Решения задач М231—М235; Ф238—Ф242

38

Решения задач

M231. Найдите все решения в натуральных числах уравнения
$$n^x + n^y = n^z.$$
Очевидно, что $n$ должно быть не меньше двух. Считая $x \leq y \leq z$, перепишем наше уравнение в виде
$$n^{z-x} - n^y-x = 1.$$ ()
Если предположить, что $y$ строго больше $x$, то из () будет следовать, что единица делится на $n$ ($n \geq 2$); но это не так, значит, $y = x$. С учетом этого равенства получаем:
$$n^{z-x} = 2,$$
откуда $n = 2$, $z - x = 1$.
Итак, данное уравнение имеет бесконечное множество решений в натуральных числах: $n = 2$, $y = x$, $z = x + 1$, $x$ — любое натуральное число.
Р. Егорян.

M232. a) Докажите, что к конечному множество точек на плоскости, обладающей тем свойством, что любые три точки из этого множество являются вершинами невыроженного мулуоульного треугольника, всегда можно добавить еще одну точку так, что это свойство сохраняется.
b) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точки на плоскости?

a) Отметим, что для заданных точек $A$ и $B$ точка $C$, лежащая вне прямой $AB$ и вне полосы, образованной перпендикулярами к прямой $AB$ в точках $A$ и $B$, образует с точки $A$ и $B$ невыроженный тупоульный треугольник (см. рис. 1). Для каждой пары точек из заданного конечного множества построим полосу и прямую в соответствии с рисунком 1. Конечное число полос конечной ширины и прямых, оченьindo, не покроют всей плоскости, следовательно, существует точка, образующая с каждой парой точки из заданного множества тупоульный треугольник, что и требовалось доказать.
b) Ответ: вообше говоря, не справа или во.
Приведем следующий пример. Расстояние множество, состоящее из точки полокружности без одного конца диаметра (рис. 2). Легко видеть, что такое множество

39

Рис. 6.

удовлетворяет условием задачи. Докажем что к нему нельзя добавить уже ни одной точки (это почтие оченьindo). В самом деле, если точка лежит внутри полукружности на ее диаметре (рис. 3, точка X), то всегда можно найти такую точку C на полукружности, что треугольник ACX будет остроугольным. То же самое имеет место для всех точек, лежащих в неполукружности или внутри, но вне ее диаметра (рис. 4, точки X’ и X’’; соответствующие точки B’, C’ и B’’’, C’’ выбираются «достаточно близки»). Если же точка выбирается на диаметре в неполукружности (рис. 5, точка M), то имеет место врожде — на рисунке 5 точки M, N, K оказываются на одной прямой.

П. С. Панков

M233. В концу отрезка пisuутся две единицы. Посередние между ними пisuется их сумма — число 2. Затем посередние между каждой двумя соседними из направных чисел снова пisuется их сумма и максимум — 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

Выпишем подряд строки чисел, образующие в результате очередного шага, — всего 1973 строки (рис. 6). Получим некоторую таблицу. Попробуем выяснить, сколько раз в n-й строке этой таблицы встречается число n (понятно, что в каждой следующей строке — с номером, большим n, — число n будет встречается точно столько же раз, сколько и в n-й: все новые образующие числа будут уже больше n).

Будем говорить, что в нашей таблице встречается пара натуральных чисел (a, b), если числа a и b стоит рядом в одной строке, причем b справа от a. Докажем следующее утверждение:

Если 1973 — простое (проверьте!). Поэтому оно встречается 1972 раза.

Н. Б. Васильев

40

М234. Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре угоды — четыре треугольника, у каждой из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угодным делом мо же самое: от каждой вершины отрезалом треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующим сторонам 8-угодника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдем площать фигуры, являющиеся пересечением всех этих многоугольников (мо есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).

Обозначим через $M_0$ исходный квадрат, через $M_1, M_2, M_3, \dots$ многоугольники, получаемые из $M_0$ последовательным отрезанием угловов. Удобно рассмотреть также многоугольник $N_h$, вершинами которого служат середины сторона $M_h$ ($k = 0, 1, 2, \dots$).

