Методы расчёта эквивалентных сопротивлений

54

1. Метод эквивалентных узлов

Идей метод состоит в том, чтобы различные узлы цепи, имеющие равные потенциальы, рассматривать как один узел. При этом потенциаль в полученном «склеенном» узле равен общему значению потенциальов исходных узлов.

Если эквивалентные узлы соединить проводником (без сопротивления), то электрическое условие во всех узлах и ветвях цепи не изменяется, так как по этому проводнику ток идти не будет.

Рассмотрим примеры.

Задача 1. Найти сопротивление, эквивалентное участку цепи, изображенную на рисунке 1, $a$ (все сопротивления на схеме одинаковы и равны $r$).

Решение. Нетрудно понять, что узлы 1, 2 и 3 имеют равные потенциальы. В самом деле, из сообщений симметрия ясно, что токи, индущее по ветвям A-1, A-2 и A-3 — одинаковы. Поэтому благодаря равенству сопротивления этих ветвей padения потенциальа на них тоже одинаковы и одинаковы потенциальы узлов 1, 2 и 3.

Аналогично можно показать, что узлы 4, 5 и 6 тоже имеют равные потенциальы (эквивалентных).

Ясно, что сопротивление цепи не изменится, если эквивалентные узлы 1, 2 и 3 соединить вместе. Не изменится сопротивление цепи, если соединить и вторую тройку эквивалентных узлов.

Сделав это, мы получим цепь, эквивалентную данной (рис. 1, 6). Сопротивление этой цепи найти нетрудно: сопротивление участка $AN$ равно $\frac{1}{3} r \left( \frac{1}{R_{AN}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} \right)$, сопротивление участка $NM$ равно $\frac{1}{6} r$, а сопротивление участка $MB$ равно $\frac{1}{3} r$. Поэтому $R_{AB} = \frac{5}{6} r$.

56

Рис. 3.

тельно, по участку $FF'$ ток не идет. Позному можно удалить участок $FF'$ и мы получим эквивалентную схему, изображенную на рисунке 4, б. После простых преобразований цепи (рис. 4, θ) легко подсчитать, что ее сопротивление $R = \frac{7}{6} r$.

3. Метод «размножения» узлов

Этот метод тоже тесто связыван с методом эквивалентных узлов. Если замена несколько эквивалентных узлов одним (соединение узлов) приводила к эквивалентной цепи, то и обратная замена одного узла несколько эквивалентными узлами не нарушит электрические условия в остальной части цепи.

Приведем примеры цепей, для которых такое преобразование целесообразно.

Задание 5. Найти сопротивление участка цепи, показанного на рисунке 5, а.

Заменим узел $O$ трея узлами; $O_1$, $O_2$ и $O_3$ (рис. 5, б). Однако нам нужно еще докажать, что эти цепи эквивалентны. Для эквивалентности цепей необходимо, чтобы узлы $O_1$, $O_2$ и $O_3$ были эквивалентными. Но это оченьindo, так как разность потенциальов $\varphi_{O_2}$ — $\varphi_A$ равна половине разности потенциальов точек $A$ и $B$: $\varphi_{O_2} - \varphi_A = \frac{1}{2} u_{AB}$.

Аналогично, из сообщений симметрики включения сопротивления нетрудно найти, что $\varphi_{O_1} - \varphi_A = \frac{1}{2} u_{AB}$ и $\varphi_{O_3} - \varphi_A = \frac{1}{2} u_{AB}$. Следовательно, $\varphi_{O_1} = \varphi_{O_2} = \varphi_{O_3}$, то есть узлы $O_1$, $O_2$ и $O_3$ эквивалентны. Теперь найти сопротивление цепи не составляет труда. Оно равно 0,8 $r$ (рис. 5, θ).

58

Рис. 7.

Задание 7. Найти сопротивление $R$ цепи, показанной на рисунке 7, а.

Решение. Заменим ветвь $OC$ двумя параллельными ветвями с равными между собой сопротивлениями $2 r$. Затем разделим узел $C$ на эквивалентные узлы $C_1$ и $C_2$ (их эквивалентныйность следует из сообщений симметричной относительной узлов $A$ и $O$). Цепь, показанная на рисунке 7, 6, эквивалентна цепи на рисунке 7, а. Найдем ее сопротивление. Участики $BO$ и $BC_1O$ соединены параллельно. Позному сопротивление $R_{BO} = \frac{3}{4} r$.

Аналогично, $R_{OD} = \frac{3}{4} r$. Теперь узлы $A$ и $O$ связаны трех параллельными ветвями с сопротивлениями $\frac{7}{4} r, r, \frac{7}{4} r$. Общее сопротивление цепи равно $R = \frac{7}{15} r$ (рис. 7, г).

5. Рекуррентный метод

Рекуррентными методами решения задач называют общую такие методы, при которых задача решается по шагам, причем на $n$-м шаге надо использовать результаты, полученные на предшествующих шагах. Рекуррентные методы в задачах расчета сопротивления цепей особенно удобны, когда схема имеет повторяющийся структура и число сопротивлений велико.

Задание 8. Найти сопротивление цепи, показанной на рисунке 8, а, где $r_1 = \frac{r}{2}, r_2 = \frac{r}{2}, r_3 = r_4 = r_5 = r_6 = r$.

Решение. Перерисуем цепь так, как показано на рисунке 8, 6. Ясно, что расчет нужно вести с конца $B$. Заменяя сопротивление $r_3, r_6$ и $r_2$ эквивалентным сопротивлением $R = r_2 + \frac{r_3 r_6}{r_3 + r_6} = r$, получаем схему, показанную на рисунке 8, в. Теперь сопротивления $R, r_5$ и $r_1$, можно вновь заменить эквивалентным $R_1 = r_1 + \frac{R r_5}{R + r_5} = r$ (рис. 8, г). Общее сопротивление цепи равно

$$\frac{R_1 r_4}{R_1 + r_4} = \frac{r}{2}.$$