Закон сохранения энергии

30

Закон сохранения энергии — один из fundamentальных законов природы. Он утверждает, что энергия не возникает и не исчезает; в любых физических процесах она только превращается из одного вида в другой или переходит от одного тел к другим. Можно сказать, что этот закон устанавливает условия энергетического баланса физических процессов.

Закон сохранения энергии не является следствием каких-либо других физических законов. Он получен в результате обобщения всей совокупности опытных фактов, которые охватывают как градинозные явления космических масштабов, так и собственные проискоды в мире молекул, атомов и элементарных частиц. Факты, характеризующие механические, тепловые, электромагнитные, ядерные, химические, биологические процессы, не дают оснований сомневать в справедливости закона сохранения энергии.

Математические в наиболее общей форме этот закон можно записать так:

$$\Delta E + \Delta U = A + Q.$$ (1)

Здесь $\Delta E$ — изменение механической энергии системы, равное сумме изменений кинетической и потенциальной энергии тел, входящих в рассматриваемый систему; $\Delta U$ — изменение внутренней энергии тел системы; $A$ — работа внешних сил; $Q$ — тепло, получаемое системой.

При рассмотрении каких-либо конкретных процессов закон сохранения энергии часто записывается в более простой форме. Так, при решении механических задач обычно не применяется во внутренние теплопередача ($Q = 0$). В этом случае выполняется равенство:

$$\Delta E + \Delta U = 0.$$

Примером такое процесс, в котором механическая энергия превращается во внутреннюю, является неупругий удар.

Если в системе действуют механические силы, зависимости только от взаимного расположения тела, то

$$\Delta E = A,$$

а в изолированных системах

$$\Delta E = 0.$$

Два последних равенства могут быть получены непосредственно из законов Ньютона. (Рассмотите, например, свободное падение тел в поле тяжестеки, как это сделано в школьном учебнике физики для 8 класса). Поэтому можно сказать, что закон сохранения энергии в механике не является самостояльным, хотя общий закон сохранения и превращения энергии (заметим это еще раз) нельзя вывести ни из каких других физических законов.

В теории тепловых процессов обычно рассматривают такие задачи, в которых можно пренебречь изменением механической энергии с-

31

стемы. Из этого следует, что
$$\Delta U = A + Q.$$
Закон сохранения энергии в таком виде называют первым началом термодинамики *). Для теплозолюрованных систем $Q = 0$, и потому
$$\Delta U = A.$$
В некоторых задах на электромагнитные явления также упрощается запись закона сохранения энергии, например, когда $\Delta E = 0$ или $Q = 0$. При этом следует помнить, что энергия электрического и магнитного полей, существующих в данной системе, входит во внутреннюю энергию системы.
Закон сохранения энергии (наряду с законом сохранения импульса и других извлечными в физике законами сохранения, которые в средней школе не изучаются) — мощное орудие для решения физических задач. Главная причина этого состоит в том, что законом сохранения энергии справедлив всегда, независимо от хода процесса и от характера действияших сил. Этот закон может быть использован и тогда, когда ход процесса вообще неизвестен — извлечные лишь начальное и конечное состояние системы. Так обстоятель дело, например, в физике элементарных частиц.
Тепер разберем несколько задач, в которых применение закона сохранения энергии позволяет разобраться в ситуации, в котором диамантические закономерности приводят к весма сложным математическим выкладкам, а иногда и вовсе заводят в тупик.
Все задачи взяты из письменных работ на применных экзаменах в МФТИ в 1970—1972 годах.
Задача 1. По наклонной плоскости с высоты $h$ скамывается без прокалывания монки обруч. Определить его скорость в конце наклонной плоскости.
Эту задачу можно решить, используя только законы Ньютона. Но

*) Часто первым началом называют более общее соответствие (1).