Пусть $A$ — произвольная вершина многоугольника $M_h$ — а $B$ и $C$ — соседние с ней вершины. Чтобы получить из многоугольника $M_h$ многоугольник $M_h+1$, нужно от каждой вершины $A$ многоугольника $M_h$ отрезать треугольник $B_2AC_2$ (см. рис. 8) такой, что точки $B_2$ и $C_2$ делят, соответственно, отрезки $[AB]$ и $[AC]$ в отношении 1:2. Пусть $B_1$ и $C_1$ — середины отрезков $[AB]$ и $[AC]$, то есть соседние вершины многоугольника $N_h$; тогда

$$\begin{align*} |AC_2| &= \frac{2}{3}|AC_1|, \\ |AB_2| &= \frac{2}{3}|AB_1|. \end{align*}$$

При переходе от многоугольника $N_h$ к многоугольнику $N_{h+1}$ точки $B_1$ и $C_1$ остаются его вершинами, но уже не соседними: между ними появляется новая вершина $A_1$—середина отрезка $[B_2C_2]$. Таким образом, многоугольник $N_{h+1}$ получается из многоугольника $N_h$ добавлением к каждой его стороне $[B_1C_1]$ треугольника типа $B_1A_1C_1$.

Рис. 8.

41

Чается из предыдущего скатнем к точке $a$ в $4\frac{1}{2}$ раза. Таким образом, точка $a$ является единственной общей точкой всех этих отрезков. (Можно выписать и точные формулы для $x_h$ и $y_h$: $x_h = \frac{5}{7} - \left(\frac{2}{9}\right)^k \times \frac{3}{14}$, $y_h = \frac{5}{7} + \left(\frac{2}{9}\right)^k \cdot \frac{2}{7}$; но нам они не попадаются. Читатель, знакомые с понятием предела последовательности, конечно, заметил, что $a$ является общим пределом последовательностей $x_h$ и $y_h$; по существу мы именно это и доказали.) Отсюда уже следует, что площад искомой фигуры $M$ (являющейся пересечением всех многоугольников $M_h$) равна $a$; действительно, $M$ содержится в любом $M_h$ и содержит любой $N_h$ (доказите!)*); следовательно, площад $M$ должна быть заключена между $x_h$ и $y_h$ (при всех $k$), а этому требованию удовлетворяет единственное число: $a = \frac{5}{7}$.

Можно было бы решать эту задачу и не вводя многоугольников $N_h$, используя лишь соответствие, определяющее последовательность $y_0 = 1$, $y_1 = \frac{5}{9}$, $y_2$, $y_3$, …

$$y_h - y_{k+1} = \frac{1}{9} (y_h - y_{k-1}).$$

При этом площад $M$ находится как предел площад $M_h$ (последовательность $(y_h - y_{k-1})$ представляет собой бесконечную убывающую геометрическую прогрессию).

*) Это число теоретико-множественный факт: если $M_h \supset M_{k+1} \supset N_{k+1} \supset N_h$ для каждой $k = 0, 1, 2, \dots$, и $M = \bigcap_k M_h$, то $M \supset N_h$.

A. Зеленский (г. Шахтерск) обобщил задачу M234 на тот случай, когда от каждой стороны отсекаются отрезки, составляющие $\frac{1}{p}$ этой стороны, где $p$ — любое число, больше 2. Площад получаются в таком случае фигуры равна $\frac{p^2 - 2p + 2}{p^2 - 2p + 4}$; при $p = 3$ получаем ответ $\frac{5}{7}$.

C. Коняzin

M235. По аргене круглого цирка радиуса 10 м бегаем лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Доказите, что сумма всех углов, на котором он поворачивает, — через $\alpha_1, \dots, \alpha_{k-1}$ (всего $k$ отрезков и $k-1$ поворот). Представим движение льва следующим образом.

Обозначим отрезки, которые пробегает лев, через $x_1, x_2, \dots, x_h$, а углы, на которые он при этом поворачивает, — через $\alpha_1, \dots, \alpha_{k-1}$ (всего $k$ отрезков и $k-1$ поворот). Представим движение льва следующим образом.

