Задачи М291—М295; Ф303—Ф307

40

Задачи

M291—M295, Ф303—Ф307

M291. На сторонах $A_2A_3$, $A_3A_1$, $A_1A_2$ треугольника $A_1A_2A_3$ построены квадраты с центрами $O_1$, $O_2$, $O_3$, лежащие вне треугольника. Докажите, что:

a) отрезки $O_1O_2$ и $A_3O_3$ равны по длине и взаимно перпендикулярны;

b) середины отрезков $A_3A_1$, $O_1O_2$, $A_3A_2$ и $A_3O_3$ являются вершинами квадрата;

b) площадь этого квадрата в 8 раз меньше площади квадрата с центром $O_3$.

В. М. Фищман

M292. На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешаетсястерть любые два числа и вместе их записьать одно число — модуль их разности. После повторения указанной процедуры несколько раз на доске остается одно число. Какое это может быть число?

Ф. Г. Шлейфер

M293. Дан треугольник $C_1C_2O$. В нем проводится биссертиса $C_2C_3$, затем в треугольнике $C_2C_3O$ — биссертиса $C_3C_4$ и так далее. Докажите, что последовательность величины углов $\gamma_n = \frac{1}{2}C_{n+1}C_nO$ стремится к пределу, и найдите этот предел, если $\frac{1}{2}C_1OC_2 = \alpha$.

А. Вернард, М. Фельштин и И. Ткачев, ученики 10 класса

M294. Докажите, что если $a, b, c, d, x, y, u, v$ — вещественные числа и $abcd > 0$, то $(ax+bu)(av+by)(cx+dv)(cu+dy) \geqslant (acuvx+bcuxy+advxy+bduvy) \times (acx+bcu+adv+bdy)$.

В. П. Федомов

M295*. Сечения выпуклого многогранника трея параллельными плоскостями $p_0, p_1$ и $p_2$ ($p_1$ расположена между $p_0$ и $p_2$ на одинаковом расстоянии $h$ от точки и другой) имеют площади $S_0, S_1$ и $S_2$ соответственно. Между $p_0$ и $p_2$ нет ни одной вершины многогранника.

41

a) Доказите, что $2\sqrt{S_1} \geqslant \sqrt{S_0} + \sqrt{S_2}$.
b) В каком случае неравенство обращается в равенство?
b) Найдите площадь $S_t$ сечения многогранички плоскостью, паралельной $p_0$ и расположенной на расстоянии $th$ от $p_0$ и $(2-t)h$ от $p_1$ $(0 < t < 2)$.
g) Найдите объем части многогранички, заключенной между плоскостями $p_0$ и $p_2$.

H. B. Васильев

Ф303. Точчный источник света находится на некотором расстоянии под тонкой собирающей линзой (рис. 1). Где и как нужно установить плоское зеркало для того, чтобы из линзы выходил паралельный пучок света по направлению, показанному стрелкой? Построить ход лучей.

B. A. Алеикович

Рис. 1.

Ф304. Наосос подает массу $m$ воды в час на высоту $H$ по трубе диаметром $d$. Какова должа быть мощность насоса $N$? Можно ли с помощью насоса меньше мощности подавать массу $m$ воды в час на высоту $H$?

Рис. 2. Рис. 3.

Ф305. В сосуд с водой опускают Г-образный стеклянный капитляр радиуса $r$, полностью смачиваемый водой (рис. 2). Зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры показана на рисунке 3. В каком диапазоне температур всегда вытечет из сосуда, если $r=0,1$ мм, $h=14,1$ см и $H=15$ см? Толщиной стенок капитра претензь.

Ф306.* На рисунке 4 изображена схема теплового затметра $(r_1 \ll r, r_1 \ll R_H)$. Tonкая проволока $AB$, накаливаемая током, перекинита через блок, оттягааемый кверху пружинкой. К блоку прикреплена стрелка, которая поворачивает при повороте блока. Показать, что поворот стрелки пряmo пропорционален мощности точки $P$, потребляемой нагрузкой $(R_H)$.

Считать, что: 1) количество тепла, которое отдает нагретая проволока окружающей среде, пропорционально разности температур проволоки и среды; 2) изменение сопротивления участков provолоки $AB$ из-за удлинения и изменения их температуры претензью мало.

Ф307. Самолет пропетает с постоянной скоростью $v$ по горизонтальной прямой, проходящей над головой наблюдая. Какой угол $\alpha$ с вертикально составляет направление, по которой к наблюдаемой доносится звук мора в тот момент, когда наблюдаемый видит самолет в направлении, составляющим угол $\varphi$ с вертикально? Скорость звука $c$. Рассмотреть случай $v > c$ и $v < c$.

Г. Л. Комкин