Пределы последовательностей

54

Предель последовательности
Г. В. Дорофеев

В отличие от большинства статей, опубликованных в разделе «Практику абитуриента», в этой статье нет указаний, в каком будет предлагалась та или иная задача.
Это нетрудно объяснить: понятие предела в школьном курсе используется исключительно в теоретических целях, и каких-либо вычислительных задач, связанных с пределами, в школе не решают. Естественно поэтому, что и в вариантах письменных экзаменов, предлагаемых поступающим, подобного рода задачи отсутствуют.
Однако в билетах на устном экзамене понятие предела встречается весом часть и — что особенно важно — во всех.byхах. Большое подготовленный читатель мы рекомендуем также познакомиться со статей М. Л. Гервера «20 задач на предель» («Квант», 1974, № 3).

Если мы обратимся к программе для построающих вузы, то слово «предел» мы встретием в ней всего лишь один раз — в пункте 5 раздела 1 «Арифметика, алгебра и элементарные функции». Оdnako можно насчитать больше десята вопросов, входящих в программу, в самом основе которых лежит именно понятие предела. Это, прежде всего, геометрические вопросы, связанные с длиной окружности, площадью круга, площадью поверхности и объемом цилиндра, конуса, шара и его частей. Кроме того, понятие предела используется при определении степени положительного числа с irrationalным показателем и суммы бесконечного убивающей геометрической прогрессии.

В действительности список вопросов, в которых используется понятие предела, значительное шире, мы привели только те из них, где применение пределов совершенно стандартно и привчено для школьников. Понятие предела использется, например, при доказательстве основной леммы о подобии треугольников, формул площади прямого линейки и объема прямого линейки параллелепида, при доказательстве существования корней натуральной степени из положительных чисел, существования логарифмов положительных чисел и т.п. На одном из этих вопросов мы останавливаемся в конце статьи.

У абитуриентов часто возникает вопрос: в каком объеме требуется от них знания о пределях последовательности. При этом многое считают, что никаких теorem о пределях вообще знать не нужно — ведь в разделе программы «Основные формулы и теоремы» понятие предела не упоминается!

Однако дело обстоит несовсем так — при доказательстве некоторых формул и теorem, входящих в программу, различных теоремы о пределях явно использются, и поэтому знать по крайней мере формулировки этих теorem необходимо, а о доказательствах решой поддет позже.

Рассмотрим для примера вычисление суммы бесконечного убивающей геометрической прогрессии. Как известно, суммой такой прорезсии называется предел S последовательно-

55

стим $(S_n)$, еде $S_n$ — сумма $n$ первых членов прорессии: $S = \lim_{n \to \infty} S_n$. Это определяние суммы. А для доказательства того, что сумма такой прорессии всегда существует (ведь не всякая последовательность имеет предел!), и для вычисления этой суммы проводится следующая выкладка:

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} a_1 \frac{1-q^n}{1-q} =$$

$$= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_1}{1-q} - \frac{a_1}{1-q} q^n \right) =$$

$$= \frac{a_1}{1-q} - \frac{a_1}{1-q} \lim_{n \to \infty} q^n = \frac{a_1}{1-q}.$$

В этой выкладке использованы следующие теоремы:

(1) если последовательность $(a_n)$ имеет предел, то для любого числа $c$
$$\lim_{n \to \infty} (c-a_n) = c - \lim_{n \to \infty} a_n;$$

(2) если последовательность $(a_n)$ имеет предел, то для любого числа $c$
$$\lim_{n \to \infty} c a_n = c \lim_{n \to \infty} a_n;$$

(3) для любого числа $q$ максимо, что $|q| < 1$
$$\lim_{n \to \infty} q^n = 0.$$

Отметим, кроме того, что вместе утверждения (1) при проведении первого преобразования можно использовать две теоремы более «универсально» характера: предел разности двух последовательностей равен разности их пределов и предел постоянной последовательности (c) (то есть последовательности, у которой все члены равны одному и тому же числу $c$) равен $c$:

(4) если последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ имеют предел, то
$$\lim_{n \to \infty} (a_n-b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n - \lim_{n \to \infty} b_n;$$

(5) $$\lim_{n \to \infty} c = c.$$

Отметим, что при ответе на вопрос с сумме бесконечного убывающей геометрической прорессии проверяется, насколько отчетливо абитурент понимает, какие именно теоремы и в каком именно месте доказательства он использует, — без таких разясенной проделанная выкладка выглядит как «фотография» с учебника и, конечно, не может удовлетворить экзаменаторов.