Пусть лев пробежал отрезок $AA_1 = x_1$. Повернем вектор него (то есть вектор точки $A_1$) арену на угол $\alpha_1$ так, чтобы отрезок $x_2$ оказался продолжением отрезка $x_1$. После того как лев пробежал отрезок $A_1 A_2 = x_2$, повернем вектор него арену на угол $\alpha_2$ так, чтобы отрезок $x_3$ стал продолжением отрезка $x_2$ и так далее. Тогда лев будет бежать по прямой и пробежит отрезок $AA_k = 30000(m)$, где $A$ — начальная точка, а $A_k$ — конечная.

Проследим за движением центра арены — точки $O$. Вначале точка $O$ поворачивается вектор точки $A_1$ на угол $\alpha_1$, затем — вектор точки $A_2$ на угол $\alpha_2$ и так далее. Всякий раз центр арены $O$ отстоит от центра врашения не больше, чем на 10 $m$, так как центр врашения — это лев, находящийся внутри арены. Поэтому при первом повороте точка $O$ переместится не более чем на $\alpha_1 \cdot 10(m)$, при втором — не более чем на $\alpha_2 \cdot 10(m)$ и так далее ($\alpha_1, \dots, \alpha_{k-1}$ измеряются в радианах). Все точки $O$ переме-

Рис. 10.

42

Рис. 11.

стится не более, чем на $(\alpha_1 + \dots + \alpha_{k-1}) \cdot 10(m)$, то есть
$$O'O'' \leq (\alpha_1 + \dots + \alpha_{k-1}) \cdot 10(m)$$
(cм. рис. 11 — здесь $O'$ — начальное, $O''$ — конечное положение точки $O$).

Поскольку $O'A \leq 10(m)$, $O''A_k \leq 10(m)$ и $AA_k = 30000(m)$, то $O'O'' \geq 29980(m)$. Отсюда
$$\alpha_1 + \dots + \alpha_{k-1} \geq \frac{O'O''}{10} \geq 2998(m)$$

И. Н. Берништейн

Ф238. Имеются две проволки квадратного сечения, сделанные из одного и того же материала. Сторона сечения одной provолоки $a_1 = 1$ мм, а другой $a_2 = 4$ мм. Для того чтобы расплавить перую provолоку, через нужно пропустить ток $I_1 = 10$ а. Какой ток нужно пропустить через вторую provолоку, чтобы она расплавилась?

Синимать, что количество телла, уходящего в окружающей среду за 1 с, пропорционально разности температур provолоки и среды и площади поверхности provолоки, причем коэффициент пропорционально осинков для обеих provолок.

Если проволока находится в тепловом равновесии со средой (ее температура не меняется), то количество телла, которое выделяется в provолоке при прохождения тока за единицу времени, равно количество телла, отделаемому в окружающей средантоу увеличию тока, чтобы provолока начала плавиться — добавочное количество телла, выделяемое током, будет идти на плавление. Поэтому нам необходимо найти ток, который соответствует температуре плавления provолоки.

Количество телла, отделаемые provолоками за единицу времени, равны $Q_1 = k S_1 \Delta T = 4ka_1 l \Delta T$ и $Q_2 = k S_2 \Delta T = 4ka_2 l \Delta T$, где $k$ — коэффициент пропор-

43

правлено перpendикулярно к скорости $v$ точки и равно по абсолотной величины $\frac{v^2}{R}$, где $R$ — радиус этой окружности. Поэтому ясно, что мы сможем определить $R$, если будем знать скорость точки $v$ и ее ускорение $a$ в направлении, перpendикулярном к этой скорости.

