Заочная олимпиада школьников Азиатской части СССР

67

Заочная олимпиада
Школьников
Азнатской части СССР

В этом номере мы публикуем тексты задач заочного типа физико-математической и химической олимпиад для учащихся школ и других средних учебных заведений Сибири, Казахстан, Дальнего Востока и Средней Азии.

Олимпиаду проводит Сибирское отделение Академии наук СССР совместно с организами народного образования.

Te, кто успешно справится с задачами заочного олимпиады, будет приглашены на область, краевые, ресурсиванские олимпиады на равных правах с победителем района олимпиад. Приглашения будут рассылаться Комитетом по проведению олимпиад по домашним адресам.

После каждой задачи в скобках указаны классы, для учеников которых она predлагается. Чтобы стать победителем олимпиады, не обязательно решить много задач. Иного достагоно остроумного решения одной. Но решить задачу — это не значит только дать правильный ответ; нужно обязательно обосновать его, дать точное доказательство. Задачи не требуют никаких знаний, выходящих за пределы программы средней школы. Решения задачи по каждому предмету должны высылаться в отделном конверте стандартного формата. На конверте указаите, по какому предмету решены задачи (математике, физике или химии). В письмо нужно включить согласно виде конверт с обратным домашним адресом и маркой; в этом конверте вам пришлют извещение о результатах работы. Решения надо писать очень разборчно. Условия задачи переписьать не надо, но обязательно укажите номера задач.

В начале письма разборчно на пишите:

1. Свою фамилию, имя и отчество.
2. Почтовый домашний адрес (подробный).
3. Класс, школи, училище, техническим и т. д., адрес.
4. Фамилию, имя и отчество своего учитель по данному предмету.

Последействий день, когда вы еще можете послать решение, — 1 февраля 1975 года по почтовому штемпелю. Письма, отправленные позже, рассматриваются не будут.

Участики олимпиады направляют решения по адресу: 630090, Новосибирск, 90, Олимпиада.

Matematika

1. Найти такое число $p$, чтобы уравнение
   $$x^2 + px + q = 0,$$
   $$x^2 - px + q = 0$$
   ($q \neq 0$) имеющий корень. (8 кл.)
2. Скольники способами можно расставить все целые числа от 1 до 9 в таблицу

| $a_{11}$ | $a_{12}$ | $a_{13}$ |
| :— | :— | :— |
| $a_{21}$ | $a_{22}$ | $a_{23}$ |
| $a_{31}$ | $a_{32}$ | $a_{33}$ |

68

так, чтобы выполнили условия
$$a_{11} + a_{22} + a_{33} = a_{11} + a_{23} + a_{32} = a_{21} + a_{12} + a_{33} = a_{31} + a_{22} + a_{13} = a_{21} + a_{32} + a_{13}?$$
(8—9 кл.)
3. Найти целое число, которое становится полным квадратом, если к нему прибавить любое из чисел 100, 168. (8—9 кл.)
4. На диаметре $AA_1$ окружности лежит точка $C$. Рассмотрим такую точку $B$ на окружности, что $AB = CA_1$. Доказать, что биссектриса, медиана и высота треугольника $ABC$, проведенные соответственно из вершин $A$, $B$ и $C$, пересекаются в одной точке. (8—10 кл.)
5. Найти углы треугольника со стороны $a$, $b$, $c$, если длина стороны $a$ не превыходит высоты, опущенной на $a$, а длина стороны $b$ не превышает высоты, опущенной на $b$. (8—9 кл.)
6. Доказать, что $N^p$, где $p, N$ — натуральные числа, $p > 1$, можно представить в виде суммы $N$ последовательных нечетных чисел. (9 кл.)
7. Решить систему уравнений
$$\begin{cases} x^2 + xy + y = 1, \\ y^2 + xy + x = 5. \end{cases}$$ (9—10 кл.)
8. Доказать, что если все точки выпуклого шестиугольника лежат внутри окружности $O$, то неокоторая его сторона не больше радиуса этой окружности. (9—10 кл.)
9. Доказать, что
$$\sqrt{2ka_1} + 1 + \sqrt{2ka_2} + 1 + \sqrt{2ka_3} + 1 < k + 3,$$
если $k > 0$, $a_1 + a_2 + a_3 = 1$ и подкоренные выражения неотрицательны. (10 кл.)
10. Решить систему уравнений
$$\frac{x + y}{8} = \frac{x + z}{6} = \frac{z + y}{4} = \frac{1}{x + y + z}.$$ (10 кл.)
11. Можно ли построить треугольник, стороны которого соответствно равны и параллельны отрезкам, соединяющим середины скрещивающихся ребер треугольной парами? (10 кл.)
12. Построить треугольник, зная радиус описанной окружности и биссектрису и медиану, проведенные из одной и той же вершины треугольника. (10 кл.)
Физика

