Ташкентский автомобильно-дорожный институт

58

Вариант 3

1. В шар радиуса $R$ вписана правильная четырехугольная парамида, у которой плоский угол при вершине равен $\alpha$. Найти объем парамиды.

2. Решить систему уравнения

$$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = a^2, \\ \log_x \sqrt{a} + \log_y \sqrt{b} = \frac{a}{\sqrt{3}}. \end{cases}$$

3. Найти область определения функции

$$y = \sqrt{\frac{x^2 - 1}{(x + 3)(x - 4)} - 1} + \frac{1}{\log_8(x - 4)}$$

4. Решить уравнение

$$|\cos x|^{\sin^2 x - \frac{3}{2}\sin x + \frac{1}{2}} = 1.$$

Фиизка

Вступительные экзамены в ЯПИ проводятся в полном соответствии с программой по физике для поступающих вузы. Абитуренты сделают устный экзамен. На экзаменах каждой абитуренту предлагается два теоретических вопроса и одна задача. Приведем задачи, предлагавшие на вступительных экзаменах в 1973 году.

1. Автомобиль вторую половину пути шел со скоростью в 1,5 раза больше, чем первый. Его средняя скорость на всем пути $v_{cp} = 43,2$ км/ч. Каковы скорости авторомления на первой и второй половин пути?

2. Определить работу $A$ поднятия груза массой $m = 100$ кг сускорением $a = 1$ м/c² по наклонной плоскости длиной $l = 2$ м. Угол наклона плоскости к горизонту $\alpha = 30^\circ$. Коэффициент треня груза о плоскость $\mu = 0,1$.

3. Груз массой $m = 100$ кг перемещают равномерно по горизонтальной плоскости, прилагая силу $F$ под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту. Определить величины этой силы, если коэффициент треня между груzem и плоскостью $\mu = 0,3$.

4. Трамвай, масса которого $m = 19,6$ м, идет по выпуклу мосту со скоростью $v = 32,4$ км/ч. Радиус кривизны моста $R = 30$ м. С какой силой $F$ давит трамвай на мест на расстоянии $s = 15,7$ м от его середины?

5. Конькобежец, стоя на льду, бросил впередгию массой $m_1 = 5$ кг и вседствие отдачи показался на础ую $u_2 = 1$ м/c. Масса конькобежца $m_2 = 60$ кг. Определить работу $A$, совершенную конькобежем при бросании грип.

6. Ракета, пушеная вертикально вверх, поднялась на высоту $h = 630$ км и начала пасть. Какой путь $s$ пройдет ракета за первую секунду свободного падения? Радиус $R = 6370$ км. Ускорение свободного падения у поверхности Земли $g_0 = 9,8$ м/c².

7. Определить массу $m$ и количество $n$ молекул водорода, содержащихся в сосудах体重ю $V = 20$ л при давлении $p = 2,46$ амм и температуре $t = 27^\circ C$.

8. В воде на глубине $h_1 = 1$ м находится пузьбек воздуха. На какой глубине $h_2$ этот пузьбек воздуха будет иметь второе меньше объем? Давление атмосферного воздуха $p_0 = 760$ мм рм. см., плотность воды $\rho = 10^3$ кг/м³, ускорение свободного падения $g = 9,8$ м/c².

9. Металлическому шару, нахождение в воздухе ($\epsilon = 1$), сообщили заряд $q = 1$ нк. Радиус шара $R = 15$ см. Определить напряжение $E$ и потенциал ф поля: а) в шара на расстоянии $r = 10$ см от поверхности шара, б) на поверхности шара, в) в центре шара.

10. В двух противоположных вершинах квадрата со стороны $a = 30$ см находится заряды $q = 2 \cdot 10^{-7}$ к. Найти напряжение $E$ и потенциал ф электрического поля в двух других вершинах квадрата.

11. Какую работу $A$ требуется совершить для того, чтобы заряда величины $q = 3 \cdot 10^{-6}$ к каждай, нахождение в воздухе ($\epsilon = 1$) на расстоянии $r_2 = 60$ см друг от друга, с близить до расстояния $r_1 = 20$ см?

12. Оdnому шару сообщили заряд 13 нк, второму 18 нк. Затем шары соединили проводкой. Найти окончательное распределение зарядов на шарах. Радиус первого шара $R_1 = 8$ см, второго $R_2 = 18$ см. Емкость соединительного проводника пребрежь.

13. Вольтметр имеет сопротивление $R = 2000$ ом и измеряет напряжение до $U_1 = 100$ ом. Какое нужно поставить добавочное сопротивление $R_x$, чтобы изменить напряжение до $U = 220$ ом?

14. Найти главное фокусное расстояние $F$ и оптическую силу $D$ двояковогнутой линия, если расстояние от линии до предмета $d = 36$ см, а до изобравжения $f = 9$ см.