Вначале найдем скорости точек $A$ и $B$ относительно Земли. Это можно сделать, например, складывая линейные скорости врашення точек в системе координат, связанной с центром колеса и движущейся поступательно параллельно горизонтальной плоскости, со скоростью движения этой системы координат, то есть со скоростью центра колеса относительно плоскости. Можно воспользоваться менее прививчным, заго более простым способом. В рассматриваемый нами момент времени точка $C$, касающаяся плоскости, неподвижна относительно плоскости, и можно считать, что все колесо поворачивается относительно этой точки (мгноенного центра врашення). Угловые скорости врашення всех точек колеса относительно мгновенного центра врашення одинаковы и равны, в частности, угловой скорости врашення центра колеса:

$$\omega = \frac{v_0}{r}$$

($v_0$ — скорость центра колеса). Это означает, что скорость точки $B$, перpendикулярная к отрезку $BC$, равна

$$v_B = \omega \cdot BC = \frac{v_0}{r} BC.$$

Из треугольника $BCD$ видно, что $BC = 2r \cos \frac{\alpha}{2}$. Следовательно,

$$v_B = 2v_0 \cos \frac{\alpha}{2}.$$

Аналогично, скорость точки $A$ $v_A$, перpendикулярная к $AC$, равна по абсолотной величины

$$v_A = \omega \cdot AC = 2v_0 \cos \frac{\pi}{4} = v_0 \sqrt{2}.$$

Теперь найдем ускорения точек $B$ и $A$, перpendикулярные к скоростям этих точек. Полные ускорения этих точек — это, очевидно, центростремительные ускорения $a_\mu$ в системе координат, связанной с центром колеса. Действительно, так как колесо движется относительно плоскости равномерного, то ускорения точки колеса в системе координат, связанной с плоскостью, совпадает с их ускорениями в системе координат, движущейся поступательно вместе с центром колеса. Поэтому центростремительные ускорения точек

$$A$$ и $B$ направлены к центру колеса и равны по абсолотной величины $a_\mu \cdot A = a_\mu \cdot B = \frac{v_0^2}{r}$.

Ускорения же точек $A$ и $B$, перpendикулярные к скоростям $v_A$ и $v_B$, — это проекции ускорения $a_\mu \cdot A$ и $a_\mu \cdot B$ на направлении, перpendикулярные к $v_A$ и $v_B$. Они равны соответствующим.

$$a_A = a_\mu \cdot A \cos \frac{\pi}{4} = \frac{v_0^2}{2r} \sqrt{2},$$

$$a_B = a_\mu \cdot B \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{v_0^2}{r} \cos \frac{\alpha}{2}.$$

Таким образом, в данной момент точки $A$ и $B$ движутся по окружности, радиус которых определяется из соответствий

$$\frac{v_A^2}{R_A} = \frac{v_0^2}{2r} \sqrt{2}$$

и $$\frac{v_B^2}{R_B} = \frac{v_0^2}{r} \cos \frac{\alpha}{2},$$

или

$$\frac{(v_0 \sqrt{2})^2}{R_A} = \frac{v_0^2}{2r} \sqrt{2}$$

и $$\frac{(2v_0 \cos \frac{\alpha}{2})^2}{R_B} =$$

$$= \frac{v_0^2}{r} \cos \frac{\alpha}{2}.$$

Отсюда

$$R_A = 2r \sqrt{2}$$ и $$R_B = 4r \cos \frac{\alpha}{2}.$$

Ф240. Шар-зонд, имеющий нерастяжимую оболочку, поднялся на максимальную высоту и совершаем маленькое колбанный, сцимая, что на макой высоте плотность воздуха $\rho$ убивает с высотой равномерно на величины $\delta = 1,2 \cdot 10^{-2}$ $\rho$ через каждые $h = 100$ м. Тренец шара о воздухи пребрежень.

Прежде всего покажем, что шар-зонд действительно колбанется. На него действуют две силы: сила тяжестей $mg$ и выталкивающая архимедова сила $F_B$. Обе силы направлены по вертикали, но в противоположные стороны. Очевидно, что в положении равновесия

$$mg = F_B,$$

где $m$ — масса шара, $F_B = \rho Vg$ ($V$ — объем шара).

Если в силу каких-то случайных объектов т挛ар шар сместится из положения равновесия, изменится величина выталкивающей силы. Причем, при смешении шара вверх $F_B$

*) Так как колесо катится без просальывания, то линейные скорости врашения всех точек на ободе колеса равны скорости построительного движения центра колеса.