Однако и этого может оказаться мало, особенно при поступлении вуз с повышенной математической программиой. В самом деле, если вымательно прочитать все ту же программу для поступающих, то мы обнаружим в ней, что абитурент должен владеть математическими понятиями, упомянутыми в разделе 1. А владеть — это значит уметь не только формулировать определение, но и применить его в простейших случаях. А доказательства утверждения (1)—(5), кроме пожалей, утверждения (4), в полне могут быть описены к таким простейшим случаям: они требуют никаких искусственных расчёжений, никакой изобретательности и доступны как дому, кто знает и понимает определение предела. Остановимся на этих доказательствах.

Напомним прежде всего, что число а называется пределом последовательности $(a_n)$, если для любого положительного числа $\varepsilon$ существует максимой номер $N$, что все членов последовательности, начиная с $a_{N+1}$, находится в интервале между числами $a-\varepsilon$ и $a+\varepsilon$; другими словами, для всех $n>N$ выполняется неравенство $a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon$, или, что то же самое, $|a_n-a|<\varepsilon$.

Из этого определения немедленно вытекает и схема непосредственного доказательства утверждения $a=\lim_{n \to \infty} a_n$: надо показать, как для произвольного положительного числа $\varepsilon$ отискать число $N$, обладающее требуемым свойством. При этом надо рассматривать не какое-то конкретиное числовое значение $\varepsilon$ (как иногда приходит слиять, «возьмем произвольное число $\varepsilon$, например $\varepsilon=1/2$), а именно произвольное значение, то есть рассматривать $\varepsilon$ как параметр.

56

Разумеется, в подавляющем большинстве случаев искомый номер $N$ будет зависит от $\varepsilon$.

Докажем сначала самое простое утверждение (5).

Пусть дана последовательность с общим членом $a_n=c$. Возьмем произвольное положительное число $\varepsilon$ и начнем искать такое число $N$, чтобы для всех $n>N$ выполнялось неравенство $c-\varepsilon<a_n<c+\varepsilon$, то есть $c-\varepsilon<c+c+\varepsilon$. Искать долго не придется — это двойное неравенство справедливо всегда (поскольку $\varepsilon>0$), так что в качестве $N$ можно взять любое число, в частности 1.

Тепер докажем утверждение (3).

Пусть $|q|<1$; возьмем произвольное число $\varepsilon>0$ и начнем искать такое число $N$, чтобы для всех $n>N$ выполнялось неравенство $-\varepsilon<q^n<\varepsilon$ или, что то же самое, $|q^n|<\varepsilon$ или $|q|^n<\varepsilon$. Последнее неравенство легко решается: оно выполняется для всех $n>\log|q| \varepsilon$ (учтите, что $|q|<1$). Следовательно, в качестве $N$ можно взять любое натуральное число, больше чем $[\log|q| \varepsilon]$, например, $1+[\log|q| \varepsilon]$.

При доказательстве рассмотренного утверждения на экзамене нет необходимости воспроизводить все проведенные выше разяснения методического характера; лучше проверти доказательство более лаконично:

«Пусть $\varepsilon$ — произвольное положительное число; положим $N=1+[\log|q| \varepsilon]$, моеда, если $n>N$, то $n>\log|q| \varepsilon$, мо есть $|q|^n<\varepsilon$, или $-\varepsilon<q^n<\varepsilon$. Следовательно, $\lim_{n\to\infty} q^n=0$». Можно не опасяться, что экзаменаторы не понут, откуда взялось такое значение $N$, или упрекнут вас в том, что вы взяли его «с потолка».

В рассмотренных примерах мы смогли фактически явно указать исходное число $N$. Иного приходится ограничиться доказательством существования такое число — это тоже вполне достаочно!