Рис. 1.
такое решение в рамках школьного курса практического неосуществимо.
Воспользовемся законом сохранения энергии.
Вначале обруч обладает потенциальной энергейой $mgh$ (м — масса обруч); к концу пути по наклонной плоскости все эта энергия перешла в кинетическое, которая складывает из энергии поступательного движения $\frac{mv^2}{2}$ (v — конечная скорость центра масс обруч) и энергии врашательного движения. Так как обруч не просkalывает, линейная скорость всех его точка равна скорости поступательного движения обруч как целого, то есть $v$. Поэтому кинетическая энергия врашательного движения, как и поступательного, равна $\frac{mv^2}{2}$.
Таким образом,
$$2 \cdot \frac{mv^2}{2} = mgh$$
и
$$v = \sqrt{gh}.$$
Задача 2. Два сообщающихся сосуда с площадью сечения $S_1 = 100 \text{ cm}^2$ и $S_2 = 200 \text{ cm}^2$ заполнены водой и закрыты лекции поршнями. Система нахождения в равновесии. В этом положении на больший поршень помещаются шрифты массы $m = 1$ ке. Определить, сколько метла выделится в системе при переходе в новое положение равновесия (рис. 1).

32

Под действием веса груза всегда система придет в движение. Можно неисредственно подсчитать количество теплы, выделившегося при движении, но для этого необходимо знать много дополнительных данных — количество воды, ее вязкости, форму соединительного трубки, характер движения воды и т. д. Решение существенно упрощается, если воспользоваться законом сохранения энергии.

Поскольку в начальной и конечный моменты и вода и гиря покопились, теплое выделение только за счет уменшения потенциальной энергии системы $W$

$$Q = W_{\text{н}} - W_{\text{к}},$$

(1)

где $W_{\text{н}}$ и $W_{\text{к}}$ — начальное и конечное значение потенциальной энергии. Нетрудно видеть, что потенциальная энергия гиря уменшилась, а воды — увеличилась.

Запишем выражения для $W_{\text{н}}$ и $W_{\text{к}}$ (за нулевой уровень примем до сосудов):

$$W_{\text{н}} = \rho g \frac{h^2}{2} (S_1 + S_2) + mgh$$

(2)

(h — начальный уровень воды в обихосудах),

$$W_{\text{к}} = \rho g \frac{h^2}{2} S_1 + \rho g \frac{h^2}{2} S_2 + mgh_2$$

(3)

($h_1$ и $h_2$ — конечные уровня в первом и втором сосудах соответственно).

Величины $h_1$ и $h_2$ можно найти из условия равновесия системы и неизменности массы воды:

$$\rho gh_1 = \rho gh_2 + \frac{mg}{S_2},$$

(4)

$$\rho h_1 S_1 + \rho h_2 S_2 = \rho h (S_1 + S_2).$$

(5)

Решая систему уравнения (1)—(5), найдем

$$Q = \frac{m^2 g S_1}{2 \rho S_2 (S_1 + S_2)} \approx 0,08 \text{ дж.}$$

Задача 3. Какое метод выделяется в цепи, изобранной на рис. 2.

сунке 2, при переключении ключа $K$ из положения 1 в положение 2?

Эта задача, на первый взгляд не имеющая ничего обещ его с предыдующей, очень похожа на переходом положения — наоборот. Следовательно, произел процесс перезаряда конденсатора, и по цепи прошел электрический ток. Если известны сопротивления проводов и источников тока, то можно определить ток как функцию времени и вычислить выделившееся в цепи тепло.

Закон сохранения энергии позволяет получить даже не зная величины процесса заряд, а значит, и энергия конденсатора не изменилось (в первом случае, как и во втором, суммарная э. d. c. источников, заряжающих конденсатор, равна $E$). Поэтому все работы, совершенная источниками тока, должны перейти в тепло. А работу этого подсчитать нетрудно. Источник, обладающий э. d. c. $2E$, никакой работы не совершает, так как в положении 2 он отключен от цепи. Источник же с э. d. c. $E$ совершает работу по пересечению заряда $q = 2CE$.

Таким образом, выделившееся в цепи тепло равно

$$Q = A = E \cdot 2CE = 2CE^2.$$

Задача 4. Конденсатор емкостью $C_1 = 1$ мкф заряжен до разности помещаемов $U_0 = 300$ в. $K$

33

Рис. 3.