44

уменныйся, а при смешении вниз — увеличится. Таким образом, в обих случаях возникнет равнойствующая сила, равная изменению выталкивающей силы и направленная к положению равновесия. Найдем ее величины.

Пусть шар смешится из положения равновесия на $x$. Так как плотность воздуха изменяется с высотой равномерно, то

$$\frac{\Delta \rho}{\delta} = \frac{x}{h},$$

где $\Delta \rho$ — изменение плотности воздуха на высоте $x$. Тогда

$$\Delta F_B = -\Delta \rho Vg = \frac{-\delta Vg}{h} x$$

(знак «минус» указывает на то, что сила $\Delta F_B$ направлена всегда к положению равновесия).

Мы видим, что равнойствующая сила, действующая на шар, направлена к положению равновесия и пропорциональна отклонению шара от положения равновесия. Это означает, что шар совершает гармоничное колбания, подобные колбаням груза наружнее (для которого $F = kx$). Роль коэффициента жесткости пружины в этом случае играет величины

$$k' = \frac{\delta Vg}{h}.$$

Позному перiod колбаний шара равен

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2\pi \sqrt{\frac{mh}{\delta Vg}}.$$

Так как $m = \rho \cdot V$, то

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{h\rho}{\delta g}} = 2 \cdot 3,14 \sqrt{\frac{100 \cdot \rho}{1,2 \cdot 10^{-2} \rho \cdot 10}} \approx 180$$ (с).

Ф241. Кольцо массы $m$ может скользить по стержню длины $L$. Сила претензия между ним $F$. Определить, какую минимальную скорость $v_0$ нужно сообиться стержню, чтобы он пролемел сквольь колбю, если вначале колбю покоштся.

Опыт проводится в невесомости.

Задча решения точно так же, как задача Ф228 (см. «Квант», 1974, № 5). Поэтому

$$v_0 = \sqrt{2LF \frac{M + m}{Mm}},$$

где $M$ — масса стержня.

Ф242. Камера-обскура представляет собой прямоугольный ящик, в одной из стенок коморого имеется круглое отверстие. Освещенность изображения Colnца, которое получается на промивоположной стенке камеры — экране, nada ввода при удалении от центра изображения к краю на 0,9 радуса изображения. Во сколько раз освещенность передней стенки камеры больше, чем освещенность в центре изображения?

Каждая точка изображения Colnца освещается не всем Colnцем, а только тем его участком, который виден из этой точки в малом телесном угле, ограниченном отверстием камеры-обскурцы. Так как отверстие камеры мал и Colnце находится очень далеко, то можно считать, что этот телесный угол одинаков для всех точек изображения Colnца. Ясно, что освещенность точки изображения Colnца пропорциональна той плоскости Colnца, которая видна из данной точки.

Изменение освещенности изображения связывано с тем, что по мере удаления точки от центра изображения участок Colnца, освещащий данную точку, приближается к краю Colnца, и когда участок «заходит» за край Colnца, его площадь уменьшается. Освещенность изображения точки падает вдвое, когда уменышается вдвое площадь «освещающего» точку участка Colnца. При этом, как видно из рисунка 13, в данной точке попадает луч, идущий от края Colnца и прохождение через центр отверстия камеры. Это позволяет найти угол, под которой видно Colnце из точки передней стенки камеры-обскурцы:

$$\frac{\alpha}{2} \approx tg \frac{\alpha}{2} = \frac{0,9R}{l},$$

где $l$ — длина камеры-обскурцы. Угол же, рис. 13.