Докажем утверждение (2).

Пусть $\lim_{n\to\infty} a_n=a$; возьмем произвольное число $\varepsilon>0$ и будем искать такое число $N$, чтобы для любого числа $n>N$ выполнялось неравенство $|ca_n-ca|<\varepsilon$, или $|c|\cdot|a_n-a|<\varepsilon$.

Так как $c=0$ доказываемое утверждение, очевидно, справедливо (в силу утверждения (5)), то будем считать, что $c\neq0$, и полученное выше неравенство перепишем в виде

$$|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{|c|}.$$

Поскольку $\varepsilon/|c|$ есть некоторое положительное число и $a=\lim_{n\to\infty} a_n$, то, по определению предела, существует такое число $N'$, что при $n>N'$ неравенство () выполняется. Положим $N=N'$, тогда при $n>N$ справедливо неравенство (), следовательно, и равносильное ему неравенство $|ca_n-ca|<\varepsilon$.

Итак, мы доказали, что для произвольного $\varepsilon>0$ найдется такое число $N$, что при $n>N$ выполняется неравенство $|ca_n-ca|<\varepsilon$, а это и означает, что $\lim_{n\to\infty} ca_n=ca$, что и требовалось доказать.

Несоклько сложнее доказательство утверждения (4). Мы докажем аналогичное утверждение для суммы последовательностей, оставив доказательство утверждения (4) в качестве упражнения.

Пусть $\lim_{n\to\infty} a_n=a$, $\lim_{n\to\infty} b_n=b$, возьмем произвольное $\varepsilon>0$. Тогда найдется такое число $N_1$, что при $n>N_1$ справедливо неравенство

$$a-\frac{\varepsilon}{2}<a_n<a+\frac{\varepsilon}{2}.$$

С другой стороны, найдется такое число $N_2$, что при $n>N_2$ справедливо неравенство

$$b-\frac{\varepsilon}{2}<b_n<b+\frac{\varepsilon}{2}.$$

При $n$, больших и $N_1$, и $N_2$, выполняются оба полученных двойных неравенства, а следовательно, выпол-

57

и неравенство

$(a+b) - \varepsilon < a_n + b_n < (a+b) + \varepsilon,$

полученное их почленным сложением.

Положим $N$ равным большему из чисел $N_1$ и $N_2$, $N = \max(N_1, N_2)$, тогда при $n > N$ будет выполятся неравенство (**). Таким образом, по заданному $\varepsilon$ мы нашли требуемое определением значения $N$ и доказали тем самым, что $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = a + b$.

Обратим внимание на то, что в формулировках утверждений о пределах часто стоит ограничение, что фигурирующие в них последовательности имеют предел; без этого ограничения утверждения (1), (2), (4) просто бессмысленны. Чтобы эти ограничения не «висели в воздухе», полезно знать, что не всякая последовательность имеет предел.

Примером последовательности, не имеющей предела, является последовательность

$$0, 1, 0, 1, 0, 1, \dots$$

В самом деле, предположим противное, пусть эта последовательность имеет предел $a$. Положим $\varepsilon = 1/3$, тогда должно найти такое $N$, что все члены последовательности с номерами, большими $N$, лежат в интервале $(a-1/3, a+1/3)$. Поэтому расстояние между таких членами (на числовой оси) не превыходит 2/3. Однако в нашей последовательности сколь годно далеко встречаются члены 0 и 1, расстояние между которых равно 1, то есть больше 2/3.

Найдем теперь предел последовательности с общим членом

$$c_n = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2}{6n^3},$$

которая используется при вычислении объема параметры с помощью ступенчатых тел. Для вычисления этого предела преобразуем выражение для $c_n$:

$$c_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{(1 + \frac{1}{n})(2 + \frac{1}{n})}{6}.$$

Теперь вычисление данного предела свойится к вычислению предела произведения $d_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(2 + \frac{1}{n}\right)$, а для этого процесса всего воспользоваться следующим утверждением:

(6) если последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ имеют предел, то

$$\lim_{n \to \infty} a_n b_n = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n.$$