нему через диод D и индуктивность L подключают незаряженный конденсатор emкостью $C_2 = 2$ мкф (рис. 3). До какой разности поменчалов он зарядится после замыкания ключа K? Сопротивление проводов пребрежимо мало. Сопротивление диода в прямом направлении можно считать равным нулю, а в обратном — бесконечно большим. Величина индуктивности L достаточно велика, так что процесс перезарядки происходит медленно.

В начальной момент заряженной конденсатор обладает запасом электрической энергии $\frac{C_1 U_0^2}{2}$.

После замыкания ключа в цепи возникает электрический ток; заряд, а значит, и энергия первого конденсатора уменьшается, а второго — увеличивается. По окончании процесса, когда ток в цепи прекратиется, конденсаторы будут обладают электрической энергий $\frac{C_1 U_1^2}{2}$ и $\frac{C_2 U_2^2}{2}$ соответственно.

Тепловыми потерями в системе во время процесса можно пребрежить, так как ничтожно мало сопротивление цепи. Излучение энергии в пространство пребрежимо мало, так как процесс перезарядки происходит медленно в связи с наличием в цепи большой индуктивности.

Поэтому закон сохранения энергии можно записать в таком виде:

$$\frac{C_1 U_1^2}{2} + \frac{C_2 U_2^2}{2} = \frac{C_1 U_0^2}{2}.$$ (1)

Кроме того, в системе, конечно, сохраняется заряд, то есть

$$C_1 U_1 + C_2 U_2 = C_1 U_0.$$ (2)

Из системы управления (1) и (2) получим искому увеличину

$$U_2 = \frac{2 C_1 U_0}{C_1 + C_2} = 200 \text{ e}.$$

Затем и е. Подсчитайте напряжение на первом конденсаторе $U_1$ и объявите полученный результат.

Задача 5. Телловой формиемик (рис. 4) представляет собой полую камеру с площадью внутренней поверхности $S = 2 \text{ cm}^2$, имеющую небольшое отверgence площади $\sigma = 1 \text{ mm}^2$. Внутренняя поверхность камеры незначительно часть света полощает (козффициент положения $k = 0,01$), а остальное часть рассеивает. Какая часть светового потока, попадающего на входное отверgence камеры, выходит через него обратно?

Качественный поведение светового излучения внутри камеры можно описать так. Свет попал на стенку, один процент его энергии поглотился, остальная энергия рассеяла. Часть рассеянного света выдает через отверgence, остальное вновь упадет на поверхности фотоприемника, причем один процент от этой энергии (ужнее меньше, чем начальная) поглотится, а 99 процентов рассеется, и т. д.

Так как ответственное мало и мал коэффициент поглощения, то каждая небольшая «порция» света, прежде чем она выйдет обратно через ответ

34

Рис. 5. Рис. 6.

стные или будет поглощена стенками, как правило, много раз пересечет по различным направлениям полость приемника. Поскольку направление света определяется случайными факторами, потоки энергии по различным направлениям должны выровнять. В камере возникает изotropное (равномерно распределение по всем направлениям) излучение.

Запишем условие энергетического баланса для такого излучения. Пусть в камеру попадает световой поток (энергия в единицу времени) $P_0$, выходит обратно поток $P_1$ и поглощается — $P_2$. Согласно закону сохранения энергии

$$P_0 = P_1 + P_2.$$ (1)

Выразим $P_2$ через $P_1$. Так как излучение изotropно, то на любую площадку попадает световой поток, пропорциональный величины этой площадки. Если через ответные площадью $\sigma$ выходит поток $P_1$, то на стенки камеры площадью $S - \sigma$ приходится поток, равный $\frac{P_1}{\sigma}(S - \sigma)$.

Позному

$$P_2 = k \frac{P_1}{\sigma}(S - \sigma) \approx kP_1 \frac{S}{\sigma}.$$ (2)

Из (1) и (2) находим искому воеличину

$$\frac{P_1}{P_0} = \frac{1}{1 + k \frac{S}{\sigma}} = \frac{1}{3}.$$

В заключание предлагаем решить самостояльно задачи, аналогичные разобранным в статье.