[Фрагмент из книги «Математическое открытие»]

67

О книжке Пойя «Математическое открытие»

Автора этой книги читатель нашей страны знают давно. Еще в 1937—1938 гг. вышли его, совместно с Г. Сеге, двухтомные «Задачи и теоремы из анализа», в 1957 году — «Математika и праводоподобные расуждения», в 1961 году — «Как решать задачу».
В предисловии к последней книге Д. Пойя писал: «Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присуществует крупиц открытия». И далее: «Автор ставит себя иногда в положение ученика, иногда — в положение ученика… автор рассуждает с точки зрения лица, не являющегося ни учителем, ни учеником, а просто заинтересованного в решении стоящей перед ним задачи». Это «третье лицо» и есть, конечно, сам автор, известный ученый — математик. Что же касается исполнения им «по совместительству» двух других упомянутых роли, то оно представляется не просто удачной литературной и педагогической находкой. Такое «совместительство» есть важнейшая составная часть творческого креdo Дьердя Пойа, которое он исповедет с редкостьим постояством.
В своей книге «Математическое открытие» Пойа продолжает и развивает мысли, высказанные в более ранних книгах (хотя ни одна из них не требует предварительного знакомства с другими — в этом лищий раз сказывается педагогическая искусность автора). Верный своим принципиам, Пойа не столько рассказывает о решении задач, сколько показывает, как это делается. И, конечно, приглашает следовать за ним. А затем и в самом отдельный путь. «Решение задач — практическое искусство, подобное плаванию, катанию на льжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образом и постояно практикусь. И в этой книге вы не найдете волшебного ключа, открывающего все двери, она не научит вас решать все задачи, но дает вам много хороших образцов для подражания и возможностей получения и возможности получения и возможностей получения».
Но помните: если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!. Книга буквально написана интересными задачими и не менее интересными погсенями к их решению. Соблазнительно, что и говорить, было бы попытаться дать в решении хотя какое-нибудь представление об этих задах. Но такая попытка неминуто обедила бы и тем самым исказила представление о всей книге в целом. После самения содержание романа, даже очень большого, можно пересказать на пяти, ну, на десяти страниц. А как бы со сборником из тысячи небольших стихотворений? Привести целиком десяtok лучших? Два десята? А если все хорошо? Да и кто поручится за объективность выбора?
Позмоту мы ограничимся тем, что перепечатаем без всяких изменений, без всяких сокращений и без всяких комментариев один параграф из книги Пойа. Мы вовсе не утверждаем, что это самый лучший параграф. Или самый типичный, что ли. Просто нам он очень нравится. И очень хочет, чтобы его преследуюроники читатель. А если он сам найдет потом в книге что-либо, что понравится ему больше — не беда. Во всяком случае, сам Пойа меньше всего хотел бы воспользоваться своим единодушным и единобразии вкусов. Уж в этом-то ничего хорошего нет.
Прекрасно понимая, что простое перечисление называний главки Пойа способно ознакомиться читателя еще больше, чем ее интугующее название, мы тем не менее (а может быть, именно поэтому) не откажем себе в этом удовлетворении: «Метод двух геометрических мест», «Метод Декарта», «Рекурсия», «Суперрозница», «О задачах», «Расширение области применения метода», «Геометрическое представление процесса решения», «План и программа», «Задачи внутри задачи», «Зарождение идеи», «Умственная работа», «Дисциплина ума», «Законы открытия», «Об учении, преподавании и обучении преподаванию», «Догадка и научный метод».
Ну что, не все здесь понятно? Ничего, это значит, что вам пора принять за «Математическое открытие». (Не забудьте запасить бумагой и карандашами!) А если книги этой у вас еще нет, прочитите для начала хотя бы следующий открыток из нее.

---

Я позволью себе волность и попытаться проделать небольший эксперимент над читателем. Я сормулирую про-

68

стую, но не слишком избитую геометрическую задачу, а затем попробую воссоздать последовательность идеи, ведущих к ее доказательству. Я намерен продвигаться вперед медленно, очень медленно, выдавая последовательное секреты один за другим, причем каждой из этих секретов выдавая не сразу, а постепенно. Я надеюсь, что прежде, чем расссказ будет полностью доведен до конца, читатель сможет уловить главную идею если, конечно, что-нибудь не помещает этому, и так как эта идея оказется несколько неожиданной, то он сможет испытыть удовлетворение от своего необольшего открытия.

А. Если при окружности одного радиуса проходят через одну точку, то том же радиус имеет и окружность, проходящая через остальные три точки их пересечения.

Это и есть та теорема, которая нам нужно доказать. Утверждение теоремы коротко и ясно, но в нем как будто не хватает деталей. Сделав чертеж (рис. 1) и введя подходящие обозначения, мы приходим к следующему, более подробному варианту задачи:

Б. Три окружности $k, l, m$ одного радиуса $r$ проходят через точку $O$. Окружности $l$ и $m$ пересекаются в точке $A$, $m$ и $k$ — в точке $B$, $k$ и $l$ — в точке $C$. Требуется доказать, что радиус окружности $e$, проходящий через точку $A$, $B$ и $C$, также равен $r$.

На рисунке 1 изображены четырьмя четырьмя окружности $k, l, m$ и $e$ и четырьмя их пересечения. Однако эта фигура может показаться неудовлетворительным, потому что она не так уж просто и в то же время неполна; создается внешление, что на ней что-то отсутствует; какется, что нечто существенно не принято во внимание.