Однако доказательство этого утверждения значительное сложнее, чем все предыдущие: оно требует предварительного доказательства еще несколько теорем о пределах. В то же время вычисление нашей предела можно проведити непосредственно, без использования этой общей теоремы. Докажем, что этот предел равен 2 («догадаться», что это так, можно из интуитивных сообщений или на основании все той же общей теоремы 6—ведь для этого не обязательно ее доказывать!). Надо показать, что для всякого $\varepsilon > 0$ существует такой номер $N$, что при всех $n > N$ выполняется неравенство

$$-\varepsilon < d_n - 2 < \varepsilon$$

$$-\varepsilon < \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} < \varepsilon.$$

Ясно, чтолевое неравенство выполняется при любых $n$, а неравенство $\frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} < \varepsilon$ нетрудно решить, но мы поступим инчете. Из неравенства $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ следует, что $\frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} \leq \frac{4}{n}$, а неравенство $\frac{4}{n} < \varepsilon$ выполняется при всеком $n > \frac{4}{\varepsilon}$.

Позному, если мы возьмем в качестве $N$ любое натуральное число, большие $\frac{4}{\varepsilon}$, то при $n > N$ будет $n > \frac{4}{\varepsilon}$, то есть $\frac{4}{n} < \varepsilon$, а следовательно, и

$$\frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} \leq \frac{4}{n} < \varepsilon.$$

58

Таким образом, для произвольного $\varepsilon > 0$ мы указывали требуемое число $N$, следовательно, $\lim_{n \to \infty} d_n = 2$, а $\lim_{n \to \infty} c_n = 1/3$.

В заключение обратим внимание на инной круг вопросов, связанных с понятием предела, а именно — на применении так называемой теоремы Вейерштрасса. Напомним ее формулировку: всякая monotonно возрастающая операция последовательность имеет предел. Аналогичное утверждение справедливо и для монotonно убывающих последовательностей.

Мы не будем останавливаться на стандартных применениях этой теоремы (например, при определении длины окружности), указываем некоторые другие ее приложения.

Все знают, что из отрицательного числа нельзя извлечь квадратный корень, и легко могут это доказать. Все знают также, что из всякого положительного числа можно извлечь квадратный корень, но как доказать, что он существует? Это установливается с помощью теоремы Вейерштрасса.

Действительно, пусть дан положительное число $c$; тогда существует такое неотрицательное целое число $a_0$, что

$$a_0^2 \leq c < (a_0 + 1)^2$$

($a_0$ — целое приближение корня квадратного из $c$ с недостатком, $a_0 + 1$ — с избытком). Далее можно найти такое целое число $a_1$ от 0 до 9, что

$$\left( a_0 + \frac{a_1}{10} \right)^2 \leq c < \left( a_0 + \frac{a_1 + 1}{10} \right)^2$$

(то есть получить приближение корня квадратного из $c$ с точностью до 1/10).

Продолжая этот процесс, получим две последовательности:

$$(a_n) = \left( a_0, a_0 + \frac{a_1}{10}, a_0 + \frac{a_1 + 1}{100}, \dots \right)$$

и

$$(b_n) = \left( a_0 + 1, a_0 + \frac{a_1 + 1}{10}, a_0 + \frac{a_1 + 1}{100}, \dots \right).$$

Первая из этих последовательностей возрастает и ограничена — все ее члены меньше чем, например, $a_0 + 1$; по теореме Вейерштрасса она имеет неокоторый предел $a$. Вторая последовательность аналогично имеет неокоторый предел $b$. В силу утверждения (6)

$$\lim_{n \to \infty} a_n^2 = a^2, \lim_{n \to \infty} b_n^2 = b^2.$$

С другой стороны, по самому построению этих последовательностей имеют место неравенства

$$a_n^2 \leq c < b_n^2,$$

откуда следует (см. упр. 9), что

$$a^2 \leq c \leq b^2.$$

Наконец, получаем утверждения (4) и (3), получаем

$$a - b = \lim_{n \to \infty} a_n - \lim_{n \to \infty} b_n =$$

$$= \lim_{n \to \infty} \left( a_n - b_n \right) = \lim_{n \to \infty} (1/10)^{n-1} = 0.$$

Таким образом, $a = b$, и следовательно, $a^2 = c$. Другими словами, $a$ — это и есть корень квадратный из $c$, и требуем утверждение доказано.