1. Начальное распределение температуры вдоль однородного стержня длины $l$ показано на рисунке 1. Найти качественный картину распределения температуры в последующей моменте времени. Какая температура установлен в стержне, если подождать достаточно долго? Тепло от стержня в окружающей пространство не передается. (8 кл.)
2. Перевернуть тонкостенный стакан с домом толщины $h$ плавает на границе раздела

Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
Двух жидкость с плотностью $\rho_1$ и $\rho_2$ (рис. 2). Основание стакана находится на высоте $H$ над границей раздела; внутри стакан заполнен жидкость с плотностью $\rho_2$. Сечение стакана равно $S$. Определите вес стакана. (8 кл.)
3. Сопротивление металлической полоски длины 20 cm и ширины 1 cm (рис. 3, а) равно 1 ом. Чему равно сопротивление фигуры, изображенной на рисунке 3, б, если она вырезана из того же материалов, что и положка? (8 кл.)
4. Двигаясь из точки $A$ без начальной скорости в направлении оси $x$ в течение времени $\tau_0$ равномерной скорению, а затем в течение времени $\tau_0$ равномерной амплитудению, тело оказалось опять в точке $A$, но уже со скоростью $v$ (рис. 4). На какое максимальное расстояние отделялось точку $A$? (8 кл.)

69

Рис. 5.

Рис. 6

Рис. 7.

Рис. 8.

5. Длина нарезного ствола ружья 0,5 м. За время движения в стволе пуля делает один оборот. Скорость пуля на выход из ствола 600 м/c. Скорь оборотов за 1 с сделает пуля в полете? (8 кл.)

6. Чтобы уменьшить сопротивление воздуха при боковом ветре, величины выстроилисы по прямой, которая составляет 45° с направлением движения величины выстроилисов (рис. 5). Их скорость равна $v=20$ км/ч. Чему равна скорость ветра? (8 кл.)

7. Начальное распределение температуры вдоль длиного однородного стержня показано на рисунке 6.

Протяженность участков с температурой $T_0$ равна $l_0$, с температурой $2T_0-2l_0$. На рисунке качественно картину распределения температуры в последующей моменты времени. Какая температура устанавливается в стержне, если поджать достаточно долго? Длина стержня много большие $l_0$. Тепло от стержня в окружающей пространство не передается. (9 кл.)

8. Тонкостенный цилиндр длины $l$ и радиуса $R$, имеющий на внешней поверхности выступ, владает со скоростью $v$ в закрыленную трубу длины $L$, в которой имеется спиральный раз по форме выступа (рис. 7). Двигаясь по трубе, цилиндр совершает $n$ оборотов. Определить поступательную скорость после трубы. Треннем претензь. При входе цилиндра в трубу переход к движению по спирали проинсходит плавано. (9 кл.)

9. На поверхности жидкости плотности $\rho$ плавает цилиндрический тонкостенный стакан, наполовину погруженный в жидкость. Насколько изменится глубина погружения этого же стакана в жидкость, если его поставить на поверхности жидкости вверх дом? Высота стакана $h$, давление воздуха $p_0$. (9 кл.)

10. В кубе, сделанном из проволоки, в одном из ребер течет ток $i$. Определить токи в остальных ребрах куба. Например прикладывает к противоположным вершинам куба. (9 кл.)

11. Длина тонкая проволока помещена внутрь сосуда, наполненного сильно разреженным водородом с плотностью $n_1$. Температура стенок сосуда поддерживается равной $T_1$. Проволока поддерживается электрическим током, а охлаждается только окружающим газом. Установившаяся температура проволоки равна $T_2$. Чему будет равна установленная температура provолоки с тем же током, если водород заменить разреженным азотом с плотностью $n_2$? (9—10 кл.)

12. Колесо радиуса $R$ может свободно врашаться вокруг своей оси. К его ободу так, как это показано на рисунке 8, прижмается в четырех точках приводной ремень. Определить установленная температура provолоки с тем же током, если скорость равна $v$. (9—10 кл.)

13. Тело массы $M$ скольчит без треня по цилиндрическому железу радиуса $R$, ось которого направлена под углом $\alpha$ к горизонту, а длина равна $l$ (рис. 9). Сколько раз тело

70

Рис. 10.

пересечет линию $AB$, если оно начало свое движение, находясь вблизи от точки $A$ — нижней точки верхнего сечения железа? (10 кл.)