46

П. Кацыло (Москва) 16, 26—29; П. Кирсанов (Москва) 26; Л. Клименок (Москва) 27; М. Кобозев (Киев) 21, 22, 27; В. Кобилецкий (Баку) 16, 18, 20, 26, 27; А. Колодин (Коломья Ивано-Франковской обл.) 21, 22, 24, 26, 27; С. Коляда (Киев) 16, 21, 22, 24, 27, 30; Л. Конытковский (Лунинец Брестской обл.) 27; С. Корцунов (Монино Московской обл.) 16, 17; В. Костманян (Баку) 27; С. Костмена (Челябинск) 27; А. Команов (п. Цалка ГССР) 27; Л. Кофман (Таллин) 16; И. Крюков (Старый Самбор Львовской обл.) 21, 22; Н. Кудрин (Коломна Московской обл.) 27; А. Кукуши (Киев) 26, 27, 30; А. Кумахов (с. II Лесен КБАССР) 27; А. Курляндик (Вильнюс) 26, 27; А. Кутыркин (Пенза) 21, 22; С. Лапасиков (Обоянь Курской обл.) 26, 28, 30; М. Левин (Витебск) 17, 18, 27; М. Левин (Таллин) 23; С. Лифцц (Харьков) 16, 21; Ю. Лобан (Евпатория) 26, 27; М. Люби (Харьков) 16, 19—23, 25—27, 29, 30; С. Ляпин (Петриков Гомельской обл.) 16, 17, 21, 27; Г. Мавзимов (д. Средние Челны ТАССР) 27; М. Малян (Ереванн) 27; А. Макариев (Львов) 16—18, 20—22, 24, 26—29; С. Макаров (Саратов) 26—28; С. Малинский (Полтава) 21—24, 27, 28, 30; Г. Мамедов (Баку) 27; А. Марков (Москва) 26, 27, 29; С. Мельник (Харьков) 16, 18, 20—26, 28, 29; А. Мехович (Владивосток) 27; В. Мильман (Минск) 26, 27; А. Мирошинченko (Харьков) 18; Ю. Михайлов (Ленинград) 21—23; Л. Михлин (Курск) 16, 18, 20—22, 27—30; А. Морозов (Новосибирск) 21; Ю. Муранов (Москва) 21; Г. Мустафаев (Сизань Аз. СССР) 27; К. Мхитарян (Ереванн) 16—22, 25—28; А. Навасарди (Ереванн) 27; Ю. Неретин (Москва) 26, 27; Н. Нечемаемев (Ленинград) 16, 20—23, 25—28, 30; А. Николаев (Москва) 20; И. Новиков (Куйбышев) 16, 18, 21, 23—25, 27—30; С. Охитин (Оренбург) 16, 20, 26—28; И. Панин (Апатиты) 16, 20—23, 26, 27; Е. Пасике (Харьков) 26, 27; В. Пелиненko (Воронеж) 26—29; О. Печерский (Орджонникдзе) 16; Ю. Пинелис (Кзыл-Орда) 16—18, 20, 26, 27, 29, 30; М. Половинник (Мена Черниговской обл.) 16; А. Поносов (Пермь) 21, 22, 24—30; В. Порцейн (Ростов-на-Дону) 18, 21, 24, 27, 30; Р. Портной (Черновцы) 21, 27, 29, 30; Д. Поцшивили (Тбилис) 27; В. Прасолов (Ворошиловград) 26, 27, 29; Ю. Промас (Кагул МССР) 18, 23, 27; С. Путинцев (Кемерово) 16, 18, 20, 22, 23, 25—28; Л. Рабинович (Тула) 21—23, 25—30; А. Разуллев (Клин Московской обл.) 18, 20—23, 25, 27; А. Рашковский (Харьков) 26, 27; А. Резников (Киев) 16, 21, 22, 26, 27; А. Репцейн (Краматорск Донецкой обл.) 16, 18—21; Г. Родин (Ленинград) 21, 23; Р. Рожков (Москва) 26, 27; Ф. Рожков (Рязань) 26, 27; М. Рожкова (Киев) 18; Е. Романовский (Киев) 26—28, 30; В. Рубаевский (Киев) 20, 21, 27, 28; Н. Рундковист (Свердловск) 16; А. Рыбаков (Муром)

47

Приводим список читательей, приславших решения задач Ф223—Ф242. Задачи Ф223 и Ф233 правильно решили почти все читатели; правильные решения остальных задач присладали (жирные цифры после фамилии — две последние цифры номера решенной задачи):