Мы видим, что доказательство такого «очевидного» утверждения, как существование корня квадратного из положительного числа, в действительности требует применения большого числа теорем о пределах. Поэтому его строение доказательство (и доказательство подобных ему утверждений: существования логарифмов положительных чисел, существования степени положительного числа с irrationalным показателем, существования значения арксинуса для любых чисел от -1 до 1 и т.п.) не входит ни в школьную программу, ни в программу для построения вузы. Мы рассмотрели этот вопрос только для того, чтобы показать истинную сложность доказательства таких утверждений и дать элементарное представление о способе их доказательства.

59

У пряженя

1. Доказать, что предел последовательности $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, -\frac{1}{6}, \dots$ равен 0.
2. Доказать, что $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 1$.
3. Пусть последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ имеют пределы, и при любом $n$ справедливо неравенство $0 \leq a_n \leq b_n$. Доказать, что если $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$, то и $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.
4. Пусть последовательность $(a_n)$ имеет предел $a$, а последовательность $(b_n)$ получена из нее:
   a) выбрасыванием конечного числа членов;
   b) выбрасыванием бесконечного числа членов (например, всех членов с четными номерами);
   b) добавлением в некоторых местах конечного числа новых членов;
   g) добавлением в некоторых местах бесконечного числа новых членов.
   Что можно сказать в каждом из этих случаях о пределе последовательности $(b_n)$?
5. Вычислить предел последовательности с общим членом:
   a) $a_n = \frac{1}{n^2 + 2}$;
   b) $a_n = \frac{4n}{3n^3 - 5n - 4}$.
6. Доказать, что последовательности $1, 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{4}{5}, \frac{1}{5}, \dots$ и $1, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 2, \dots$ не имеют пределов.
7. Доказать, что если последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ имеют пределы, то $\lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n - \lim_{n \to \infty} b_n$.
8. Что можно сказать о пределе последовательности $(a_n + b_n)$, если последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$:
   a) обе имеют пределы;
   b) обе не имеют пределов;
   b) одна имеет предел, а другая — нет?
9. Доказать, что если все члены последовательности $(a_n)$ меньше числа $c$, то и предел этой последовательности не больше $c$. Можно ли утверждать, что этот предел меньше $c$?

Задание о графах и скзака «Иван-царевич и серый волк»
(Окончание. Начало см. c. 23)

2. Нельзя идти по макой дорое, стерев коморую, мы получим, что из какого-то города уже нельзя попасть в столицу. (Такая дорога называется перешейком).

Если следовать равную 2, то в любой момент не стерты еще дороги и города образуют связный граф. Покажем, что всегда можно следовать равную 2, то есть, что, придя в любой город $N$, мы будем иметь в своей распоряжении дорогу, которая не является перешейком.

Заметим сначала, что если дорога из $N$ оказалась перешейком, то есть еще дороги, выходящие из $N$. Допустим самое плохое — все эти дороги оказывались в данной момент перешейками. Предположим, что мы стерли две из них; одна соединяла город $N$ с городом $N_1$, другая — с городом $N_2$. Очевидно, что в таком случае из этих частей должны найтись еще один город с нечетным числом дорог. Но этого не может быть, так как этоому времени на карте с нечетным числом дорог, кроме городов $N_1$ и $N_2$, остается только столица.

Докажем, наконец, что, следуя правилом 1 и 2, мы обязательно обойти все дороги по одному разу. Допустим, что мы вернулись в столицу, не обойдя всех дорог. Это значит, что на карте остались нестерты города. Расстояние тот нестертий город $M$, который мы прошли последним. Очевидно, что дорога, по которой мы из него вышли, была перешейком: она не в столицу (инначе мы попали бы в столицу прямо из $M$, и город $M$ был бы стерт на карте — см. правило 1), и, стерев эту дорогу, мы отрезали все пути из $M$ в столицу. А в силу правила 2 мы по таким дорогам идти не можем. Получили противение.

Тем самым теорема Эйлера доказана полностью.