Задачи

65

Задания

1. Магический квадратом называется квадратная таблица целых положительных чисел, в котором суммы чисел; стоящих в каждой столбце, в каждой строке и на диагонали, равны. Сама эта сумма называется суммой магического квадрата.

Доказать, что сумма магического квадрата размером $3 \times 3$ всегда делится на 3.

2. В вашем распоряжении «прямой» магнит и иголка. Как определить, намагничена ли иголка?

3. Саша и Оля по очереди ставят крестики и полки на поля шахматной доски размером $9 \times 9$. Первый ход делается Олей в центр доски. Саша ходит в одну из 8 свободных клеток, которые окружают Олин ход, и так далее. Ходить можно только в свободные клетки. Выигравает тот, кто поставит свой знак в одну из четырех угловых клеток (или же противнику некуда ходить). Доказать, что Оля всегда может выиграть.

4. Два шарика одинаковой массы — свинцовый и стальной — падают с одинаковой высоты на песок. Какой из них больше нагретется?

5. Имеется кусок бумаги. Его можно разорвать на 8 или на 12 части, каждый новый кусок также можно разорвать на 8 или на 12 части или оставить целыми, и так далее.

Можно ли получить таким образом 60 кусков? Докажите, что можно получить любое число кусков, больше 60.

Художник Э. Назаров