, thì vận tốc $c$ của máy bay đối với không khí phải được hướng sao cho tổng của nó với vận tốc gió $u$ hướng theo đường $M-H$.

2. Lệch đồ chơi đi một góc nhỏ $\alpha$ và xem điều gì xảy ra với trọng tâm của đồ chơi. Nếu trọng tâm hạ xuống thì vị trí cân bằng không bền và đồ chơi sẽ đổ; nếu trọng tâm nâng lên thì vị trí cân bằng bền.

Trong hình vẽ của chúng ta (hình 7), các đường $O'B$ và $A'C$ thẳng đứng, còn đoạn $O'C$ nằm ngang. $O'B=2R\cos \alpha, <A'O'D=\alpha, a <DO'C=90^\circ-\alpha$. Do đó $<A'O'C=\alpha-(90^\circ-\alpha)=2\alpha-90^\circ$ và
$$A'C = A'O'\sin(2\alpha-90^\circ) = -\frac{1}{2}R\cos 2\alpha.$$

Ta tìm độ dịch chuyển của trọng tâm.
$$\Delta h = AD - O'B + A'C = \frac{3}{2}R - 2R\cos \alpha + \frac{R}{2}\cos 2\alpha = R(1-\cos \alpha)^2 > 0.$$

Như vậy, ta thấy rằng trọng tâm của đồ chơi đã hạ xuống. Con lật đật sẽ rơi khỏi bán cầu.

3. Đồ thị sự phụ thuộc của dòng điện qua điốt vào điện áp được giải thích đơn giản: không có dòng điện đi qua điốt cho đến khi điện áp đặt vào nó đạt +10 $\theta$. Khi điện áp tiếp tục tăng, điốt tương đương với một điện trở 10 $\omega$.

Giả sử điện áp xoay chiều biến thiên theo thời gian theo quy luật $u(t) = 220\cos \frac{2\pi t}{T}$. Nếu tính đến suất điện động của các pin, thì rõ ràng điốt mở khi $u(t_1) = 210\theta$ và đóng khi điện áp lại giảm xuống $u(t_2) = 210\theta$. Tức là nó mở khi $\cos \frac{2\pi t}{T} \geq \frac{210}{220}$.

Vì vậy, phần của chu kì trong đó điốt mở bằng $\frac{t}{T} = \frac{1}{2\pi}\arccos \frac{21}{22}$.

55

Điện áp cực đại trên điện trở $R$ bằng 5 $\theta$ (10 $\theta$ được chia đều giữa điốt và điện trở $R$). Đồ thị định tính của sự phụ thuộc của điện áp trên điện trở $R$ vào thời gian được chỉ ra trên hình 8.

4. Hãy dựng ảnh của bóng, lưu ý rằng phim trong máy ảnh nằm trong mặt phẳng tiêu (hình 9). Vì chụp một vật ở xa, nên vật kính hội tụ tại tiêu điểm một chùm tia song song.

Từ phép dựng thấy rằng $x = \frac{D - d}{3}$.

Bây giờ hãy thử tự giải các bài toán của phương án 3.

Phương án 3

1. Vào mạch gồm các điện trở $R_1, R_2, R_3$ và $R_4$ (hình 10), tại các điểm $a$ và $b$ nối một nguồn điện áp không đổi $U$, còn tại các điểm $c$ và $d$ nối một vôn kế có điện trở rất lớn. Vôn kế sẽ chỉ hiệu điện thế nào? 94, 55, 70 (3).

2. Ở đáy bình chứa chất lỏng có trọng lượng riêng $d$ đặt một vật hình $\Gamma$ với các kích thước ghi trên hình 11. Chất lỏng không chảy vào dưới mặt đáy của vật. Trọng lượng riêng của vật là $d_0 = 2d$. Ở độ cao $h$ nào của mức chất lỏng trong bình thì trạng thái cân bằng của vật bị phá vỡ? 78, 22, 40 (6).

3. Khi tụ điện luôn $P$ được treo ở bên ngoài, chiều dài của nó tăng thêm $l$. Chiều dài bên ngoài còn thay đổi thêm bao nhiêu, nếu một chùm electron đi vào tụ điện này song song với các bản tụ? Dòng điện của chùm là $I$, vận tốc của các hạt là $v$. Đi qua tụ điện, chùm đổi hướng một góc $\alpha$.

Điện tích của electron là $e$, khối lượng là $m$. 87, 29, 51 (7).

4. Trên một mái nhà có góc nghiêng $\varphi$ có đặt một tấm chì trọng lượng $P$. Hệ số ma sát của chì với mái nhà là $k > tg \varphi$. Hệ số nở dài của chì là $\alpha$. Coi rằng nhiệt độ trong một ngày tăng lên, đạt giá trị lớn nhất $t_1^0$ C, rồi giảm xuống $t_2^0$ C, hãy xác định vị trí của các điểm đứng yên tương ứng khi tấm chì nóng lên và nguội đi trong ngày, nếu chiều dài của tấm ở nhiệt độ nhỏ nhất $t_1^0$ C bằng $l$. Hãy tìm xem tấm chì sẽ trượt xuống một khoảng bao nhiêu sau $N$ ngày thời tiết ổn định. 42, 4, 19 (9).