15. Вычислить главное фокусное расстояние $F$ плосковыпкой линии с радиусом кривизны $R = 20$ см, когда линии нахождения в воде. Абсолютный показатель предомления стека $n_1 = 1,5$, воды $n_2 = 1,33$.

В. С. Колпаков, Р. Н. Сахарова

Ташкентский авторомно-дорожный институт

ТАДИ — один из самых молодых вузов нашей страны, он организован в 1972 году. В настоящее время в институте готовят инженеров широкого профиля по специально-

59

ностям: автоматный транспорт, автоматные дороги, строительно-дорожные машины и оборудования, месты и туннели, экономика и организация автоматного транспорт.

Со дня основания института функционирует дневное подготовительное отделение.

Ниже приведется вариант письменных вступительных экзаменов по математике и физике в 1973 году.

Mathematica

Вариант 1

1. Упростить выражение:
   $$\frac{\sqrt[3]{x + \sqrt{2 - x^2}} \cdot \sqrt[6]{1 - x \cdot \sqrt{2 - x^2}}}{\sqrt[3]{1 - x^2}}.$$

2. Решить уравнение:
   $$x (\lg 5 - 1) = \lg (2^x + 1) - \lg 6.$$

3. Доказать точек доступа:
   $$\frac{\text{ctg}^2 2\alpha - 1}{2 \text{ctg} 2\alpha} - \cos 8\alpha \cdot \text{ctg} 4\alpha = \sin 8\alpha.$$

4. В правильной четырехугольной парамиде высота, равная $H$, образует с боковой границы угол $\alpha$. Сечение, проведенное через диагональ основания, наклонено к основанию под углом $\phi$. Определить площадь секения.
   Вариант 2

5. Упростить выражение:
   $(\sqrt[3]{m^2} + n^3 \sqrt{m} + n^2) \times \frac{\sqrt[3]{m^4} - n^3 + n^2 \sqrt[3]{m} - mn}{mn^{-1} + n - n^4 m^{-1} - n^2}$.

6. Решить систему уравнений:
   $$\begin{cases} x^3 + y^3 = 7, \\ x^2 y + xy^2 = -2. \end{cases}$$

7. Решить уравнение:
   $$\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8}.$$

8. Диагонали освенного сечения усеченного конуса взаимно перпендикулярны. Угол между образующей и плоскостью большого основания равен $\alpha$. Образующая равна $l$. Определить полную поверхность усеченного конуса.

Физика

Вариант 1

1. Громкость и высота звука.
2. Количество теплоты. Внесистемная единица количества теплоты — calorия. Формула подсчета количества теплоты, необходимой для нагрева тела.
3. Последовательное соединение проводников. Реостаты.
4. Энергия связывая atomных ядер.
5. Автомобиль движется по выпуклому месту радиусом кривизны $R = 40$ м. Какое максимальное горизонтальное ускорение может развить автомать в высшей точке места, если скорость его в этой точке $v = 50,4$ км/ч, а коэффициент треня колес автоматия о мест $k = 0,6$?

Вариант 2

1. Центростремительное ускорение.

2. Козффициент полезного действия теплового двигателя.

3. Закон Джоуля — Ленца.

4. Способы наблюдания элементов частц.

5. Ледяная гора составляет с горизонтом угол $\alpha = 10^\circ$. По ней пускают сизу вверх камень, который за время $t = 3$ с проходит расстояние $s = 12$ м, после чего сскальзывает вниз. Чему равно времени движения камня вниз? Каков коэффициент треня между горой и камнем?

Вариант 3

1. Условие равновесия тела на наклонной плоскости.
2. Источники тока. Электродвижущая сила.
3. Открытый колебательный контур. Излучение и прием электромагнитных волн.
4. Собирающая линза. Построение изобравенной в лице.
5. В комнате объемом 120 $m^3$ при температуре 15 °C относительной влажность составляет 60%. Определить массу водых паров в воздухе комнаты. Упругость насыщенного водяного пара при 15 °C равна 12,79 мм рм. см.

Вариант 4

1. Переменное движение. Средняя и мгновенная скорость. Ускорение. Единица ускорения.
2. Плавление. Удельная теплота плавления.
3. Электроемкость. Единица электроемкости.
4. Линзы. Формула линзы.
5. При электропulse воды через в течение времени $t = 25$ мин щел ток $I = 20$ а. Какова температура выделившего кислорода, если он находится в объеме $V = 1$ л под давлением $p = 2$ амм? Электроимический эквивалент кислорода $k = 8,29 \cdot 10^{-8}$ кДж/кмоль·рад.

Н.Р.Гулькаров,
Ф.З.Закриллаев,
Е.В.Пак,
А.У.Умирбеков