Мы имеем сейчас дело с окружностями. Что представляется собой окружность? Всякая окружность определяется местоположением ее центра и величины ее радиуса:

Рис. 1.

Позмоту соединим, пожалей, каждой из трех центров со всеми трех точками пересечения, принадлежащими соответствующей окружности: $K$ с $B$, $C$ и $O$, и так далее.

Получающая фигура (рис. 2) оказывается обескураживающей перегруженной. На ней столкко линей — прямых и кривых,— что ее необходимо как следует «охватить взором», она «не хочет стоять на месте». Эта фигура может наполнить некоторые рисунки, знакомые нам по старинным журналам,— такой рисунок наполняется неопределенным: если смотрить на него как обычно, то на нем видна фигура; если же повернуть журнал, придав ему специально выбранное положение, и рассматривать приca: все точки окружности на одинаковом (и равном радиусу) расстоянии от центра. Но мы забили в рассмотрение этот общий всем четырем окружностям радиус $r$; таким образом, мы не прияли во внимание существующее условие. Обозначим поэтому прежде всего центры наших окружностей: $K$ для окружности $k$, $L$ для окружности $l$ и $M$ для окружности $m$. В каком теперь месте лучше всего провести радиус $r$? По-видимому, нет смысла отдавать предопочтение какой-то одной из трех данных окружностей $k$, $l$ и $m$ или какой-нибудь одной из трех точек их пересечения $A$, $B$ и $C$.

Рис. 2.

сунок под определенным углом, то внезапно возникает другая фигура, порядкающая вас как более или менее остроумный комментарий к первою. Может ли вы распознавать на нашей запутанной фигуре, перегруженной прямыми и окружностями, какую-нибудь другую, возможно, полезную для наших фигур?

На эту нужную нам фигуру, скрывающийся за переплетением линей нашего перегруженного деталями рисунка, мы можем либо напастить сразу, либо распознавать ее постепенно. К искому фигуре нас могут привести те условия, которые мы предпринимаем для решения предложенной задачи, или какое-нибудь второстепенное, несущественное обстоятельство. Так, например, когда мы были заняты перечерчиванием нашей несовершенной фигуры, мы могли заметить, что все фигура целиком определяется входящей в ее состав «прямолейной» (составленной из отрезков) частию (рис. 3).

Посленее обстоятельство каждой касется нам важным. Она существенно упрощает геометрию рисунка и, возможно, проясняет логическое строение della. И оно приводит к следующей измененной формулировке нашей теоремы:

В. Если какый из девятим отрезков
$KO, KC, KB$
$LC, LO, LA$
$MB, MA, MO$

раesen $r$, то существует точка $E$ максим, что какый из отрезков?

РЕЗКОВ
EA, EB, EC
макже будем равен r.
Последнее утверждение привлекает нашей внимание к рисунку 3. Этот рисунок чем-то примечательен; он напоминает нам что-то знакомое. (Что именно?)

Рис. 3.

Конецно, у любого из четырехугольников, изображенных на рисунке 3, например у четырехугольника OLAM, все четыре стороны по условию равны друг другу, то есть эти четырехугольники — роммы.

Ромб — хорошего знакомая нам фигура; выделив его мысленно на нашем рисунке, мы можем «видеть» всю фигуру лучше. (Что напоминает вам эта фигура в целом?)

Противоположные стороны ромба параллельны. Основываясь на этом обстоятельстве, можно разить 9 отрезков, из которых составлена фигура, изображенная на рисунке 3, на три группы,

в каждую из которых входят только параллельные друг другу отрезки; например, в одну из таких групп отрезковвой отрезки AL, MO и BK. (Что может напомнить нам эта фигура теперь?)

Мы не должны забывать целли, к которой стремится. Допустим, что заключение нашей теоремы справедливо. Нанося на рисунок центр E окружности e и три ее радиуса, оказывающихся в точках A, B и C (рис. 4), мы (предположительно) получаем новые ромбы, новые параллельные отрезки. (Что напоминает нам вся фигура в целом теперь?)

Ну, конечно, рисунок 4 представляет собой проекцию

Рис. 4.

12 ребер параллелипеда, расположенного таким образом, что все эти проекции имеют одинаковую длину.

Рисунок 3 является проекцией «непрозрачного параллелипеда»: мы видим только 3 его грани, 7 вершин и 9 ребер, в то время как 3 грани, 1 вершина и 3 ребра на рисунке не видны. Этот рисунок является частью рисунка 4, но такой часть, которая определяет всю интересуюшую нас фигуру. Если параллелипед и направление проектирования вырабатны так, что проекции девяты ребер, изображенных на рисунке 3, равны r (т. е. такое, какими они и должны быть по условию задачи), то проекции трех оставшихся ребер также должны быть равны r. Из проекции E восьмим, невидимой вершины исходят три отрезка длиной r, а сама эта проекция является центром окружности, проходящей через точки A, B и C, радиус которой равен r.

Наша теорема доказана, причем доказана при помощи неожиданной острумной идеи, заключащейся в том, что мы рассматриваем плоскую фигуру как проекцию пространственной фигуры.

(В этом доказательстве использовются stereometрические понятия. Мне кажется, что беда здесь не велика, тем более, что она легко поправима. В самом деле, поскольку мы теперь знаем, что положение центра E может быть охарактеризовано веса простого, длины отрезков EA, EB и EC можно вести в расстояние, не прибегая ни к какой stereometрию. Однако мы не будем настанать здесь на этой точке зрения.)

М. Л. Смолянский,
Ю. А. Гастев