Н. Абраменко (Могилев) 30, 36, 38, 40; Д. Азов (Челябинск) 38; С. Акмерцев (Москва) 28, 34; А. Амельченко (Магнитогорск) 25, 32, 36, 37; И. Анкудинов (Нальчик) 34, 36, 37; П. Анццферов (Фатеж) 34, 36, 38, 39, 40; В. Бакуров (Новосибирск) 25, 28, 29, 32, 34, 36, 38, 40; А. Бараов (Москва) 24, 28, 34, 40; А. Барсуков (Пятигорск) 28, 39; Р. Басыров (Д. Каракитяны Тат. АССР) 28, 38, 40; М. Белкин (Пинск) 24—29, 30, 32, 34, 36, 38—41; А. Белусов (Москва) 28, 30, 32, 34; В. Беллев (Москва) 28, 38, 40, 41; В. Бенхан (Калинин) 37; С. Березин (Кимры) 38; Ю. Бляхер (Душанбе) 28; Л. Боzemолов (Одеcca) 33, 41; С. Бороздин (Новгород) 25, 28, 29, 32; А. Браславец (Новосибирск) 34—36, 38, 40; И. Брамовская (Новосибирск) 24; Ю. Бучинскас (Шильбский р-н Лит. ССС) 34, 36, 38—40; И. Вандакуров (Ленинград) 28; С. Васильев (Ленинград) 22, 38—40; И. Виняр (Орегев) 28, 38; А. Волецов (Свердловск) 36; П. Волохов (п. Криуляны Молд. ССС) 40; А. Восканян (Ереван) 24, 25, 28, 29, 34, 36; Р. Габдулин (Казань) 37; Д. Габрильян (Белая Калитва) 40; В. Гаврилок (Минск) 40, 41; М. Газда (п. Клевань Ровенской обл.) 24—27; В. Гальцев (Оренбург) 38; А. Галоченko (Харьков) 29, 30, 32, 34, 36; С. Гаркуша (ТАшкент) 40; А. Герман (Воронеж) 25; С. Герц (Хуст) 32, 40; Р. Гирдянис (Вильнос) 40, 41; Ю. Гладё (Терноволь) 24; Л. Глазман (Харьков) 25, 26, 29, 30, 34—38; 40, 41; А. Гриорьев (Грозный) 28; А. Грибере (Кишинев) 29, 40; С. Гришин (Вязывам) 36; М. Гулянский (Магнитогорск) 25, 30, 32, 38; А. Гуревич (Минск) 25, 26, 28—32, 38, 40, 41; С. Давтян (Октемберян) 34, 36, 38, 40, 41; А. Давыдов (Магнитогорск) 25, 29—32, 34, 36; С. Даркембаев (Алма-Ата) 26; С. Демидов (д. Сосновка Вологодской обл.) 36; О. Денисов (Баку) 37; Ю. Докуаев (Ленинград) 28—30, 38; Н. Дубровский (Омск) 38—41; Р. Егорян (Ереван) 25, 28, 31; Г. Erkhanpetян (Ереван) 29, 31, 32; К. Жакунбеков (с. Баршатас Семипалатинской обл.) 40; В. Железов (п. Октябрьский Амурской обл.) 36, 38, 40; В. Жук (Грозный) 27—29, 31, 32, 36, 38—41; С. Зазовский (Новомосковск) 38; М. Закс (Пермь) 40; С. Зенович (ТАшкент) 40; Е. Зубко (ИвановФранковск) 25, 28, 29, 32, 34, 38, 40; В. Иванов (Железнодорожный) 28; В. Ненатев (Волгоград) 24—27; А. Измайлов (Баку) 34, 40; А. Илькун (Зеленодольск) 25, 38, 40; А. Казков (Рудный) 24; С. Каляев (Сосновый Бор) 38; В. Канзова (Депроедержинск) 24, 26; В. Карлин (Волоколам-ский р-н Московской обл.) 24; В. Качман (Мытщиц) 38; М. Качановский (д. Вишневчи Брестской