14. В сосуда объема $V_0$ находится твердое тело объемом $V_T$ при температуре плавления $T_\pi$. Какой объем насыщенных паров вещества этого тела при температуре $T_1$ нужно вpusить в сосуд, чтобы расплавить это тело и довести температуру образовавшейся жидкости до температуры, очень близкой к температуре $T_1$? Удельная теплота плавления равна $\lambda_\pi$, удельная теплота конденсции при температуре $T_1$ равна $\lambda_1$, удельная тепломкость жидкости равна $c$. Плотности твердого тела, жидкости и пара равны $\rho_T$, $\rho_{ж}$ и $\rho_\pi$. Сосуд теплопроводов. (10 кл.)

15. На горизонтальной плоскости лежит тело массы $M$, имеющее заряд $q$. К нему со скоростью $v_0$ из бесконечности начинает движаться второе тело той же массы и заряд. Коэффициент треня между телами и плоскостью равен $k$. Определить минимальное расстояние, на котором слизяется эти тела. (10 кл.)

16. Тело массы $M$, лежащое на горизонтальной плоскости, прикреплено к нераспределующейружине жесткости $k$. Другой конецружины прикреплен к неподвижной стенке (рис. 10). Тело оттянули на $l_0$ от начального положения равновесия и отпускили. Через $N$ колбанный тело оставилось в начальном положении равновесия. Чему равен коэффициент треня между плоскостью и телом? (10 кл.)

Химия

1. В последнее время теоретически и экспериментально доказано существование соедининия с «механической» связью типа, называемых катенанами, где $\bigcirc$ — макроцикл с большим числом atomов углерода. Предложите метод синтеза этих соедининий (при решении вам может помочь представление о ленте Мёбиуса). (10 кл.)

2. Сколько процентов гексена-1 содержится в смеси с гексаном, если к 10 $z$ такой смеси присоединяют 8 $z$ брома? (10 кл.)

3. Равные объемы двумолярных растров азотной кислоты и едкого натра смесили в чистом реакционном соуд. В каких пределях должны лежать величины $pH$ конечного растора, если учесть, что из-за неизбежных экспериментальных погрешностей количество любого из исходных реагентов может от-

личаться от номинального значения, но не более чем ±0,5%? (10 кл.)

4. Некоторые элементы образуют три соедининия с серой. При скигании 6,00 $z$ каждого из них в то же кислорода образуется соответственно 4,00; 4,62; 5,45 $z$ описла элемент. Установить, что это за элемент. (10 кл.)

5. 10 $z$ гематита полностью восстанавливаются металла адсорбировали $X$ молей азота природного изотопного состава при стандартной температуре и давлении 15 мм рм. см. Затем вес порошок быстро (то есть без замкнутой сосуд объемом 0,5 $z$ с азотом при тех же условиях ($T$, $p$), но обогащенным по тяжелому изотопу. Определить содержание азота на поверхности адсорбента ($molекул/cm^2$), если известно, что поверхность 1 $z$ порошка металла составляет 5 $m^2$, а концентрация треня изготовлена в газовой фазе в ходе реакции изотопного обмена изменилась с 90% до 60% атомов $N^{15}$. Написать уравнение реакций. (9 кл.)

6. При пропускании тока силой 16,1 $a$ в течение часа через растор электролита убьель веса анода составляет 5,2 $z$. Известно также, что материал анода в электрокимическом процессе подвергается окисленному до степени окисления +6, а действие на полученный растор в нейтральной среде избытка азотокислого серба дает 33,2 $z$ осадка труднорасторимого продукта. Из чего изготовлен анод и каков стехиометрический состав осадка? (9 кл.)

7. Кристаллы алюмокаливных квасцов подвергли в одном случае умеренному, а в другом случае сильному нагревинию. На сухие остатки в обихх случае подействовали сначала водой, а затем растором аммиака. Какова реакция воды растров на лактус? Что будет наблюдаться при добавлении аммиака? Дайте объяснение. (9 кл.)

8. Сколько процентов (по объему) сернистого газа могут содержать газы, полученные при прокаливании в воздухе (объемное содержание кислорода в воздухе 21%) цинковой обманки ZnS (с полным использованием кислорода)? (8 кл.)

9. Из 45 гранов вещества, образовавшие при прокаливании ртути, Лавуазье получил 41,5 грана жидкой ртути и 7—8 кубических дюймов «упругой жидкости». «Упругая жидкость» оказалась кислородом. Определить (по данным Лавуазье) эквивалентный вес ртути и сравнить его с современным значением эквивалентной ртути. 1 гран - 65 ме. (8 кл.)

10. Колба произвольного объема была заполнена газообразным HCl при нормальных условиях. Затем, не допуская утечки хлористого водорада, в эту колбу залили дистиллированную воду до полного заполнения. Какова концентрация образовавшейся солной кислоты? (8 кл.)