Московский институт инженеров железнодорожного транспорта

49

Факультет МЧМиС и МЦРМиС

Вариант 3

1. Апофема правильной треугольной прямоугольной равна $a$, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $\alpha$. Найти боковую поверхность прямоугольных.
2. Решить уравнение:
   $$\left( x + \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} - \left( x - \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} \left( x + \frac{1}{2} \right)^{-\frac{1}{2}}.$$
3. Решить неравенство:
   $$\log_{2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 4} < \frac{x^2 - 16}{x - 4} - x - 3.$$
4. Доказать точек действия:
   $$\frac{1 + \cos(2\alpha + 630^\circ) + \sin(2\alpha + 810^\circ)}{1 - \cos(2\alpha - 630^\circ) + \sin(2\alpha + 630^\circ)} = \text{ctg} \alpha.$$
   Вариант 4
5. Основанием прямоугольной прямоугольной равна $a$, а боковые грани наклонены к плоскости основания, две другие боковые грани образуют с плоскостью основания двумя углы, каждой из которых равен $a$. Высота прямоугольной равна $h$. Определить боковую поверхность прямоугольных.
6. Решить неравенство:
   $$\lg 2 + \lg (4^{x-2} + 9) < 1 + \lg (2^{x-2} + 1).$$
7. Четыре числа составляют арифметическое прогрессio. Если к ним соответствен прибавить 1, 1, 3 и 9, то получим геометрическую прогрессio. Найти эти числа.
8. Решить уравнение:
   $$\cos^8 \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + \sin^8 \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1 + \sin 2x}{4}.$$
   В. В. Гольдберг.
   Л. Г. Дымбцкая

Московский институт инженеров железнодорожного транспорта
Московский институт инженеров железнодорожного транспорта является одним из старейших вузов Советского Союза, а сейчас и одним из ведущих технических вузов страны.
Научно-техническая революция, проискодая по всей стране и в частиности — на железнодорожном транспорте, определяла качественный скалок в развити МИНТА и открыла новые широкие перспективы перед выпускниками института, которые приходит в важные как инженерные, так и научные задачи: увеличение объема перевозок, резкое повышение скорости движения, разработка и внедрение новых современных конструкций вагонов, тепловозов, электровозов, внедрение современных методов и средств строительства железнодорожных путей, инженерных сооружений, местов и тоннелей, изменение характера управления процессом перевозки груzes, широкое внедрение автоматики, телеханики, электроники, счетно-решающее технически методов планирования и оптимизации перевозок. В связи с широкой профиля выпускаемых специалистов МИНТ превращался по существу в крупнейший политехнический институт.

В институте 10 факультетов, готовяших специалистов по 19 специальностям: автоматизированные системы управления; автоматика и телеханика (в промышленности); автоматика, телеханика и связи на железнодорожном транспорте; бухгалтерский учет; вагонство и вагонное хозяйство; локомотивствоенное; месты и тоннели; организация механизированной обработки экономической информации; прикладная математика; промышленная теллоэнергетика; промышленное и гражданское строительство; строительство железных дорог, путь и путьое хозяйство; строительные и дорогные машины и оборудования; телловозы и телловозное хозяйство; экономика и организация строительства (на железных дорогах); эксплуатация железных дорог; электрификация железнодорожного транспорта; электроники вычислительные машины.

Абитуренты сделают следующие экзамены: математику (письменно и устно), физику (устно), русский язык и литературу (письменно).

50

Вступительный экзамен по математике на всех факультах МИИТА состоит из письменной работы, навыпленное которой отводится четыре астрономических часа, и устного экзамена. Исключение составляет специальность «бухгалтерский учет», где проводится только устный экзамен по математике.

Как показывает опыт, именно письменный экзамен наибольшее труден для абитриентов, несмотря на то, что экзаменационная комиссия включает в билеты задачи, требующие лишь твердых и прочных знаний школьного курса математики.

Билеты устных экзаменов состоит из двух теоретических вопросов по алгебре, геометрии или тригонометрии и одной задачи на решение алгебраического уравнения, неравенства или системы уравнения, тригонометрического уравнения или тожества, исследования функций или построения графика.

Вариants письменных работ и задачи устного экзамена делятся по сложности на три концепна, в зависимости от требований к знаниям основ математики на разных специальности. Наибольшее задачи представляется на специальности «прикладная математика». Это вполне понятно, к будущим инженерматикам предъявляются более высокие требования в знании основ математики.

Следующие по трудности варианты представлены на специальности: автоматизированные системы управления, электронные вычислительные машины, автоматика и телемеханика в промышленности.

Вариants третьего концепна, а их было большество, представляется в знании остальных специальностей.

Ниже приведены варианты 1972 года.

Вариант 1
(специальности: промышленное и гражданское строительство, экспертация транспорта, экономика строительства, экономика транспорта, строительство железных дорог, месты и тоннелы).

1. Двое рабочих одновременно начили выполнять неокоторую работу. Через 2 часа они прекратили работу и подсчитали, что оставшуюся часть работы один из них может выполнить, работа отдельно, за 3,2 часа, а другой — за 4,8 часа. За сколько времени каждый из них сможет выполнить данную работу работы в отдельности?

2. Решить систему уравнения:

$$\begin{cases} \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = 10, \\ \sqrt{xy} = 16. \end{cases}$$

3. Определить объем правильной четырехугольной прямоды, если площадь ее диагонального сечения равна S, а боковое ребро образует угол α с плоскостью основания.

4. Решить уравнение:

$$\sqrt{2}\cos x \cdot \text{ctg}x + \sqrt{6}\cos x - \text{ctg}x = \sqrt{3}.$$

Вариант 2
(специальности: автоматика, телемеханика и связи, электронфикация транспорта, локомотивостроение, автоматизированные системы управления).

1. По наклонной плоскости неокоторой длины катятся два цилиндра, один из которых имеет окружность 2 см, другой — 3 см. Первый цилиндр сделал на 10 оборотов больше, чем второй, скатившись по наклонной плоскости. Okружности обихих цилиндров были уведомены на одно и то же число сантиметров, после чего один из них сделал на 3 оборота больше, чем второй. Какова длина наклонной плоскости и на сколько были уведомлены длины окружностей цилиндров?

2. Решить систему уравнения:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 + \frac{y}{2}, \\ \log_3(x+2y) + \log_3(x-2y) = 1. \end{cases}$$

3. В прямогольном треугольнике данной острый угол α и расстояние a от вершины другого остроого угла до центра вписанного круга. Определить площад треугольника.

4. Найти cos (70° + α), если sin (40° + α) = b и 0° < α < 45°.

Вариант 3
(специальности: прикладная математика, электронные вычислительные машины, матемические обработка экономической информации).

1. Несоклько человек взялись сделать определенную работу и если бы работали вместе, то закончили работу через 8 часов. Однако они приступали к работе один за другой через промежутки времени и каждый продолжал работу до ее окончания. Последняя часть работы (начиная с момента