обл.) 24, 25; В. Ковалевский (Витебск) 24; Л. Коран (Ленинград) 40; Я. Коран (Глазов) 24, 25, 32, 40; С. Корнеев (Новокузнецк) 25—27; С. Коршунов (п. Монно Московской обл.) 24, 25, 38, 40, 41; Л. Кофман (Таллин) 24, 34, 40; И. Коцеарова (Рыбинск) 28; Г. Коява (Цхинвалы) 32, 36, 38; С. Кривонос (Днепропетровск) 24, 25; И. Крюков (Стайый Самбор) 28; Н. Кудрин (Коломна) 38, 40, 41; А. Кудряшов (Саратов) 36; В. Кузьмин (Грозный) 24, 40; П. Кузьмин (Улан-Уде) 28—32; А. Куманов (Фрунзе) 24; А. Кумилиумаров (Хорезмская обл. Узб. ССС) 27, 27; И. Куцик (Ярославль) 28, 30, 31, 36, 40, 41; Р. Кучаров (Хорезмская обл. Узб. ССС) 28, 32; Ю. Лавров (ст. Каневская Краснодарского кр.) 32, 40; А. Левитас (Киев) 36; А. Лекциинов (Шахты) 24, 28; А. Лукьянов (Дубовский) 36; П. Лыеденов (с. Кижинга) 40; А. Львов (Саратов) 28; С. Ляпин (п/o Блокорович Житомирской обл.) 24; В. Мазалов (Шауляй) 36, 40; М. Машил (Ереван) 24; А. Макарцев (Ливов) 24, 34, 36—38, 40; А. Макаров (Харьков) 36; С. Макаров (Саратов) 24, 26, 38—40; С. Максимов (Алма-Ата) 37; Г. Мамедов (Баку) 34—38, 40; Ю. Маркин (Харьков) 38; А. Марков (Москва) 38, 42; С. Мельник (Харьков) 24, 28, 32, 38, 40, 41; Е. Метт (Ленинград) 36, 38, 40; Л. Миродошвили (Тбилиси) 38—40; А. Молотков (п/o Кубинка Московской обл.) 36, 38, 40; В. Момковский (Киев) 34; Р. Мусин (с. Никитино Оренбургской обл.) 24; Р. Назарудлов (Стерлитамак) 28, 29; И. Никитин (Ленинград) 29; И. Никитин (Североморск) 28; А. Николаев (Москва) 24, 26, 28, 29, 31—32, 34, 36, 38—41; Г. Оданисан (с. В. Арташат Арм. ССС) 36; А. Окунь (Одеcca) 28; С. Омельченко (Запорожье) 36; С. Очунцин (Пермь) 38, 40; Р. Оспанов (Байрам-Aли) 25, 28, 31, 32; С. Островская (Харьков) 34, 38; А. Паровичников (Обнинск) 24; Ю. Перфильев (Саратов) 36, 40; Ю. Пинелис (Кзыл-Орда) 24, 26, 28—30, 40—42; К. Пираминский (Кишинев) 36, 40; О. Поваляев (Подольск) 24, 34, 36, 38—40; А. Поедуля (Уфа) 24, 34, 36; М. Поликарпов (Москва) 24, 35, 36, 38, 40; В. Поляков (Петропавловск) 37; А. Поляянский (Челябинск) 34; С. Поляруш (Жабинка) 40; В. Прасолов (Ворошиловград) 31; В. Разин (Белорец) 38; А. Резников (Киев) 24; А. Ремеев (ТАшкент) 33, 34, 36, 38—40; С. Рендзинк (Стрый) 34, 36, 37; В. Решетняк (Киев) 34, 40, 41; А. Решетняк (Киев) 34, 40, 41; Я. Ряписов (Ломоносов) 25, 38, 40; Ш. Самцев (Дангаринский р-н Тадж. ССС) 28, 29; В. Свиридов (Соронежская обл.) 39; Р. Сереев (д. Перебродье Витебской обл.) 38; В. Сержеанов (д. Средне-Беляя