Варианты вступительных экзаменов по математике 1971 года

65

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Отделение экономического киберnetики экономического факультета

1. Произведено два типа деталей. Первая деталь изготовлялась из сплава металлов $M_1$ и $M_2$, а второй деталь — из сплава металлов $M_3$ и $M_4$. Если бы детали первого типа были сделаны только из металла $M_1$, то их общий вес был 1,6 кг, а если бы только из металла $M_2$, то 5,2 кг. Если бы детали второго типа были сделаны только из металла $M_3$, то их общий вес был 3 кг, а если бы только из металла $M_4$, то 4,5 кг. Стоимость одной детали первого типа — 3 рубля, ее вес 0,31 кг. Стоимость одной детали второго типа 5 рублей, ее вес 0,34 кг. Сколько произведено деталей каждой типа, если их общая стоимость равна 68 рубля?

2. Решить уравнение:

$$tg(\pi ctg x) = ctg(\pi tg x).$$

3. Найти минимальный член последовательности

$$a_n = n^2 - 8n + 15 - \frac{9}{(3n - 16)^2 + 6},$$

$$n = 1, 2, 3, \dots$$

4. На плоскости лежат прямой круговой цилиндр радиуса $R$ (то есть цилиндр касается плоскости по некоторой образушей) и, не пересекаясь с ним, радиуса $r$. Расстояние от оси цилиндра до центра шара равно $p$. Найти минимальное возможный радиус шара, который касался бы одновременно цилиндра, плоскости и заданного шара.

5. Сколько существует шестизначных чисел, у которых на каждом месте стоит цифра, на единицу большая, чем слева от нее (разряды нумеруются слева направо)?

Отделение политического экономии экономического факультета

1. Выработка продукции за год работы предприятия возросла на $P\%$, а на следующий год она возросла на 10% больше, чем в первый год. Определить, на сколько процентов увеличились выработка за первый год, если извлечено что за два года она увеличилось на 48,59%.

2. Решить неравенство:

$$x > \frac{1}{x - 1}.$$

3. Решить неравенство:

$$11 \sin x + \cos 2x - 6 \leq 0.$$

4. Вычислить сумму всех натуральных чисел, не превысading 1000 и не деляющих на 13.

5. В двумгранный угол $60^\circ$ впискан шар радиуса $R$. Найти радиус шара, вписанного в тот же угол и касающейся данной шара, не пересекаясь с ним, шар радиуса $r$. Расстояние от оси цилиндра до центра шара равно $p$. Найти минимальное возможный радиус шара, который касался бы одновременно цилиндра, плоскости и заданного шара.

Отделение биологически биологического факультета

1. Решить уравнение:

$$\log \frac{1}{8} \left[ 2^x + 1 + tg^2 \frac{\pi}{4} \right] + \log \frac{1}{8} \left[ 2^x + ctg^2 \frac{\pi}{6} \right] = \frac{5}{3} + 3 \log \frac{1}{8} 5.$$

2. Усеченный конус и правильная шестиугольная призма расположены так, что верхнее основание усеченного конуса описано около нижнего основания призмы. Известно, что высота усеченного конуса равна сумме радиусов его оснований. Найти отношение величины поверхностей этих тел.

3. Смешав по 2 $cm^3$ трех веществ, получили 16 $e$ смеси. Известно, что 4 $e$ второго из этих веществ занимают объем на $\frac{1}{2} cm^3$ больший, чем 4 $e$ третьего вещества. Найти плотность третьего вещества, если известно, что масса второго вещества в смеси вдвое большие первого вещества.